Bài giảng Toán cao cấp C2 đại học (đại số tuyến tính) - pdf 17

Download miễn phí Bài giảng Toán cao cấp C2 đại học (đại số tuyến tính)



3. Mô hình Input – Output Leontief
3.1. Khái niệm chung
• Mô hình này còn được gọi là mô hình I/O hay mô
hình cân đối liên ngành, đềcập đến việc xác định
mức tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành sản
xuất trong tổng thểnền kinh tế.
• Trong mô hình I/O, khái niệm ngành được xét theo
nghĩa thuần túy là sản xuất, với các giảthiết sau:
1) Mỗi ngành sản xuất 1 loại hàng hóa hay sản xuất
mộtsốloại hàng hóa theo tỉlệnhất định



Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí

Tóm tắt nội dung tài liệu:

. Ta có: dim n n=ℝ ,
4
dim [ ] 5P x = .
 Chú ý
• Trong nℝ , mọi hệ gồm n vector đltt đều là cơ sở.
• Số chiều của kgvt có thể vô hạn. Trong chương trình,
ta chỉ xét những kgvt hữu hạn chiều.
 Chương 3. Không gian vector
3.3. Tọa độ của vector
a) Định nghĩa
Trong kgvt V , cho cơ sở
1 2
{ , , , }
n
F u u u= … .
Vector x V∈ tùy ý có biểu diễn tuyến tính một cách
duy nhất qua cơ sở F là
1
,
n
i i i
i
x uα α
=
= ∈∑ ℝ .
Ta nói x có tọa độ đối với cơ sở F là
1 2
( ; ; ; )
n
α α α… .
Ký hiệu là:
1
2
1 2
[ ] ( ... )T
F n
n
x
α
α
α α α
α
      = =      

.
 Chương 3. Không gian vector
VD 5. Trong 2ℝ , cho (3; 5)x = − và 1 cơ sở:
1 2
{ (2; 1), (1; 1)}B u u= = − = . Tìm [ ]
B
x ?
 Quy ước
Ta viết tọa độ của vector x đối với cơ sở chính tắc E
trong nℝ là [ ]x hay viết dưới dạng
1
( ;...; )
n
x α α= .
VD 6. Trong
4
[ ]P x , cho vector 4 3( )p x x x= + và một
cơ sở:
{
}
2
1 2 3
3 4
4 5
1; 1; ( 1) ;
( 1) ; ( 1) .
A u u x u x
u x u x
= = = − = −
= − = −
Hãy tìm [ ( )]
A
p x
?
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Friday, November 26, 2010
Toán cao cấp C2 Đại học 16
 Chương 3. Không gian vector
VD 7. Trong 2ℝ , cho 2 cơ sở:
1 1 2
{ (1; 0), (0; 1)}B u u= = = − ,
2 1 2
{ (2; 1), (1; 1)}B v v= = − = .
Cho biết
2
[ ]
B
x
là (1; 2). Hãy tìm
1
[ ]
B
x ?
b) Tọa độ của vector trong các cơ sở khác nhau
 Ma trận chuyển cơ sở
Trong kgvt V , cho 2 cơ sở:
1 2
{ }, { }, 1,2,...,
i i
B u B v i n= = = .
Ma trận ( )
1 1 1
1 2
[ ] [ ] ... [ ]
B B n B
v v v được gọi là ma trận
chuyển cơ sở từ
1
B sang
2
B . Ký hiệu là:
1 2
B B
P → .
 Chương 3. Không gian vector
Đặc biệt. Trong nℝ , ta có:
( )
1
1 2
[ ] [ ]...[ ]
E B n
P u u u→ =
(ma trận cột của các vector trong
1
B ).
 Công thức đổi tọa độ
1 1 2 2
[ ] .[ ] .
B B B B
x P x

=
VD 8. Trong 3ℝ , cho hai cơ sở
1
B và
2
B .
Cho biết
2 1
1 1 2
0 1 3
0 0 2
B B
P →
 −    =     −  

1
1
2
3
B
v
     =         
.
Tìm tọa độ của vector v trong cơ sở
2
B ?
 Chương 3. Không gian vector
VD 9. Tìm ma trận chuyển cơ sở
1 2
B B
P

trong VD 7.
 Định lý
Trong kgvt V , cho 3 cơ sở
1
B ,
2
B và
3
B . Khi đó:

i i
B B n
P I

= ( 1,2,3i = );

1 3 1 2 2 3
.
B B B B B B
P P P→ → →= ;
• ( )
1 2 2 1
1
B B B B
P P

→ →= .
 Hệ quả. Trong nℝ , ta có:
( )
1 2 1 2 1 2
1
.
B B B E E B E B E B
P P P P P

→ → → → →= =
VD 10. Dựa vào hệ quả, giải lại VD 7.
 Chương 3. Không gian vector
§4. KHÔNG GIAN SINH BỞI HỆ VECTOR
4.1. Định nghĩa
Trong kgvt V cho hệ gồm m vector
1
{ , , }
m
S u u= … .
Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của S được gọi
là không gian con sinh bởi S .
Ký hiệu là: S hay spanS .
4.2. Hệ vector trong nℝ
Trong kgvt nℝ , xét hệ
1
{ , , }
m
S u u= … ta có:
1
,
m
n
i i i
i
S x x uλ λ
=
    = ∈ = ∈    
∑ℝ ℝ .
Gọi A là ma trận dòng m vector của S . Khi đó:
• dim ( )S r A= và dim .S n ≤
 Chương 3. Không gian vector
…………………………………………………………………
• Nếu dim S k= thì mọi hệ con gồm k vector
đltt của S đều là cơ sở của S.
VD 1. Trong 3ℝ , cho hệ vector:
1 2
{ (1; 0; 1), (0; 1; 1)}S u u= = − = − .
Hãy tìm dạng tọa độ của vector v ∈ S ?
VD 2. Trong 4ℝ , cho hệ vector:
{(1;2;3;4), (2;4;9;6), (1;2;5;3), (1;2;6;3)}S = .
Tìm số chiều của không gian sinh S ?
VD 3. Trong 4ℝ , cho hệ vector S :
1 2 3
{ =( 2;4; 2; 4), =(2; 5; 3;1), =( 1;3;4;1)}u u u− − − − − − .
Hãy tìm dim S và 1 cơ sở của S ?
 Chương 3. Không gian vector
§5. KHÔNG GIAN EUCLIDE
5.1. Định nghĩa
• Cho không gian vector V trên ℝ . Một quy luật cho
tương ứng cặp vector ,x y bất kỳ thuộc V với số
1) 0x x ≥ và 0x x x θ= ⇔ = ;
2) x y y x= ;
3) ( ) ,x y z x z y z z V+ = + ∀ ∈ ;
4) ,x y x yλ λ λ= ∀ ∈ ℝ
được gọi là tích vô hướng của x và y .
thực duy nhất, ký hiệu x y (hay ( , )x y ), thỏa mãn:
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Friday, November 26, 2010
Toán cao cấp C2 Đại học 17
 Chương 3. Không gian vector
• Không gian vector V hữu hạn chiều trên ℝ có tích
vô hướng như trên được gọi là không gian Euclide.
VD 1. Kgvt nℝ có tích vô hướng thông thường:
1 1 1 1
( ,..., ) ( ,..., ) ...
n n n n
x y x x y y x y x y= = + +
là một không gian Euclide.
VD 2. Trong [ ; ]C a b – không gian các hàm số thực
liên tục trên [ ; ]a b , ta xác định được tích vô hướng:
( ) ( )
b
a
f g f x g x dx= ∫ .
Vậy [ ; ]C a b có tích vô hướng như trên là kg Euclide.
 Chương 3. Không gian vector
5.2. Chuẩn của vector
a) Định nghĩa
• Trong không gian Euclide V , số thực u u
được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vector u .
Ký hiệu là u . Vậy, u u u= .
• Vector u được gọi là vector đơn vị nếu 1u = .
• ( , )d u v u v= − được gọi là khoảng cách giữa u , v .
VD 3. Trong nℝ cho vector
1 2
( , ,..., )
n
u u u u= , ta có:
2 2 2 2
1 2
1
...
n
n i
i
u u u u u u u
=
= = + + + = ∑ .
 Chương 3. Không gian vector
VD 4. Trong không gian Euclide [ ; ]C a b , ta có:
2( )
b
a
f f f f x dx= = ∫ .
b) Định lý
Trong kg Euclide V cho 2 vector ,u v bất kỳ. Ta có:
• Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz
.u v u v≤ ;
• Bất đẳng thức tam giác
u v u v u v− ≤ + ≤ + .
 Chương 3. Không gian vector
VD 5. Trong nℝ , bất đẳng thức Cauchy – Schwarz là:
2 2
1 1 1
.
n n n
i i i i
i i i
x y x y
= = =
≤∑ ∑ ∑ .
VD 6. Trong [ ; ]C a b , bất đẳng thức Cauchy–Schwarz:
2 2( ) ( ) ( ) . ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx≤∫ ∫ ∫ .
5.3. Cơ sở trực chuẩn
a) Định nghĩa
Trong không gian Euclide n chiều V , ta định nghĩa:
• Hai vector ,u v được gọi là trực giao nếu 0u v = ;
 Chương 3. Không gian vector
• Cơ sở
1 2
{ , ,..., }
n
u u u được gọi là cơ sở trực giao nếu
các vector của cơ sở là trực giao từng đôi một;
• Cơ sở
1 2
{ , ,..., }
n
u u u được gọi là cơ sở trực chuẩn
nếu cơ sở là trực giao và 1, ( 1,..., )
i
u i n= = .
VD 7. Trong 2ℝ , ta có:
• Hệ {(2; 1), ( 3; 6)}− − − là cơ sở trực giao;
• Hệ 2 2 2 2; , ;
2 2 2 2
          − − −             
là cơ sở trực chuẩn.
b) Định lý
Mọi kg Euclide n chiều đều tồn tại cơ sở trực chuẩn.
 Chương 3. Không gian vector
 Thuật toán trực chuẩn hóa Gram – Schmidt
• Bước 1. Trong không gian Euclide n chiều V , chọn
cơ sở
1 2
{ , ,..., }
n
u u u bất kỳ.
• Bước 2. Xây dựng cơ sở trực giao
1 2
{ , ,..., }
n
v v v :
Đặt
1 1
v u= ;
… … … … … … … … … … … … …
2 1
2 2 12
1
u v
v u v
v
= − ;
3 1 3 2
3 3 1 22 2
1 2
u v u v
v u v v
v v
= − − ;
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Friday, November 26, 2010
Toán cao cấp C2 Đại học 18
 Chương 3. Không gian vector
• Bước 3. Xây dựng cơ sở trực chuẩn
1 2
{ , ,..., }
n
w w w
bằng việc chuẩn hóa các vector ở bước 2:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
; ; ;...; n
n
n
v v v v
w w w w
v v v v
= = = = .
1
2
1
n
n i
n n i
i
i
u v
v u v
v

=
= −∑ .
VD 8. Trong 3ℝ , hãy trực chuẩn hóa cơ sở:
1 2 3
{ (1; 0; 0), (0; 1; 1), (0; 1; 1)}F u u u= = = = − .
 Chương 3. Không gian vector
VD 9. Trong 3ℝ , ...
Music ♫

Copyright: Tài liệu đại học © DMCA.com Protection Status