SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
————————————

Câu 1 (3,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình:
(2 3) 4 1 (2 3) 4 1 2 (2 3)(2 3)
4
x x y y x y
y x xy

       


 



2. Tìm tất cả hàm số :f

 
thoả mãn:
( ) ( ) ,f x y f x y x y
    


thẳng BC, tia đối của tia CD tương ứng tại E, F (E, F không trùng với B, C). Gọi
1 2
,
I I
và
3
I
lần
lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác ABE, ECF và FAD. Tiếp tuyến của đường tròn
1
( )
I
song song với CD (gần CD hơn) cắt

tại H. Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác
1 2 3
.
I I I

Câu 4 (2,0 điểm).
Xét các số thực dương
, ,
a b c
thỏa mãn
2 3 20.
a b c
  
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 9 4
2

NĂM HỌC 2011-2012
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
———————————
I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh
làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
Câu

Ý

N
ội dung tr
ình bày

Đi
ểm

1 1

2,0 điểm
(2 3) 4 1 (2 3) 4 1 2 (2 3)(2 3) (1)
4 (2)
x x y y x y
y x xy

(2 3) (2 3) 2 (2 3)(2 3)
x y
x y x x
y x
     

0,5
Suy ra
(1) (2 3) (2 3) ( )(2 2 3) 0
x x y y x y x y
        
x y
 
thay vào (2) ta
được
2
0 ( )
2 0
1 1
2 2
x
x x
x y



  

  


(0)
a f

.
0,25
1 1 1
(0) 0.
f f a x
x x x
 
     
 
 

Mặt khác
2 2 2
1 ( ) (0)
0
f x f x a x
f x
x x x x
 
 
    
 
 
.
0,25
2
2

7 4
p p
p


hoặc
7 4
q q
p



0,5
TH1.
7 4
p p
p


, theo định lí Fermat ta có:




7 4 3 mod 3 0 mod 3.
p p
p p p
     

0,5


1 1 1 1
7 4 mod 7 4 mod 7 4 mod
p u p u
q q qv qv
p p p
   
     




7 4 mod 3 0 mod 3.
p p p
     

0,5
Với
3
p

, từ giả thiết ban đầu ta được:






3 3
7 4 7 4 3 9.31. 7 4 3

C
L
H
I
3
A
D
F
I
1Giả sử tiếp tuyến qua H song song với CD của đường tròn


1
I
cắt BC tại K và đường
thẳng qua H song song với BC cắt đường thẳng CD tại L, suy ra CKHL là một hình bình
hành.
0,5
Do các tứ giác ABCD, ABKH ngoại tiếp, nên
AD HL AD CK AD BC BK
AB CD BK AB BK CD AH HK CD
AH LC CD AH DL
     
        
    

Suy ra tứ giác ADLH ngoại tiếp, hay HL tiếp xúc với

F I I
thẳng hàng) (1)
0,5
Chứng minh tương tự, cũng được
3 2
HI EI
 hay
3 1 2
I H I I
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
0,5
4 2,0 điểm Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có
4 4 3 4
2 · 4 3,
4
a a a
a a a
 
     
 
 
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2
a



3 3 9 4
8
4 2 4 2
a b c
a b c
     
(1)
Mặt khác, do
2 3 20
a b c
  
nên
3
5
4 2 4
a b c
  
(chia hai vế cho 4) (2)
0,5
Cộng (1) và (2), vế đối vế, ta được
3 9 4
13.
2
L a b c
a b c
      

0,5
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2, 3, 4.

hoặc
k n

.
Với
2
. . 1
k n n m n m n
    
vô lí.
0,25
Với
3
1
k m m n m m
     

+) Nếu
| | 2
X

thì tập hợp


3
1
,X m m m


.

n

 .
Nếu
m


thì
3
q m n
 
, vô lý. Vậy
3
n m
 
và
2 7
.
q m m
 

0,25
Nhưng tồn tại
t X

sao cho
2
q nt

, do đó