Chương 2
Bài 1
a. Tìm khoảng phân li nghiệm
Đặt f(x) = x – sinx – 0,25
Có
f’(x) = 1 – cosx mà -1 <= cosx <= 1 hay 0 <= 1 – cosx <= 2
Hàm cosx tuần hoàn với chu kì 2π nên ta lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [-π,
+π]
x
-π
0
π
f’(x) 2 + 0 + 2
f(x)
-π-0,25
-0,25
-0,25
π-0,25
Ta có f(π/4) = -0,1718 < 0
f(π/2) = 0,32 > 0
=> f(π/4).f(π/2) < 0
Vậy khoảng phân li nghiệm của phương trình là [π/4, π/2]
b. Chọn phương pháp lặp
Từ phương trình đầu => x = sinx + 0,25
Chọn ϕ(x) = sinx + 0,25 và ϕ’(x) = cosx
Trong đoạn [π/4, π/2] có
1
2
2
)('0 <=≤≤ qx
ϕ

3
1.12593311 0.041412762
4
1.15266954 0.018905511
5
1.16385116 0.007906599
6
1.16833423 0.003170009
7
1.17009942 0.001248178
Qui tròn đến 2 chữ số lẻ thập phân bằng cách viết
x – 1.17 = (x – x
7
+ x
7
-1.17)
|x – 1.17| ≤ |x – x
7
| + |x
7
– 1.17| = 0,001248178 + 0,009942 = 0,001348
|x – 1.17| ≤ 0,001348 ≤ 0.2.10
-2
< 0.5.10
-2
 Cả 2 chữ số lẻ thập phân trong kết quả này là đáng tin
Vậy có x = 1,17 ± 0,002
Bài 2:
a. Tìm khoảng phân li nghiệm
Đặt f(x) = 1,8x

2
sin10x
y
Ta có công thức lặp
10
10cos106,3
10sin8,1
)('
)(
0
11
1
2
1
1
1
1
1
π
=
−
−
−=−=
−−
−−
−
−
−
−
xvoi

i
Sai số
0 0,314
1
0.298198201 0.002252
2
0.298095328 2.07E-07
Ta có |x – x
2
| ≤ 2,07.10
-7
< 10
-5
nên quá trình tính dừng lại
Vậy nghiệm dương của phương trình tìm được là: x = 0,29809 ± 10
-5
Bài 3.b
a. Tìm khoảng phân li nghiệm
Đặt f(x) = x
2
- cosπx
Ta có f’(x) = 2x + πsinπx
Lập bảng biến thiên
x
-∞
0
+∞
f’(x) + 0 +
f(x)
+∞

3
-0.438604 9.7E-12
Ta có |x – x
3
| ≤ 9,7.10
-12
< 10
-5
nên quá trình tính dừng lại
Vậy nghiệm thứ nhất của phương trình tìm được là: x = -0,438604 ± 10
-5
Bài 3.c
a. Tìm khoảng phân li nghiệm
Từ phương trình trên => logx = (x-2)/4
Sử dụng phương pháp đồ thị ta thấy
f(4) ≈ 0,2 > 0
f(5) ≈ -0,1 < 0
Vậy [4, 5] là khoảng phân li nghiệm của phương trình
b. Tìm nghiệm
2
1
10ln
2
)(' −=
x
xf
10ln
2
)(''
2

x
x
x
xf
xf
xx
n
n
n
nn
Sai sốđược tính theo công thức
m
xf
x
n
n
)(
≤−
α
trong đó
5402.0)(' ≤≤>=≥ xmxf
1
2 3
4
5
1
0,5
(x-2)/4
logx
i x

2
= 0,849 +0,11x
1
- 0,03x
2
+0,05x
3
x
3
= 1,398 +0,11x
1
+0,12x
2
- 0,04x
3
Với










−
−
−
=

b
19,005,003,011,0
3
1
2
=++=
∑
=j
j
b
27,004,012,011,0
3
1
3
=++=
∑
=j
j
b
Do đó ||B||
0
= max {0,17 ; 0,19 ; 0,27} = 0,27 < 1
Vậy ta có phương pháp lặp đơn
x
(m)
= Bx
(m-1)
+ g
hội tụ với mọi x
(0)

– x
i
(2)
|}, i = 1,2,3
= max {0.003597; 0.002636; 0.003197} = 0.003597
Áp dụng công thức
p
mm
p
p
p
m
xx
B
B
x ||||
||||1
||||
||||
)1()()( −
−
−
≤−
α
Ta có
00133.0003597,0
27,01
27,0
||||
)3(









−−
−−
−−
=
017.012.0
05,0007.0
16.01.00
B











=
49,1
3.1

b
Do đó ||B||
0
= max {0,26 ; 0,12 ; 0,29} = 0,29 < 1
Vậy ta có phương pháp lặp đơn
x
(m)
= Bx
(m-1)
+ g
hội tụ với mọi x
(0)
chọn trước
Chọn x
(0)
= { 1.25 ; 1.3 ; 1,49} ta có kết quả tính như sau :
m 0 1 2 3 4 5 6 7
x
1
(m)
1.25
0.8816 0.95716 0.941247 0.944791 0.94405 0.94421 0.944178
x
2
(m)
1.3
1.138 1.182338 1.173461 1.175406 1.174987 1.175076 1.175057
x
3
(m)

Cho hàm số y = 2
x
với các giá trị trong bảng:
x 3,50 3,55 3,60 3,65 3,70
2
x
33,115 34,813 36,598 38,475 40,477
Các nút x
i
cách đều với h = 0,1
Lập bảng sai phân
i x 2
x
∆y ∆
2
y ∆
3
y ∆
4
y
0 3.5 33.115
1.698
1 3.55 34.813 0.087
1.785 0.005
2 3.6 36.598 0.092 0.028
1.877 0.033
3 3.65 38.475 0.125
2.002
4 3.7 40.477
i x 2

txp
tx
Bài 2
Các nút x
i
cách đều với h = 0,1
Lập bảng sai phân
x y
1 0.8427
0.0375
1.1 0.8802 -0.0074
0.0301 0.001
1.2 0.9103 -0.0064 -1.11022E-16
0.0237 0.001 -1E-04
1.3 0.934 -0.0054 -1E-04 0.0002
0.0183 0.0009 1E-04 -0.0003
1.4 0.9523 -0.0045 1.11022E-16 -0.0001 3.33067E-16
0.0138 0.0009 -2.22045E-16 -0.0003 0.0016
1.5 0.9661 -0.0036 -1.11022E-16 -0.0004 0.0016 -0.0062
0.0102 0.0009 -0.0004 0.0013
-
0.0046
1.6 0.9763 -0.0027 -0.0004 0.0009 -0.003
0.0075 0.0005 0.0005 -0.0017
1.7 0.9838 -0.0022 0.0001 -0.0008
0.0053 0.0006 -0.0003
1.8 0.9891 -0.0016 -0.0002
0.0037 0.0004
1.9 0.9928 -0.0012
0.0025

x
i
4
x
i
y
i
x
i
2
y
i
n=5
0.78 2.5 0.6084 0.474552 0.370151 1.95 1.521
1.56 1.2 2.4336 3.796416 5.922409 1.872 2.92032
2.34 1.12 5.4756 12.8129 29.9822 2.6208 6.132672
3.12 2.25 9.7344 30.37133 94.75854 7.02 21.9024
3.81 4.28 14.5161 55.30634 210.7172 16.3068 62.12891
Σ 11.61 11.35 32.7681 102.7615 341.7505 29.7696 94.6053
Ta có hệ phương trình:
5a + 11.61b + 32.7681c = 11.35
11.61a + 32.7681b + 102.7615c = 29.7696
32.7681a + 102.7615b + 341.7505c = 94.6053
Giải hệ này ta được:
a = 5.022148; b = -4.01426; c = 1.002341
0062,0
!10
)9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1(
0016,0
!9

−−−−−−−
+
−−−−−−
−
−−−−−
+
−−−−
−
−−−
+
−−
+
−
−+=
−
−
−
+=
tttttttttt
ttttttttt
ttttttttttttttt
ttttttttttt
ttttttttt
txp
tx
Vậy có quan hệ:
y = 5.022148 - 4.01426x + 1.002341x
2
CHƯƠNG 5
Bài 1

−−−
+
−−−
−−−
+
−−−
−−−
+
−−−
−−−
=
−
−
xxxp
xxxxp
xxxxxx
xxxxxx
xp
Thay x = 50 vào công thức trên ta được y’(50) = 0,008673
Kết quả tính trực tiếp y’(50) = 0.008686
Cách 2 :
Áp dụng công thức Taylo :
h
xfhxf
xf
)()(
)('
−+
≈
Với h = 5 ta có

=
−
T
n
n
T
I
yy
yy
hI
11
0

2
Tính sai số
Với
3
)1(
2
)(''
x
xf
+
=
=> M = max|f’’(x)| = 2
|I – I
T
| ≤ 0.001667 ≤ 0.002
Vậy
I ≈ 0.693771 ±0.002

k
(x)|. Công việc này đòi hỏi tính
toán phức tạp, vì vậy thường tiến hành tính toán 2 lần để kiểm tra độ chính xác được gọi
là tính kép. Trước tiên tính tích phân theo công thức chọn trước với bước chia h nào đó,
sau đó tính lại công thức đó với bước chia h/2 (tăng n gấp đôi). Ký hiệu I
n
và I
2n
là các kết
quả tương ứng. Nếu |I
n
– I
2n
| < ε, (ε là sai số cho phép) thì lấy I ≈ I
2n
.
Nếu |I
n
– I
2n
| ≥ ε thì quá trình lặp với h/4. Bước h đầu tiên thường chọn cỡ
m
ε
, trong đó
m = 2 với công thức hình thang và m = 4 với công thức simsơn (vì trong công thức sai số
đó có chứa tương ứng h
2
và h
4
). Phương pháp trên được sử dụng rộng rãi để chọn bước tự

4
10.3
−
≈h
. Để đơn giản ta tính kép theo bước h đầu tiên
là
8
1
π
=h
và sau đó lấy
16
2
π
=h
sau đó tính toán độ chính xác
Lập bảng giá trị
xx
y
cos
1
+
=
với bước
16
2
π
=h
x
i

i
m
0 0 1 1 1.00000 1 1
1 0.19635 0.98079 1.17714 0.84950 4
2 0.39270 0.92388 1.31658 0.75950 2 4
3 0.58905 0.83147 1.42052 0.70400 4
4 0.78540 0.70711 1.49251 0.67000 2 2
5 0.98175 0.55557 1.53732 0.65050 4
6 1.17810 0.38268 1.56078 0.64070 2 4
7 1.37445 0.19509 1.56954 0.63710 4
8 1.57080 0 1.5708 0.63660 2 2
9 1.76715 -0.19509 1.57206 0.63610 4
10 1.96350 -0.38269 1.58081 0.63260 2 4
11 2.15985 -0.55557 1.60428 0.62330 4
12 2.35620 -0.70711 1.64909 0.60640 2 2
13 2.55255 -0.83147 1.72108 0.58100 4
14 2.74890 -0.92388 1.82502 0.54790 2 4
15 2.94525 -0.98079 1.96446 0.50900 4
16 3.14160 -1 2.1416 0.46690 1 1
Σ 31.2163 15.6157
Từ bảng trên ta thấy với n = 8,
130090,0
3
,3927.0
8
1
≈≈=
h
h
π

Các bạn có thể áp dụng bài trên để giải bài 3 chương 5