Link tải luận văn miễn phí cho ae Kết nối
Đầu thế kỷ XX, nhà vật lý và bác học nổi tiếng người Nga A.A.Markov
đã đưa ra một mô hình toán học để mô tả chuyển động của các phân tử
chất lỏng trong một bình kín. Sau này mô hình Markov được phát triển
và mang tên: Quá trình Markov. Xích Markov là trường hợp riêng của quá
trình Markov khi ta có thể đánh số được các trạng thái.
Chúng ta đều biết vai trò quan trọng của thuyết Monte Carlo trong
việc ước lượng các số nguyên và mô phỏng các quá trình ngẫu nhiên. Bước
có tính quyết định nhất trong việc phát triển lý thuyết Monte Carlo hiệu
quả là ước lượng (lấy mẫu) từ một phân bố xác suất thích hợp π(x). Ta
không thể trực tiếp tạo thành các mẫu độc lập từ π(x), cũng như chọn
cách lấy mẫu quan trọng, trong các mẫu ngẫu nhiên được lấy từ một phân
bố thử dạng khác (nhưng gần giống) với phân bố mục tiêu và sau đó đánh
giá dựa vào tỉ số quan trọng; hay xây dựng các mẫu xác suất độc lập dựa
trên ý tưởng lấy mẫu Markov Chain Monte Carlo.
Cho π(x) = Z−1exp(−h(x)) là phân bố mục tiêu dựa vào kết quả
nghiên cứu (có thể tất cả các hàm phân phối xác suất được viết dạng
này), khi mà hằng số chuẩn hóa hay hàm phân bố Z mà chúng ta thường
không biết. Về mặt lý thuyết, Z = R exp(−h(x))dx có thể tính nhưng
không dễ dàng (và thường khó) hơn vấn đề ban đầu là mô phỏng từ π.
Được thúc đẩy bởi các vấn đề tính toán các xác suất vật lý, Metropolis
đã giới thiệu ý tưởng cơ bản của việc phát triển một quá trình Markov để
đạt được việc lấy mẫu của π. Ý tưởng này sau đó được phát triển thành
thuyết Metropolis dù đơn giản nhưng rất hữu ích và hiện nay được sử dụng
rộng rãi bởi các nhà nghiên cứu trong rất nhiều lĩnh vực khoa học khác
nhau như sinh học, hóa học, khoa học máy tính, kinh tế học, các ngành
kỹ thuật, khoa học vật liệu và nhiều lĩnh vực khác.
Luận văn gồm có 3 chương:
Chương 1: Kiến thức cơ sở- Xích Markov: Ở phần đầu em trình bày
các phương pháp cơ bản để mô phỏng biến (mẫu) ngẫu nhiên như phương
pháp ngược, phương pháp lấy mẫu quan trọng, phương pháp lấy mẫu loại
trừ. Tiếp theo là ước lượng bằng mô phỏng. Phần tiếp theo của chương I
là lý thuyết xích Markov. Mỗi phần đều có các ví dụ minh họa để việc tiếp
cận vấn đề trở nên dễ dàng hơn.
Chương 2: Thuật toán Metropolis-Hastings: Cũng là phần chính của
luận văn. Trong chương này, em đề cập tới các kiến thức cơ bản để xây
dựng thuật toán Metropolis. Em giới thiệu phương pháp MCMC và nêu
thuật toán Metropolis cùng các ví dụ cụ thể áp dụng thuật toán này.
Chương 3: Áp dụng thuật toán Metropolis: Trong chương này em giới
thiệu về ngôn ngữ lập trình R và các chức năng của nó. Tiếp đó em ứng
dụng vào bài toán mô hình lõi cứng (hard-core model) để viết một đoạn
chương trình áp dụng ngôn ngữ R cho kết quả cụ thể. Trong chương này
em nêu thuật toán và chương trình áp dụng trên máy tính.
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Các phương pháp mô phỏng biến ngẫu nhiên
1.1.1 Phương pháp lấy mẫu ngược
Định lý 1.1. Cho hàm phân phối tích lũy F(x) với F −1 là hàm ngược của
F được xác định như sau:
F −1(u) = min{x|F(x) ≥ u}.
với u ∈ (0,1].
Cho U là một BNN có phân phối đều U(0,1) và đặt X = F −1(U) khi
đó hàm phân phối của X là F(x).
Ví dụ 1.1 Mô phỏng một biến ngẫu nhiên có phân phối mũ
với tham số λ.
Hàm phân phối mũ có dạng:
F(x) = 1 − exp(−λx) với x ≥ 0.
Cho U ∼ U(0,1) và đặt Y = −1
λ log(1 − U).
Khi đó Y có phân phối mũ với tham số λ.
Hơn thế, nếu U ∼ U(0,1) thì 1 − U cũng có phân phối U(0,1) do đó
nếu đặt
Y = −1
λ log(U) có phân phối mũ với tham số λ. ⊗


m59V3Bfu7KJQufp

---