Tài liệu luyện thi Toán cấp tốc

Download miễn phí Tài liệu luyện thi Toán cấp tốc





5. Phương pháp thế:
Đây là phương pháp khá hữu hiệu thường hay được sử dụng trong giải hệ phương trình .
Nội dung của phương pháp này từ một phương trình hay kết hợp hai phương trình của hệ ta biểu diễn ẩn này qua ẩn kia hay một biểu thức này qua biểu thức khác và thế vào phương trình còn lại chuyển vềphương trình một ẩn (có thể là ẩn phụ). Mục đích của việc làm này là giảm số ẩn. Tùy thuộc vào đặc điểm của bài toán mà ta có những cách biến đổi phù hợp. Trong phương pháp này ta cần lưu ý một số dấu hiệu sau.
1) Nếu trong hệ phương trình có một phương trình bậc nhất đối với một ẩn thì ta rút ẩn đó qua ẩn kia thế vào phương trình còn lại và chuyển về giải phương trình một ẩn



Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí

Tóm tắt nội dung tài liệu:

nx x x x x x x+ + = + -
3) ( ) ( )4 44 sin cos sin 4 3 1 tan2 tan 3x x x x x+ + - - =
4)
(1 2 sin )cos 3(1 2 sin )(1 sin )
x x
x x
- =+ - 5) 3 cos5 2 sin 3 cos2 sin 0x x x x- - = .
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau
1) 1+ sin x cos x sin 2x cos 2x 0+ + + = 2)
2cos x(cos x 1) 2(1 sin x)sin x cos x
-
= +
+
3) 2 23 cot x 2 2 sin x (2 3 2)cos x+ = + 4) 2 sin 2x cos 2x 7 sin x 2 cos x 4- = + -
5) ( )sin2x cos2x cos x 2 cos2x sin x 0+ + - = 6) 22 sin 2 sin 7 1 sinx x x+ - =
7) 3 3 2 2sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x- = - 8) 83cotx tanx 8 sin(x )3
p
- = - .
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau
1) 1 3 tan x 2 sin 2x+ = 2) 2cot x tgx 4 sin 2x sin 2x- + =
3) 6 6sin x cos x sin 2x+ = 4) 4 4 3cos x sin x cos(x ) sin(3x ) 04 4 2
p p
+ + - - - =
5) 2 2 1 11 9sin 2 .cos6 sin 3 sin .sin2 2 2
x xx x x+ = 6) ( ) 21 2 2 sin2 cos2 6 tan ( )sin 4 8
x x
xx
p- +
= -
7)
(1 sin x cos2x)sin x 4 1 cos x1 tan x 2
æ öp
+ + +ç ÷
è ø =
+
8)
( )6 62 sin cos sin cos
0
2 2 sin
x x x x
x
+ -
=
-
.
Vấn đề 2. Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình
1. Phương trình bậc cao:
Cách 1: Đưa về dạng tích: f (x) 0f(x).g(x) 0
g(x) 0

= Û ê =ë
.
Để đưa về một phương trình tích ta thường dùng các cách sau:
* Sử dụng các hằng đẳng thức đưa về dạng 2 2 3 3a b 0, a b 0,...- = - =
* Nhẩm nghiệm rồi chia đa thức: Nếu x a= là một nghiệm của phương trình ( ) 0f x = thì ta luôn có sự phân
thích: ( ) ( ) ( )f x x a g x= - . Để đoán nghiệm ta dựa vào định lí sau:
Định lí: Nếu đa thức 11 1 0( ) ...n nn nf x a x a x a x a--= + + + + có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ước của
0a
* Sử dụng phương pháp hệ số bất định.
Cách 2: Đặt ẩn phụ
Dạng 1: Phương trình đối xứng: Là phương trình có dạng: 4 3 2 0ax bx cx bx a± + ± + = .
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc
GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 8
Cách giải: Chia hai vế phương trình cho 2 ( 0)x x ¹ ta có : 2 2
1 1( ) ( ) 0a x b x cxx
+ ± + + =
Đặt 1t x x= + với 2t ³ ta có
2 2 2
2
1 1( ) 2 2x x txx
+ = + - = - thay vào phương trình ta có:
2( 2) 0a t bt c- ± + =
Dạng 2: ( )( )( )( )x a x b x c x d e+ + + + = trong đó a b c d+ = +
Cách giải: Đặt 2 ( ) t x a b x= + + ta có : ( )( )t ab t cd e+ + =
Dạng 3: 4 4( ) ( )x a x b c+ + + = . Đặt 2
a bx t += - ta đưa về phương trình trùng phương.
2. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Cách 1: Dùng định nghĩa: khi 0| | khi 0
a aa a a
ì ³ï= í- <ïî
Cách 2: Bình phương hai vế kết hợp với tính chất 2 2| |a a=
1) 2 2
( ) 0
| ( ) | ( ) ( ) ( ) 0
g x
f x g x f x g x
ì ³ï= Û í
- =ïî
2)
( ) ( )| ( ) | | ( ) | ( ) ( )
f x g xf x g x f x g x
é =
= Û ê
= -êë
.
Cách 3: Đặt ẩn phụ
3. Phương trình – bất phương trình vô tỉ
Cách 1: Biến đổi tương đương
* 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0n nf x g x f x g x= ³= Û * 2 2
( ) 0
( ) ( ) ( )( )
n
n
g x
f x f x g xg x
ì ³ï
í
=ïî
= Û
* 2 12 1 ( ) ( ) ( ) ( )nn f x g x f x g x++ = Û = * 2 12 1 ( ) ( ) ( ) ( )nn f x g x f x g x++ > Û >
* 2 ( ) ( )n f x g x< Û
2
( ) 0
( ) 0
( ) ( )n
f x
g x
f x g x
ì ³ïï ³í
ï <ïî
* 2 ( ) ( )n f x g x> Û
2
( ) 0
( ) 0
( ) 0
( ) ( )n
g x
f x
g x
f x g x
é

ê
³ê
êì ³ïêíê >ïîë
ì
í
î
Cách 2: Đặt ẩn phụ
Dạng 1: ( ( )) 0nF f x = , với dạng này ta đặt ( )nt f x= (nếu n chẵn thì phải có điều kiện 0t ³ ) và chuyển về
phương trình ( ) 0F t = giải phương trình này ta tìm được t xÞ . Trong dạng này ta thường gặp dạng bậc
hai: ( ) ( ) 0af x b f x c+ + = .
Dạng 2: ( ( ) ( )) 2 ( ). ( ) ( ( ) ( )) 0m f x g x n f x g x n f x g x p± ± + + + = .
Vì ta có: 2( ( ) ( )) 2 ( ). ( ) ( ( ) ( ))n f x g x n f x g x n f x g x+ ± = ±
Nên với dạng này ta đặt ( ) ( )t f x g x= ± . Bình phương hai vế ta sẽ biểu diễn được những đại lượng còn
lại qua t và chuyển phương trình (bpt) ban đầu về phương trình (bpt) bậc hai đối với t.
Dạng 3: n( ( ), ( )) 0nF f x g x = , trong đó ( , )F a b là một biểu thức đẳng cấp bậc k. Với dạng này ta xét hai
trường hợp:
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc
GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 9
TH1: ( ) 0g x = thay vào phương trình ta kiểm tra,
TH2: ( ) 0g x ¹ chia hai vế phương trình cho ( )kn g x và đặt ( )( )n
f xt g x= ta được phương trình ( ) 0G t = là
phương trình đa thức bậc k. Ta thường gặp dạng: . ( ) . ( ) . ( ) ( ) 0a f x b g x c f x g x+ + = .
Đặt ( )( )
f xt g x= , ta có phương trình :
2 0at ct b+ + = .
Dạng 4: . ( ) ( ) ( ) ( ) 0a f x g x f x h x+ + = . Với phương trình dạng này ta có thể đặt ( )t f x= , khi đó ta được
phương trình theo ẩn t: 2 ( ) ( ) 0at g x t h x+ + = , ta giải phương trình này theo t, xem x là tham số (Tức là
trong phương trình vừa có t vừa có x) nên ta thường gọi dạng này là dạng đặt ẩn phụ không triệt để.
Dạng 5: ( ), ( ), ( )n mF f x a f x b f x cé ù+ - =ê úë û (I).
Ta có thể đặt: ( ), ( )n mu a f x v b f x= + = - , lúc đó ta có hệ phương trình: ( , )n m
f u v c
u v a b
ì =ï
í
+ = +ïî
giải hệ này ta
tìm được u, v. Từ đây ta có được x.
Chú ý : Khi tìm được u,v để tìm x ta chỉ cần giải một trong hai phương trình: ( ) n a f x u+ = hay
( )mb f x v- = .
Dạng 6: ( )( ) ( )n nf x b a af x b+ = - (II)
Để giải phương trình này ta đặt ( ); ( )nt f x y af x b= = - ta có hệ:
n
n
t b ay
y b at
ì + =ï
í
+ =ïî
.
Đây là hệ đối xứng loại II với hai ẩn t và y.
Cách 3: Đánh giá
Xét phương trình : ( ) ( )f x g x= xác định trên D.
* Nếu phương trình 2 2 ( ) 0( ) ( ) 0 ( ) 0
u xu x v x v x
ì =ïÛ + = Û í =ïî
* Nếu ( ) ( ) ( ) ( )
f x m x x Dg x m x
ì ³ï " Îí £ïî
thì : ( ) ( )PT f x g x= với x DÎ ( ) ( )( ) ( )
f x m x
g x m x
ì =ïÛ í =ïî
.
Trong cách đánh giá này ta thường dùng các hằng đẳng thức và các bất đẳng thức quen thuộc (như BĐT
Cauchy, BĐT Bunhiacovski, BĐT chứa trị tuyệt đối… )để đánh giá hai vế.
III. Hệ phương trình
1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
a. Định nghĩa: Là hệ có dạng: ' ' '
ax by c
a x b y c
ì + =ï
í + =ïî
, trong đó , , , ’, ’, ’a b c a b c là các số thực cho trước và a,b,a’,b’
không đồng thời bằng không.
b. Cách giải: Dùng định tthức Crame
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc
GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 10
Ta có các định thức: c c; ; ' ' ' ' ' c 'x y
a b b aD D Da b c b a= = = .
* Nếu D 0¹ thì hệ có nghiệm duy nhất: ; yx DDx yD D= = .
* Nếu 0x yD D D= = = thì hệ vô số nghiệm: ( 0)
x
c axy bb
ì Î
ï
í -
= ¹ïî
¡
* Nếu
0
0
0
x
y
D
D
D
ì =
ï
é ¹í
êï ¹êëî
thì hệ đã cho vô nghiệm.
2. Hệ đối xứng loại I
a. Định nghĩa: Là hệ có dạng ( ; )( ; )
f x y a
g x y b
ì =ï
í =ïî
(I) trong đó f(x;y),g(x;y) là các biểu thức đối xứng, tức là
( ; ) ( ; ), ( ; ) ( ; )f x y f y x g x y g y x= = .
b. Cách giải: Đặt , S x y P xy= + = . Biểu diễn ( ; ), ( ; )f x y g x y qua S và P ta có hệ ( ; ) 0( ; ) 0
F S P
G S P
ì =ï
í =ïî
giải hệ này
ta tìm được S, P. Khi đó x,y là nghiệm của phương trình : 2 0 (1)X SX P- + = .
c. Một số biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P.
2 2 2 2
3 3 2 2 3
2 2
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) 2 2
( )( ) 3
( )
( ) 2 ( 2 ) 2
x y x y xy S P
x y x y x y xy S SP
x y y x xy x y SP
x y x y x y S P P
+ = + - = -
+ = + + - = -
+ = + =
+ = + - = - -
d. Chú ý:
* Nếu (x;y) là nghiệm của hệ (I) thì (y;x) cũng là nghiệm của hệ
* Hệ (I) có nghiệm khi (1) có nghiệm hay 2 4 0S P- ³ .
3. Hệ đối xứng loại 2
a. Định nghĩa: Là hệ có dạng ( ; )( ; )
f x y a
f y x a
ì =ï
í =ïî
(II)
b. Cách giải: Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta được :
( ; ) ( ; ) 0f x y f y x- = ( ) ( ; ) 0 ( ; ) 0
x yx y g x y g x y
...
Music ♫

Copyright: Tài liệu đại học ©