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Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry II
Pierre Cartier Bernard Julia
Pierre Moussa Pierre Vanhove (Eds.)
Frontiers in Number Theory,
Physics, and Geometry II
On Conformal Field Theories, Discrete Groups
and Renormalization
ABC
Pierre Cartier
I.H.E.S.
35 route de Chartres
F-91440 Bures-sur-Yvette
France
e-mail: [email protected]
Bernard Julia
LPTENS
24 rue Lhomond
F-75005 Paris
France
e-mail: [email protected]
Pierre Moussa
Service de Physique Théorique
CEA/Saclay
F-91191 Gif-sur-Yvette
France
e-mail: [email protected]
Pierre Vanhove
Service de Physique Théorique
CEA/Saclay
F-91191 Gif-sur-Yvette

Printed on acid-free paper SPIN: 11320760 41/techbooks 543210
Preface
The present book collects most of the courses and seminars delivered at the
meeting entitled “ Frontiers in Number Theory, Physics and Geometry”, which
took place at the Centre de Physique des Houches in the French Alps, March 9-
21, 2003. It is divided into two volumes. Volume I contains the contributions on
three broad topics: Random matrices, Zeta functions and Dynamical systems.
The present volume contains sixteen contributions on three themes: Conformal
field theories for strings and branes, Discrete groups and automorphic forms
and finally, Hopf algebras and renormalization.
The relation between Mathematics and Physics has a long history. Let us
mention only ordinary differential equations and mechanics, partial differential
equations in solid and fluid mechanics or electrodynamics, group theory is
essential in crystallography, elasticity or quantum mechanics
The role of number theory and of more abstract parts of mathematics
such as topological, differential and algebraic geometry in physics has become
prominent more recently. Diverse instances of this trend appear in the works
of such scientists as V. Arnold, M. Atiyah, M. Berry, F. Dyson, L. Faddeev,
D. Hejhal, C. Itzykson, V. Kac, Y. Manin, J. Moser, W. Nahm, A. Polyakov,
D. Ruelle, A. Selberg, C. Siegel, S. Smale, E. Witten and many others.
In 1989 a first meeting took place at the Centre de Physique des Houches.
The triggering idea was due at that time to the late Claude Itzykson (1938-
1995). The meeting gathered physicists and mathematicians, and was the
occasion of long and passionate discussions.
The seminars were published in a book entitled “Number Theory and
Physics”, J M. Luck, P. Moussa, and M. Waldschmidt editors, Springer Pro-
ceedings in Physics, Vol. 47, 1990. The lectures were published as a second
VI Preface
book entitled “From Number Theory to Physics”, with C. Itzykson joining
the editorial team (Springer, 2nd edition 1995).

chia on Gauge theory and D-branes, E. Frenkel on Vertex algebras, algebraic
curves and Langlands program, G. Moore on String theory and number theory,
C. Soul´e on Arithmetic groups.
In addition seminars were given by participants many of whom could have
given full sets of lectures had time been available. They were: Z. Bern, A.
Bondal, P. Candelas, J. Conway, P. Cvitanovic, H. Gangl, G. Gentile, D.
Kreimer, J. Lagarias, M. Marcolli, J. Marklof, S. Marmi, J. McKay, B. Pioline,
M. Pollicott, H. Then, E. Vasserot, A. Vershik, D. Voiculescu, A. Voros, S.
Weinzierl, K. Wendland and A. Zabrodin.
Preface VII
We have chosen to reorganize the written contributions in two halves ac-
cording to their subject. This naturally led to two different volumes. The
present one is the second volume, let us now briefly describe its contents.
This volume is itself composed of three parts including each lectures and
seminars covering one theme. In the first part, we present the contributions on
the theme “Conformal Field Theories (CFT’s) for Strings and Branes”. They
begin with two intertwined sets of lectures by Don Zagier and by Werner Nahm
who have had a long personal interaction at the modular border between
Mathematics and Physics.
The presentation by Don Zagier starts with a review of the properties of
Euler’s dilogarithm and of its associated real Bloch-Wigner function. These
functions have generalizations to polylogarithms and to some real functions
defined by Ramakrishnan respectively. Their importance in Hyperbolic 3-
geometry, in Algebraic K
2m−1
-theory (Bloch group) and their relation to val-
ues of Dedekind zeta functions (see volume I) at argument m are explained. On
the other hand the modular group appears to be mysteriously related to the
Bloch-Wigner function and its first Ramakrishnan generalization. The second
chapter of these lectures introduces yet more variants, in particular the Rogers

)type
VIII Preface
with arbitrary ranks. These conjectures were analyzed mathematically at the
end of Zagier’s lectures.
After this background comes the seminar by Predrag Cvitanovic on in-
variant theory and a magic triangle of Lie groups he discovered in his studies
of perturbative quantum gauge theories. This structure has been discussed
since by Deligne, Landsberg and Manivel It is different from and does
not seem related to similar magic triangles of dualities that contain also the
magic square of Tits and Freudenthal in specific real forms and which appear
in supergravity and superstring models.
The third series of lectures: “Gauge theories from D-branes”, were de-
livered by Paolo Di Vecchia and written up with Antonella Liccardo. They
provide an introduction to string models and the associated D(irichlet)-branes
on which open strings may end and they explain the emergence of Yang-Mills
gauge theories on these extended objects. They bridge the gap between 2d
CFT’s and physical models in higher dimensions. Perturbative string theories
are particular conformal field theories on the string worldsheet. Most nonper-
turbative effects in string theory necessitate the inclusion of extended objects
of arbitrary spatial dimension p: the p-branes and in particular the Dirichlet
D
p
branes. Branes allow the computation of the entropy of black holes and
permit new dualities between gauge and gravitational theories. For instance
the celebrated AdS/CFT duality relates a closed string theory on the product
manifold S
5
× AdS
5
to an open string theory ending on a D

of the Selberg conjecture that arithmeticity follows from finite covolume for
most simple non-compact Lie groups. Automorphic forms are complex val-
ued functions defined over symmetric domains and invariant under arithmetic
groups, they arise abundantly in string theory.
Boris Pioline expanded his seminar with Andrew Waldron to give a physi-
cists’ introduction to “Automorphic forms and Theta series”. It starts with the
group theoretical and adelic expression of non holomorphic Eisenstein series
like E
3/2
which has been extensively studied by M.B. Green and his collabo-
rators and also theta series. From there one studies examples of applications
of the orbit method and of parabolic induction. Among recent applications
and beyond the discrete U-duality groups already considered in the previous
lectures they discuss the minimal representation of SO(4,4) which arises also
in string theory, the E
6
exceptional theta series expected to control the su-
permembrane interactions after compactification from 11 to 8 dimensions on
a torus, new symmetries of chaotic cosmology and last but not least work in
progress on the description of black hole degeneracies and entropy computa-
tions. M-theory is the name of the unifying, hypothetical and polymorphic
theory that admits limits either in a flat classical background 11-dimensional
spacetime with membranes as fundamental excitations, in 10 dimensions with
strings and branes as building blocks etc
Gregory Moore wrote up two of his seminars on “Strings and arithmetic”
(the third one on the topological aspects of the M-theory 3-form still leads
to active research and new developments). The first topics he covers is the
Black hole’s Farey tail, namely an illustration of the AdS
3
×S

(2) to a succession of Kasner four
dimensional spacetimes. The moduli space of such universes is highly singular
and amenable to description by noncommutative geometry and C
∗
algebras.
John McKay and Abdellah Sebbar introduce the concept and six possible
applications of “Replicable functions”. These are generalizations of the elliptic
modular j function that transform under their Faber polynomials as general-
ized Hecke sums involving their “replicas”. In any case they encompass also
the monstrous moonshine functions and are deeply related to the Schwarzian
derivative which appears in the central generator of the Virasoro algebra.
Finally part II ends with the lectures by Edward Frenkel “On the Lang-
lands program and Conformal field theory”. As summarized by the author
himself they have two purposes, first of all they should present primarily to
physicists the Langlands program and especially its “geometric” part but on
the other hand they should show how two-dimensional Conformal Field Theo-
ries are relevant to the Langlands program. This is becoming an important ac-
tivity in Physics with the recognition that mathematical (Langlands-)duality
is deeply related to physical string theoretic S-duality in the recent works of
A. Kapustin and E. Witten, following results on magnetic monopoles from
the middle seventies and the powerful tool of topological twists of supersym-
metric theories which help to connect N = 4 super Yang-Mills theory in 4
dimensions to virtually everything else. The present work is actually about
mirror symmetry (T-duality) of related 2d supersigma models.
Specifically the lectures begin with the original Langlands program and
correspondences in the cases of number fields and of function fields. The
Taniyama-Shimura-Weil (modular) conjecture (actually a theorem now) is
discussed there. The geometric Langlands program is presented next in the
abelian case first and then for an arbitrary reductive group G. The goal is
to generalize T duality or Fourier-Mukai duality to the non abelian situation.

viewed as a Riemann-Hilbert problem and presents the Hopf algebra of Feyn-
man graphs which corresponds by the Milnor-Moore theorem to a graded Lie
algebra spanned by 1PI graphs. Singular cases lead to formal series and the
convergence aspects are briefly discussed towards the end.
The whole program is reformulated using the language of categories, al-
gebraic groups and differential Galois theory. Possible connections to mixed
Tate motives are discussed. The equivariance under the renormalization group
is reformulated in this language. Finally various tantalizing developments are
proposed.
Dirk Kreimer discusses then the problem of “Factorization in quantum
field theory: an exercise in Hopf algebras and local singularities”. He actually
treats a toy model of decorated rooted trees which captures the essence of
the resolution of overlapping divergences. One learns first how the Hochschild
cohomology of the Hopf algebra permits the renormalization program with
“locality”. Dyson-Schwinger equations are then defined irrespective of any
action and should lead to a combinatorial factorization into primitives of the
corresponding Hopf algebra.
Stefan Weinzierl in his seminar notes explains some properties of multiple
polylogarithms and of their finite truncations (nested sums called Z-sums)
that occur in Feynman loop integrals: “Algebraic algorithms in perturbative
calculations” and their impact on searches for new physics. Emphasis is on
analytical computability of some Feynman diagrams and on algebraic struc-
tures on Z-sums. They have a Hopf algebra structure as well as a conjugation
and a convolution product, furthermore the multiple polylogarithms do have
a second Hopf algebra structure of their own with a shuffle product.
Finally this collection ends with a pedagogical exposition by Herbert
Gangl, Alexander B. Goncharov and Andrey Levin on “Multiple logarithms,
XII Preface
algebraic cycles and trees”. This work has been extended to multiple polylog-
arithms and to the world of motives by the same authors. Here they relate

appreciated.
Paris B. Julia
July 2006 P. Cartier
P. Moussa
P. Vanhove
Pr´eface aux deux volumes du livre
“Fronti`eres entre Th´eorie des Nombres,
Physique et G´eom´etrie”
Ce livre rassemble la plupart des cours et s´eminaires pr´esent´es pendant un In-
stitut de printemps sur les: “Fronti`eres entre Th´eorie des Nombres, Physique
et G´eom´etrie” qui s’est tenu au Centre de Physique des Houches dans les
Alpes fran¸caises du 9 au 31 Mars 2003. Il comprend deux volumes. Le pre-
mier volume contient quinze contributions dans trois grands domaines: Ma-
trices al´eatoires, Fonctions zˆeta puis Syst`emes dynamiques. Ce second volume
contient, quant `a lui, seize contributions r´eparties ´egalement en trois th`emes:
Th´eories conformes pour les Cordes et les Branes, Groupes discrets et Formes
automorphes et enfin Alg`ebres de Hopf et Renormalisation.
Les relations entre Math´ematiques et Physique ont une longue histoire. Il
suffit de rappeler la m´ecanique et les ´equations diff´erentielles ordinaires, les
´equations aux d´eriv´ees partielles en m´ecanique des solides et des fluides ou en
´electromagn´etisme, la th´eorie des groupes qui est essentielle en cristallogra-
phie, en ´elasticit´eouenm´ecanique quantique
La pr´e´eminence de la th´eorie des nombres et de parties plus abstraites des
math´ematiques comme les g´eom´etries topologique, diff´erentielle et alg´ebrique
s’est impos´ee plus r´ecemment. On en trouve des exemples divers dans les
travaux de scientifiques tels que: V. Arnold, M. Atiyah, M. Berry, F. Dyson,
L. Faddeev, D. Hejhal, C. Itzykson, V. Kac, Y. Manin, J. Moser, W. Nahm, A.
Polyakov, D. Ruelle, A. Selberg, C. Siegel, S. Smale, E. Witten et beaucoup
d’autres.
Une premi`ere conf´erence de ce type se tint en 1989 au Centre de Physique

physique:
1. Syst`emes Dynamiques, Th´eorie des Nombres et Matrices al´eatoires,
avec des cours de E. Bogomolny sur le Chaos quantique arithm´etique, de
B. Conrey sur les fonctions L et la Th´eorie des matrices al´eatoires, de J
C. Yoccoz sur les Echanges d’intervalles et de A. Zorich sur les Surfaces plates;
2. Polylogarithmes et Physique perturbative,
avec des cours de P. Cartier sur les Polylogarithmes et leurs aspects mo-
tiviques, de W. Nahm sur la Physique et les Dilogarithmes, et de D. Zagier
sur les Polylogarithmes;
3. Sym´etries et Physique non-perturbative,
avec des cours de A. Connes sur les Sym´etries Galoisiennes, Fonction zˆeta et
Renormalisation, R. Dijkgraaf, Dualit´eenth´eorie des cordes et Formes auto-
morphes, P. Di Vecchia, Th´eories de jauge et D-branes, E. Frenkel, Alg`ebres de
vertex, Courbes alg´ebriques et Programme de Langlands, G. Moore, Th´eorie
des cordes et Th´eorie des nombres, C. Soul´e, Groupes arithm´etiques.
Nombreux sont les participants qui ont donn´e des s´eminaires et qui au-
raient pu donner des cours si le temps n’avait manqu´e. Ont donc parl´e: Z. Bern,
A. Bondal, P. Candelas, J. Conway, P. Cvitanovic, H. Gangl, G. Gentile, D.
Kreimer, J. Lagarias, M. Marcolli, J. Marklof, S. Marmi, J. McKay, B. Pio-
line, M. Pollicott, H. Then, E. Vasserot, A. Vershik, D. Voiculescu, A. Voros,
S. Weinzierl, K. Wendland et A. Zabrodin.
Pr´eface XV
Nous avons d´ecid´eder´earranger les contributions ´ecrites `a ces Actes en
deux volumes dont voici le contenu.
Le premier volume rassemble quinze contributions et se compose de trois
parties regroupant chacune les cours et les s´eminaires relatifs `aunth`eme.
Dans la premi`ere partie nous pr´esentons les contributions sur les: “Matri-
ces al´eatoires: de la Physique `alaTh´eorie des nombres”. Elle commence
par le cours d’Eug`ene Bogomolny qui passe en revue trois aspects du chaos
quantique, `a savoir les formules de trace avec ou sans chaos, la fonction de

´etats KMS dans le syst`eme de M´ecanique statistique quantique correspondant.
Pour les r´eseaux de dimension un cela conduit `a une r´ealisation spectrale des
z´eros de fonctions zˆeta. Dans le cas de dimension deux on peut d´ecrire les mul-
tiples transitions de phase et la brisure spontan´ee de la sym´etrie arithm´etique.
Atemp´erature nulle le syst`eme tombe sur une vari´et´e classique (i.e. commuta-
tive) de Shimura qui param´etrise ses ´etats d’´equilibre. L’espace non commu-
tatif a une structure arithm´etique qui provient d’une sous-alg`ebre rationnelle
XVI Pr´eface
´etroitement reli´ee `a l’alg`ebre modulaire de Hecke; `atemp´erature non nulle on
exprime l’action du groupe de sym´etrie en utilisant le formalisme des secteurs
de supers´election et le syst`eme devient non commutatif. Le groupe agit sur
les valeurs des ´etats fondamentaux aux ´el´ements rationnels par le groupe de
Galois du corps modulaire.
On trouvera dans cette partie le s´eminaire d’Andr´e Voros sur des fonctions
zˆeta construites `a l’aide des z´eros de la fonction zˆeta de Riemann, celui de
Jeffrey Lagarias sur les espaces de Hilbert de fonctions enti`eres attach´es aux
fonctions L de Dirichlet. Cette partie s’ach`eve avec l’expos´e de Mark Pollicott
sur les fonctions zˆeta dynamiques et les orbites ferm´ees des flots g´eod´esiques
et hyperboliques.
La troisi`eme partie s’intitule “Syst`emes dynamiques: Echanges d’intervalles,
Surfaces plates et Petits diviseurs”. Les le¸cons d”Anton Zorich donnent une
introduction d´etaill´ee `alag´eom´etrie des surfaces plates, celle-ci permet de
d´ecrire les flots sur les surfaces de Riemann compactes de genre quelconque
sans demander de connaissances pr´ealables. Le cours de Jean-Christophe Yoc-
coz analyse les applications ´echangeant des intervalles, par exemple, les appli-
cations de premier retour de ces flots. Les propri´et´es d’ergodicit´e des flots et
des applications sont reli´ees. Ceci conduit `a´etendre au cas de genre quelconque
les flots irrationnels du tore bidimensionnel. Il faut commencer par g´en´eraliser
dans cette situation un algorithme comme celui des fractions continues pour
esp´erer ´etendre au genre quelconque les techniques de petits diviseurs.

(poly)logarithmes “multiples”. Suit une ´etude de leurs principales propri´et´es:
´equations fonctionnelles, relation avec les formes modulaires (voir aussi la
contribution de Nahm qui suit), valeurs sp´eciales et, de nouveau, K-th´eorie
alg´ebrique sup´erieure.
Dans son cours sur les th´eories conformes et ´el´ements de torsion du groupe
de Bloch Werner Nahm exprime les dimensions conformes des op´erateurs
de certaines th´eories des champs conformes bidimensionnelles “rationnelles”
d’une s´erie discr`ete (les th´eories minimales) comme partie imaginaire du dilog-
arithme de Rogers d’´el´ements de torsion de la K-th´eorie alg´ebrique du corps
des nombres complexes. La pr´esentation commence par une introduction
g´en´erale aux th´eories quantiques des champs invariantes conformes (CFT),
plus pr´ecis´ement un expos´e physique et conceptuel des alg`ebres d’op´erateurs
de vertex. Les th´eories rationnelles sont exceptionnelles dans l’espace des mod-
ules des CFT mais on peut consid´erer leurs perturbations (d´eformations) qui
restent totalement int´egrables. L’´etape suivante est un survol des th´eories
quantiques bidimensionnelles totalement int´egrables et l’´etude d’une relation
dans certains mod`eles simples entre la matrice S de diffusion et une matrice de
Cartan d’une alg`ebre de Lie de dimension finie; en particulier le fait que les co-
efficients de cette matrice soient entiers est li´e`a la statistique de Bose et sa pos-
itivit´e`a la convergence de la fonction de partition (cela peut se g´en´eraliser au
cas de statistiques quelconques). Puis Nahm conjecture en s’appuyant sur de
nombreux exemples que l’invariance “modulaire” des caract`eres chiraux d’une
CFT rationnelle qui admet une perturbation totalement int´egrable implique
que toutes les solutions des conditions d’int´egrabilit´e(´equations de Bethe)
d´efinissent des ´el´ements de pure torsion du groupe de Bloch (´etendu) du corps
des complexes. Les perturbations qui sont ainsi analysables sont d´efinies par
des paires de matrices de Cartan de type A, D, E ou T. Nahm donne enfin
la solution g´en´erale des ´equations de torsion pour des d´eformations de type
(A
m

5
×AdS
5
et une th´eorie des
cordes ouvertes se terminant sur une D
3
-brane. L’expos´e part de la descrip-
tion CFT de la th´eorie des supercordes perturbatives avec ses op´erateurs de
vertex de cr´eation de cordes invariants BRST pour arriver `a leur description
par le formalisme “des ´etats de bord” qui d´ecrit le couplage des cordes ferm´ees
aux D-branes. Ceci permet de calculer ensuite l’interaction entre D-branes, on
distingue le cas particulier BPS pour lequel les interactions se compensent. Di
Vecchia relie ensuite les interactions effectives `a basse ´energie de type Born-
Infeld des cordes de masse nulle `a leurs couplages aux D-branes.
Cette premi`ere partie se termine par un s´eminaire de Katrin Wendland:
Th´eories des champs superconformes associ´ees aux quartiques tr`es attrac-
tives. Le terme attractives fut introduit par Greg Moore (cf son cours ci-
dessous) pour les vari´et´es de Calabi-Yau `a deux dimensions dont le groupe
de Picard est de rang maximum, tr`es attractives correspond `a une restric-
tion suppl´ementaire sur le r´eseau transcendant. Il s’agit donc d’une revue des
r´ealisations g´eom´etriques des orbifolds sur des surfaces quartiques et donnera
sans doute envie de lire les chapitres suivants.
Le th`eme de la deuxi`eme partie “Groupes discrets et Formes automorphes”
est la th´eorie des groupes arithm´etiques et certaines de leurs applications. Le
d´ecor est plant´e par le cours de Christophe Soul´e d’Introduction aux groupes
arithm´etiques, qui est plus g´en´eral que celui de Bogomolny au volume I. Le
cours commence par la th´eorie classique de la r´eduction des groupes lin´eaires
de matrices `a coefficients entiers et des formes normales des formes quadra-
tiques. Elle est suivie de la th´eorie g´en´erale (et intrins`eque) des groupes de Lie
alg´ebriques sur les rationnels et de leurs sous-groupes arithm´etiques; la pro-

d’´etats des trous noirs dont on veut calculer l’entropie.
La th´eorie M est le nom d’une th´eorie d’unification, hypoth´etique et poly-
morphe qui admet diverses limites, soit dans un espace ambiant `a 11 dimen-
sions avec des membranes comme excitations fondamentales soit `a10dimen-
sions comme des th´eories de supercordes avec des branes vari´ees Gregory
Moore a r´edig´e deux de ses s´eminaires sous le titre Cordes et Arithm´etique (le
troisi`eme sur les aspects topologiques de la 3-forme de la th´eorie M donne en-
core lieu `a des recherches actives et des d´eveloppements nouveaux). Le premier
sujet qu’il traite est intraduisible: “A black hole’s Farey tail”, il s’agit d’une
illustration de la dualit´e AdS
3
×S
3
×K3 avec une CFT bidimensionnelle sur
la fronti`ere de l’espace anti de Sitter `a 3 dimensions. On peut calculer le genre
elliptique de cette CFT comme une s´erie de Poincar´e qui s’interpr`ete du cˆot´e
AdS (i.e. cˆot´egravit´e ou cordes) comme une somme de contributions des ´etats
particulaires et des ´etats de cordes. Ceci peut servir d’introduction concr`ete
`a de nombreuses id´ees sur les formes modulaires de Jacobi, au d´eveloppement
de Rademacher et aux corrections quantiques `a l’entropie des trous noirs.
Le deuxi`eme chapitre de Moore porte sur le m´ecanisme des attracteurs en
supergravit´e. Apr`es compactification sur un espace de Calabi-Yau `a trois di-
mensions X on sait que les modules de la structure complexe de X tendent vers
un point fixe lorsque l’on approche l’horizon d’une solution trou noir. Cet at-
tracteur d´epend des charges du trou noir qui y admettent une d´ecomposition
de Hodge sp´eciale. Dans le cas particulier X = K3 × T
2
on obtient la notion
de surface K3 attractive mentionn´ee ci-dessus. Le fait essentiel ici est que les
attracteurs semblent devoir ˆetre des vari´et´es arithm´etiques d´efinies sur des

sa partie “g´eom´etrique” et d’autre part de montrer l’importance des th´eories
conformes pour cette derni`ere. Cette activit´esed´eveloppe en Physique avec
la r´ealisation que la dualit´e math´ematique de Langlands est fondamentale-
ment reli´ee `a la S-dualit´e de la physique des cordes. Les travaux r´ecents de A.
Kapustin et E. Witten font suite `a des r´esultats du milieu des ann´ees 70 sur
les monopoles magn´etiques, l’outil surprenant des twists topologiques qu’ils
utilisent semble pouvoir relier la th´eorie de super-Yang-Mills N=4 `a 4 dimen-
sions `a de nombreux probl`emes essentiels. En l’occurence c’est la sym´etrie
miroir (dualit´eT)demod`eles sigma bidimensionnels qui se d´eduisent de la
th´eorie `a quatre dimensions qui r´ealise cette dualit´e.
Frenkel commence par le programme original de Langlands et les corres-
pondances pour les corps de nombres et les corps de fonctions. Il pr´esente
la conjecture (modulaire) de Taniyama-Shimura-Weil (qui est maintenant un
th´eor`eme). Puis il explique le programme de Langlands g´eom´etrique, d’abord
dans le cas ab´elien puis pour un groupe r´eductif quelconque G. Le but est
de g´en´eraliser la dualit´e T ou la dualit´e de Fourier-Mukai au cas non-ab´elien.
Finalement il introduit les blocs conformes pour les CFT et des mod`eles as-
soci´es `a des modules des alg`ebres de Kac-Moody affines. Pour la valeur cri-
tique (n´egative) du niveau de la charge centrale de Kac-Moody, la sym´etrie
conforme induite d´eg´en`ere et ces mod`eles conduisent aux faisceaux invariants
de Hecke pr´edits par la correpondance de Langlands g´eom´etrique.
Le troisi`eme et dernier th`eme de ce volume et donc des Actes est intitul´e
“Alg`ebres de Hopf et renormalisation”. Il conduit `a des r´esultats prometteurs
Pr´eface XXI
sur la renormalisation des th´eories quantiques des champs qui peuvent ˆetre il-
lustr´es par des calculs diagrammatiques perturbatifs et concrets mais cela nous
m`ene ´egalement comme un arc en ciel ´etrange entre ciel et terre au concept
abstrait de “motifs”. La premi`ere s´erie de cours de cette partie est une revue
historique par Pierre Cartier de l’apparition du concept d’alg`ebre de Hopf `a
partir de la Topologie. Il passe ensuite `a des exemples venant de la th´eorie des

sont d´efinies sans utiliser d’action, elles devraient permettre une factorisation
combinatoire avec des facteurs primitifs de l’alg`ebre de Hopf correspondante.
Stefan Weinzierl explique dans son rapport quelques propri´et´es des poly-
logarithmes multiples et de leurs troncations (des sommes emboˆıt´ees appel´ees
sommes Z) que l’on rencontre dans les diagrammes de boucles de Feynman.
Il parle des algorithmes alg´ebriques dans les calculs perturbatifs et de leur
impact sur la recherche de physique (exp´erimentale) nouvelle. Il met l’accent
sur la calculabilit´e analytique de certains diagrammes de Feynman et sur les
XXII Pr´eface
structures alg´ebriques des sommes Z. Celles-ci ont une structure d’alg`ebre de
Hopf mais aussi une conjugaison complexe et un produit de convolution. Ceci
entraˆıne que les polylogarithmes ont une deuxi`eme structure de Hopf et un
produit “shuffle”.
Le dernier s´eminaire est un expos´ep´edagogique de Herbert Gangl, Alexan-
der B. Goncharov et Andrey Levin sur les logarithmes multiples, les cycles
alg´ebriques et les arbres. Ce travail a ´et´e´etendu depuis aux polylogarithmes
multiples et au monde des motifs par les mˆemes auteurs. Ils relient ici les
trois parties de leur titre: les deux derni`eres sont associ´ees `a des alg`ebres
diff´erentielles gradu´ees de cycles alg´ebriques et d’arbres d´ecor´es enracin´es; la
troisi`eme partie du titre exprime la relation entre les polylogarithmes multi-
ples et des int´egrales sur des cycles hybrides ce qui g´en´eralise les motifs de
Tate mixtes de Bloch et Kriz dans le cas des (poly-)logarithmes ordinaires.
C’est un plaisir de remercier ici pour leur soutien financier g´en´ereux `a cette
conf´erence les institutions suivantes:
D´epartement Sciences Physiques et Math´ematiques et Service de Forma-
tion permanente du Centre National de la Recherche Scientifique;
´
Ecole Nor-
male Sup´erieure de Paris; D´epartement des Sciences de la mati`ere du Com-
missariat `al’

• P. Cvitanovic, School of Physics, Georgia Institute of Technology, Atlanta,
GA 30332-0430, USA
• P. di Vecchia, NORDITA, Blegdamsvej 17, DK-2100 Copenhagen Ø,
Denmark
Antonella Liccardo, Dipartimento di Scienze Fisiche, Universit`a di Napoli
Complesso Universitario Monte S. Angelo, Via Cintia, I-80126 Napoli,
Italy
• K. Wendland, University of Warwick, Gibbet Hill, Coventry CV4-7AL,
England
• Ch. Soul´e, I.H.E.S., 35 Route de Chartres, F-91440 Bures sur Yvette,
France
• B. Pioline, LPTHE, Universit´es Paris VI et VII, 4 pl Jussieu, 75252 Paris
cedex 05, France
A. Waldron, Department of Mathematics, One Shields Avenue, University
of California, Davis, CA 95616, USA
• G. Moore, Department of Physics, Rutgers University Piscataway, NJ
08854-8019, USA
• M. Marcolli, Max–Planck Institut f¨ur Mathematik, Vivatsgasse 7, D-53111
Bonn, Germany
• J. M
c
Kay, Department of Mathematics and CICMA Concordia University
1455 de Maisonneuve Blvd. West, Montreal, Quebec H3G 1M8, Canada
Abdellah Sebbar, Department of Mathematics and Statistics, University
of Ottawa, Ottawa, ON K1N 6N5, Canada
• E. Frenkel, University of California, Berkeley, USA
XXIV List of Contributors
• P. Cartier, I.H.E.S. 35 route de Chartres F-91440 Bures-sur-Yvette, France
• A. Connes, Coll`ege de France, 3, rue Ulm, F-75005 Paris, France
I.H.E.S. 35 route de Chartres F-91440 Bures-sur-Yvette, France

Katrin Wendland 223
Part II Discrete Groups and Automorphic Forms
An Introduction to Arithmetic Groups
Christophe Soul´e 247
Automorphic Forms: A Physicist’s Survey
Boris Pioline, Andrew Waldron 277
Strings and Arithmetic
Gregory Moore 303
Modular Curves, C
∗
-algebras, and Chaotic Cosmology
Matilde Marcolli 361