Bài toán khảo sát hàm số và các vấn đề liên quan - pdf 13

Download Bài toán khảo sát hàm số và các vấn đề liên quan miễn phí



(II) PHẦN I I.Trong phần này cho tham số m thay đổi.
6) Tìm điểm cố định của (Cm). Định m để hai tiếp tuyến tại hai điểm cố định này vuông góc nhau.
7) Định m để (Cm) có 2 điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị.
8) Định m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.
9) Định m để : a) hàm số đồng biến trong (1,2). b) hàm số nghịch biến trong (0, +8).
10) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ tạo thành cấp số cộng.
11) Tìm điều kiện giữa k và m để (Dk) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt. Tìm k để (Dk) cắt (C
m) thành hai đoạn bằng nhau.
12) Viết phương trình tiếp tuyến với (Cm) và đi qua điểm (-1, 1).
13) Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến với (Cm) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góclớn nhất.


/tai-lieu/de-tai-ung-dung-tren-liketly-33766/
Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho

Tóm tắt nội dung:

ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC 3
Giả sử : y = ax3 + bx2 + cx + d với a ≠ 0 có đồ thị là (C). y’ = 3ax2 + 2bx + c, y” = 6ax + 2b
1) y” = 0 ⇔ x =
a3
b− (a ≠ 0 )
x =
a3
b− là hoành độ điểm uốn. Đồ thị hàm bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
2) Để vẽ đồ thị 1 hàm số bậc 3, ta cần biết các trường hợp sau :
i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng)
ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn giảm)
iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
⇒ hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2.
Ngoài ra ta còn có :
+ x1 + x2 = 2x0 với x0 là hoành độ điểm uốn.
+ hàm số tăng trên (−∞, x1)
+ hàm số tăng trên (x2, +∞)
+ hàm số giảm trên (x1, x2)
iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
⇒ hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 là hoành độ
điểm uốn). Ta cũng có :
+ hàm số giảm trên (−∞, x1)
+ hàm số giảm trên (x2, +∞)
+ hàm số tăng trên (x1, x2)
3) Giả sử y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y = k(Ax + B)y’ + r x + q với k là hằng số khác 0;
thì phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y = r x + q
4) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt





<
=
0)2x(y).1x(y
2x,1x biệt ânnghiệm ph 2 có 0'y
5) Giả sử a > 0 ta có :
i) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt > α







<

<<α=
0)2x(y).1x(y
0)(y
2x1x thỏa biệt ânnghiệm ph 2 có 0'y
ii) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt < α







<

α<<=
0)2x(y).1x(y
0)(y
2x1x thỏa biệt ânnghiệm ph 2 có 0'y
Tương tự khi a < 0 .
6) Tiếp tuyến : Gọi I là điểm uốn. Cho M ∈ (C).
Nếu M ≡ I thì ta có đúng 1 tiếp tuyến qua M.
Nếu M khác I thì ta có đúng 2 tiếp tuyến qua M.
Biện luận số tiếp tuyến qua 1 điểm N không nằm trên (C) ta có nhiều trường hợp hơn.
7) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y(x0) = 0
(x0 là hoành độ điểm uốn)
8) Biện luận số nghiệm của phương trình : ax3 + bx2 + cx + d = 0 (1) (a ≠ 0) khi x = α là 1 nghiệm
của (1).
Nếu x = α là 1 nghiệm của (1), ta có
ax3 + bx2 + cx + d = (x - α)(ax2 + b1x + c1)
nghiệm của (1) là x = α với nghiệm của phương trình ax2 + b1x + c1 = 0 (2). Ta có các trường
hợp sau:
i) nếu (2) vô nghiệm thì (1) có duy nhất nghiệm x = α
ii) nếu (2) có nghiệm kép x = α thì (1) có duy nhất nghiệm x = α
iii) nếu (2) có 2 nghiệm phân biệt ≠ α thì (1) có 3 nghiệm phân biệt
iv) nếu (2) có 1 nghiệm x = α và 1 nghiệm khác α thì (1) có 2 nghiệm.
v) nếu (2) có nghiệm kép ≠ α thì (1) có 2 nghiệm
BÀI TẬP ÔN VỀ HÀM BẬC 3
Cho họ đường cong bậc ba (Cm) và họ đường thẳng (Dk) lần lượt có phương trình là
y = −x3 + mx2 − m và y = kx + k + 1.
(I) PHẦN I. Trong phần này cho m = 3. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
1) Gọi A và B là 2 điểm cực đại và cực tiểu của (C) và M là điểm bất kỳ trên cung AB với M khác
A , Bø . Chứng minh rằng trên (C) ta tìm được hai điểm tại đó có tiếp tuyến vuông góc với tiếp
tuyến tại M với (C).
2) Gọi ∆ là đường thẳng có phương trình y = 1. Biện luận số tiếp tuyến với (C) vẽ từ E ∈ ∆ với (C).
3) Tìm E ∈ ∆ để qua E có ba tiếp tuyến với (C) và có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
4) Định p để trên (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng p, trong trường hợp này chứng tỏ trung
điểm của hai tiếp điểm là điểm cố định.
5) Tìm M ∈ (C) để qua M chỉ có một tiếp tuyến với (C).
(II) PHẦN I I.Trong phần này cho tham số m thay đổi.
6) Tìm điểm cố định của (Cm). Định m để hai tiếp tuyến tại hai điểm cố định này vuông góc nhau.
7) Định m để (Cm) có 2 điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị.
8) Định m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.
9) Định m để : a) hàm số đồng biến trong (1, 2). b) hàm số nghịch biến trong (0, +∞).
10) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ tạo thành cấp số cộng.
11) Tìm điều kiện giữa k và m để (Dk) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt. Tìm k để (Dk) cắt (Cm) thành
hai đoạn bằng nhau.
12) Viết phương trình tiếp tuyến với (Cm) và đi qua điểm (-1, 1).
13) Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến với (Cm) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.
BÀI GIẢI
PHẦN I : m = 3
Khảo sát và vẽ đồ thị (độc giả tự làm)
1) Gọi n là hoành độ của M. Vì hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại
tại x = 2 nên 0 < n < 2; y' = – 3x2 + 6x ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến tại M
là k1 = – 3n2 + 6n ∈ (0, 3] (vì n ∈ (0, 2)). Đường thẳng vuông góc với tiếp
tuyến tại M có hệ số góc là k2 =
1k
1
− (với 0 < k1 ≤ 3). Hoành độ của tiếp
tuyến vuông góc với tiếp tuyến M là nghiệm của – 3x2 + 6x =
1k
1
− (= k2)
⇔ 3x2 – 6x
1k
1
− = 0. Phương trình này có a.c < 0, ∀ k1 ∈ (0, 3] nên có 2
nghiệm phân biệt, ∀ k1 ∈ (0, 3]. Vậy trên (C) luôn có 2 điểm phân biệt
mà tiếp tuyến đó vuông góc với tiếp tuyến tại M.
2) E (e, 1) ∈ ∆. Phương trình tiếp tuyến qua E có dạng y = h(x – e) + 1 (D).
(D) tiếp xúc (C) ⇔ hệ



=+−
+−=−+−
hx6x3
1)ex(h3n3x
2
23
có nghiệm.
⇒ Phương trình hoành độ tiếp điểm của (D) và (C) là :
– x3 + 3x2 – 3 = (– 3x2 + 6x)(x – e)+ 1 (1)
⇔ – x3 + 3x2 – 4 = x(– 3x + 6)(x – e)
⇔ (x – 2)(x2 – x – 2) = 3x(x – 2)(x – e)
⇔ x = 2 hay x2 – x – 2 = 3x2 – 3ex
⇔ x = 2 hay 2x2 – (3e – 1)x + 2 = 0 (2)
(2) có ∆ = (3e – 1)2 – 16 = (3e – 5)(3e + 3)
(2) có nghiệm x = 2 ⇔ 8 – 2(3e – 1) + 2 = 0 ⇔ e = 2
Ta có ∆ > 0 ⇔ e
3
5
.
Biện luận :
i) Nếu e < – 1 hay
3
5 2
⇒ (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇒ có 3 tiếp tuyến.
ii) Nếu e = – 1 hay e =
3
5 hay e = 2
⇒ (1) có 2 nghiệm ⇒ có 2 tiếp tuyến.
iii) Nếu – 1 < e <
3
5
⇒ (1) có 1 nghiệm ⇒ có 1 tiếp tuyến.
Nhận xét : Từ đồ thị, ta có y = 1 là tiếp tuyến tại (2, 1) nên phương trình (1)
chắc chắn có nghiệm x = 2, ∀ e.
3) Vì y = 1 là tiếp tuyến qua E (e, 1), ∀ e và đường x = α không là tiếp
tuyến nên yêu cầu bài toán.
⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa : y'(x1).y'(x2) = – 1








−=+−+−
>∨−<
1)x6x3)(x6x3(
)2(củanghiệmlàx,x
3
5e1e
2
2
21
2
1
21









−=−−
=

=+
>−<
1)2x)(2x(x.x9
1x.x
2
1e3xx
3
5ehay1e
2121
21
21





−=+−−
>−<
1]4)1e3(1[9
3
5ehay1e
⇔ e =
27
55
. Vậy E 




 1,
27
55
4) Tiếp điểm của tiếp tuyến (với (C)) có hệ số góc bằng p là nghiệm của :
y' = p ⇔ 3x2 – 6x + p = 0 (3)
Ta có ∆' = 9 – 3p > 0 ⇔ p < 3
Vậy khi p < 3 thì có 2 tiếp tuyến song song và có hệ số góc bằng p.
Gọi x3, x4 là nghiệm của (3).
Gọi M3 (x3, y3); M4 (x4, y4) là 2 tiếp điểm. Ta có :
1
a2
b
2
xx 43 =−=+
1
2
6)xx(3)xx(
2
yy 24
2
3
3
4
3
343 −=
−+++−
=
+
Vậy điểm cố định (1, –1) (điểm uốn) là trung điểm của M3M4.
5) Cách 1 : Đối với hàm bậc 3 (a ≠ 0) ta dễ dàng chứng minh được rằng :
∀ M ∈ (C), ta có :
i) Nếu M khác điểm uốn, ta có đúng 2 tiếp tuyến qua M.
ii) Nếu M là điểm uốn, ta có đúng 1 tiếp tuyến qua M.
Cách 2 : Gọ...
Music ♫

Copyright: Tài liệu đại học © DMCA.com Protection Status