SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH
THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1998-1999.

ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN BẢNG A VÒNG 1.
SBD: (180 phút, không kể thời gian giao đề)

Bài 1 ( 3 điểm)
Tìm cực trị của hàm số:
y = sin
2
x + cotg
2

x
2
+ 4cos
2
x
2
- 4sinx – 4cotg
x
2
( 0 < x < π).
Bài 2 ( 5 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của tham số m để cho hệ phương trình sau có nghiệm:
2 2
2 2 2
3
x xy y m
y yz z m
xy yz zx m

2
x + cotg
2

x
2
+ 4cos
2
x
2
- 4sinx – 4cotg
x
2

(0.5đ) + Đặt z = sinx + cotg
x
2
; z
2
= sin
2
x + cotg
2

x
2
+ 4cos
2
x
2

os osx + 1
osx - 1
c x c
c
-
< 0
Nên: y’ cùng dấu với: - sinx - cotg
x
2
+ 2
(0.5đ) + Đặt t = tg
x
2
suy ra: - sinx - cotg
x
2
+ 2 =
2
2 2
2t 1 (t 1)(2t t 1)
2
1 t t t(1 t )
- - - +
- + =
+ +
.
(0.5đ) + Tam thức 2t
2
– t + 1 luôn dương với mọi t vì có biệt số âm;
0< x < π nên 0<

2
(y + z); T =
1
2
(z – y).
Ta đ ược:
2 2 2 2
x xy y X Y+ + = +
;
2 2 2 2
y yz z Z T+ + = +
;

3
(xy yz zx) XZ YT
2
+ + = +
.
x 0
2
p
π
tg
x
2
-1
- 0 +
y’ - 0 +
y
-4

(1.5) + Chỳ ý: (X
2
+ Y
2
)(Z
2
+ T
2
) = (XZ + YT)
2
+ (XT YZ)
2
Do ú: H ó cho cú nghim thỡ:
m.m
2

2
3 3 3 3
3 4 4
m m (m ) 0 0 m
2 3 3
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
-Ê Ê ị Ê Ê
ỗ
ữ
ỗ
ữ

+ =
ớ
ù
ù
ù
ù
+ =
ù
ù
ợ
T (1) cú th t X = uZ, Y = uT, thay vo (2) v (3) ta cú: u =
3
m
2
.
Do ú ta cú h:

y
hay y
2 2 2 2
2
2
3
2m 3
X mZ
x
2
2m
3 m 2
Y mT z

ù ù
ù ù
+ =
ù ù
=
ù ù
ù ù
+ +
ù ù
ợ
ù
ợ
vi m =
3
4
3
.
(0.2 5) + T ú:
ỏp s ca bi toỏn l m =
3
4
3
.
Bi 3 (6 im).
(1.5 ) + Nu A = B C v BC = m tng cỏc phn t ca B bng tng cỏc phn t
ca tp C nờn tng:
1998 + (1998 + 1) + + ( 1998 + n) = 1998(n + 1) +
n(n 1)
2
+

B
= S
C
nên:
1998.2k + k(6k+1) ≥ 1998(2k+1) + k(2k+1)
⇔ 6k
2
+ k ≥ 1998 + 2k
2
+ k ⇔ 4k
2
≥ 1998
2
1998
k k 23
4
³ Û ³
.
+ Nếu k = 23 ⇒ n = 92.
Tập A = {1998, 1998 + 1, 1998 + 2, , 1998 + 92}.
với B = {1998 + 1, 1998 + 2, , 1998 + 46, 1998 + 59}
C = {1998, 1998 + 47, , 1998 + 58, 1998 + 60, , 1998 + 92}
Thì S
B
= S
C
= 95046.
+ Nếu k > 23. Ta có: A = A
1
∪A

thuộc a, b, c: OU = Ơ = OV = 1998.
Chứng minh được: M thuộc miền trong tam giác UVƯ khi và chỉ khi:

OM WxOU yOV zO= + +
uuur uuur uuur uuur
với x + y + z = 1.
_U
_C
_V
_M'
_O
_M
_
A
_C
_B
Mà MA + MB + MC = 1998 ⇔ x + y + z = 1.
Do đó: Tập các điểm M là miền trong của tam giác UVƯ.
(0.5 đ) + Suy ra các điểm M’ ( trọng tâm của tam giác ABC) là ảnh của miền trong tam giác
UVƯ qua phép vị tự tâm O tỉ 2/3.