Link tải luận văn miễn phí cho ae Kết nối
Luận văn ThS. Toán giải tích -- Trường Đại học Khoa học Tự nhiên. Đại học Quốc gia Hà Nội, 2011
Chương 1. Trình bày một số khái niệm chuẩn bị và các kết quả cơ bản về tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân trong không gian Hilbert nhờ phương pháp hàm Lyapunov và phương pháp xấp xỉ thứ nhất. Chương 2. Đo tiệm cận với phương pháp nửa nhóm và chỉ ra khả năng ứng dụng của nó trong việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình vi phân trong không gian Hilbert bao gồm: lý thuyết về nửa nhóm liên tục mạnh, toán tử sinh của nửa nhóm, nửa nhóm có nhiễu, đặc biệt là ứng dụng của lý thuyết nửa nhóm vào việc xét tính đặt chỉnh của phương trình vi phân tuyến tính và tuyến tính có nhiễu với toán tử ở vế phải là toán tử tuyến tính không giới nội và trình bày tóm tắt về bài toán truyền sóng để chỉ ra khả năng ứng dụng thực tế của lý thuyết nửa nhóm các toán tử tuyến tính
Lời mở đầu 4
1 Không gian Hilbert và sự ổn định của phương trình vi phân trong
không gian Hilbert theo hai phương pháp của Lyapunov 6
1.1 Không gian Banach và không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Toán tử tuyến tính và phổ của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Toán tử tuyến tính, toán tử đóng và bao đóng của toán tử . . . 8
1.2.2 Phổ của toán tử tuyến tính và ví dụ về phổ của toán tử Volterra 9
1.3 Sự ổn định theo Lyapunov của phương trình vi phân trong không gian
Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Phương trình vi phân trong không gian Hilbert . . . . . . . . . 15
1.3.2 Các khái niệm về sự ổn định của phương trình vi phân trong
không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.3 Sự ổn định của phương trình vi phân theo phương pháp hàm
Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.4 Sự ổn định của phương trình vi phân tuyến tính và tuyến tính
có nhiễu trong không gian Hilbert theo phương pháp xấp xỉ thứ
nhất Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Nửa nhóm liên tục mạnh có nhiễu và ứng dụng trong phương trình
truyền sóng 27
2.1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 Định nghĩa nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2 Ví dụ về nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 Định nghĩa về toán tử sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2 Tính chất của toán tử sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.3 Ví dụ về toán tử sinh của nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.4 Các định lý cơ bản về toán tử sinh của nửa nhóm co liên tục mạnh 35
2.3 Nửa nhóm liên tục mạnh có nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.1 Khái niệm nhiễu của toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh 42
2.3.2 Nửa nhóm liên tục mạnh có nhiễu bị chặn . . . . . . . . . . . . 42
2.4 Phương trình tiến hoá đặt chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5 Ứng dụng với phương trình truyền sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5.1 Không gian hàm và toán tử vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5.2 Phương trình truyền sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Nghiên cứu dáng điệu nghiệm của các phương trình vi phân là một trong
những bài toán cơ bản của lý thuyết định tính các phương trình vi phân. Ngoài các
phương pháp của Lyapunov (1857-1918), gần đây phương pháp nửa nhóm đóng một
vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu tính chất của các hệ động lực tuyến tính và
dáng điệu nghiệm của các phương trình vi phân trong không gian Hilbert.
Mặc dù đã trải qua một thời gian dài của sự hình thành và phát triển, các phương
pháp nghiên cứu trên vẫn được nhiều nhà khoa học quan tâm và nghiên cứu vì ngoài
các ý nghĩa sâu sắc trong lý thuyết toán học, nó còn góp phần quan trọng trong việc
nghiên cứu các mô hình ứng dụng trong vật lý học, hoá học và môi trường sinh thái.
Nội dung chính của luận văn gồm hai chương:
Trong chương một, chúng tui dành cho việc trình bày một số khái niệm chuẩn bị và
các kết quả cơ bản về tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân trong không gian
Hilbert nhờ phương pháp hàm Lyapunov và phương pháp xấp xỉ thứ nhất. Chúng tôi
xin lưu ý rằng các toán tử tuyến tính được xét ở vế phải của các phương trình vi phân
trong chương này đều thuộc lớp các toán tử tuyến tính giới nội ( A ∈ L(X) ) và do đó
các nghiệm của phương trình vi phân tương ứng đều được hiểu theo nghĩa nghiệm cổ
điển.
Với mục đích tiếp tục mở rộng phương pháp xấp xỉ thứ nhất cho các bài toán tổng
quát hơn, trong chương hai chúng tui đã tiệm cận với phương pháp nửa nhóm và chỉ
ra khả năng ứng dụng của nó trong việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của
các phương trình vi phân trong không gian Hilbert. Nội dung chính của chương này
bao gồm lý thuyết về nửa nhóm liên tục mạnh, toán tử sinh của nửa nhóm, nửa nhóm
có nhiễu, đặc biệt là ứng dụng của lý thuyết nửa nhóm vào việc xét tính đặt chỉnh của
phương trình vi phân tuyến tính và tuyến tính có nhiễu với toán tử ở vế phải là toán
tử tuyến tính không giới nội. Phần cuối của luận văn này, chúng tui trình bày tóm tắt
về bài toán truyền sóng để chỉ ra khả năng ứng dụng thực tế của lý thuyết nửa nhóm
các toán tử tuyến tính.
Mặc dù đã hết sức cố gắng, song không tránh khỏi những hạn chế thiếu sót, tác
giả rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn này
được hoàn thiện hơn. tui xin chân thành cảm ơn!
Nhân đây, tui xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS Đặng Đình Châu, người
đã tận tình hướng dẫn tui trong suốt thời gian qua. Mặc dù bận rất nhiều công việc
nhưng Thầy vẫn luôn bảo ban, chỉ dẫn và đưa ra những ý kiến sâu sắc để giúp tui hoàn
thành luận văn. Đồng thời, tui cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô
trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại học Quốc
gia Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tui hoàn thành tốt chương trình cao học
và hoàn thành xong luận văn này. Và tui cũng xin được gửi lời Thank chân thành tới
gia đình, bạn bè đã luôn bên tôi, khích lệ, động viên, giúp đỡ tui trong suốt quá trình
học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.
Chương 1
Không gian Hilbert và sự ổn định
của phương trình vi phân trong
không gian Hilbert theo hai phương
pháp của Lyapunov
Trong chương này, đầu tiên chúng ta sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản về không
gian Banach, không gian Hilbert, về toán tử tuyến tính và phổ của nó cùng ví dụ về
phổ của toán tử Volterra. Phần chính của chương là phần trình bày những kết quả cơ
bản về sự ổn định của phương trình vi phân tuyến tính và tuyến tính có nhiễu theo
phương pháp hàm Lyapunov và phương pháp xấp xỉ thứ nhất Lyapunov. Chú ý rằng
toán tử tuyến tính ở vế phải của các phương trình vi phân được xét trong phần này
chỉ là các toán tử giới nội.
1.1 Không gian Banach và không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.1. (Không gian tuyến tính định chuẩn)
Giả sử X là không gian vectơ trên trường vô hướng K các số thực R hay các số phức
C, X được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn nếu với mỗi x ∈ X có xác định một
số không âm ||x|| (gọi là chuẩn của x ) thoả mãn các điều kiện sau:
• ||x|| ≥ 0 với mọi x ∈ X, ||x|| = 0 ⇔ x = 0;
• ||λx|| = |λ|||x||, với mọi λ ∈ K và với mọi x ∈ X;
• ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, với mọi x, y ∈ X.

tP8z18649A3ZzjV

---