www.VNMATH.com
TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ SỐ 1
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 4, NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: TOÁN; Khối A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số
3 2
3 2
y x x
(1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2. Tìm m để đường thẳng :
(2 1) 4
y m x m
cắt đồ thị (C) tại đúng hai điểm M, N phân biệt và M, N cùng với điểm
( 1;6)
P
tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ làm trọng tâm.
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình
sin 2 cos2 4 2 sin( ) 3cos
4
1
cos 1
x x x x
x
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân
4 3
1
1 ln 2 1
2 ln
e
x x x
I dx
x x
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình thang vuông tại
A
và
B
.
a
Câu 6 (1,0 điểm) Cho ba số thực dương
, ,
a b c
thỏa mãn
2 2 2
1 1 1 1 1 1
28 4 2013
a b c ab bc ca
. Tìm giá trị
lớn nhất của
2 2 2 2 2 2
1 1 1
.
5 2 5 2 5 2
P
a ab b b bc c c ac a
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn
(C):
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E):
2 2
1
4 3
x y
. Hai điểm
( 2; ), (2; )
M m N n
di
động và thoả mãn tích khoảng cách từ hai tiêu điểm
1 2
,
F F
của (E) đến đường thẳng MN bằng 3. Tính
1
cos .
MF N
Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm
(3;0;1), (6; 2;1)
M N
và (P) tạo với mặt phẳng (Oyz) một góc
www.VNMATH.com
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 4, NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: TOÁN; Khối A
Câu Đáp án Điểm
1. (1,0 điểm)
* TXĐ : D=R
* Sự biến thiên
Ta có:
lim ; lim
x x
y y
2
' 3 6
y x x
;
0 2
' 0
2 2
x y
y
x y
2;
; Hàm số nghịch biến trên
0;2
y
CĐ
= 2 tại x = 0 ; y
CT
= - 2 tại x = 2 .
0.25
* Đồ thị : Giao Oy tại (0 ; 2) ; Giao Ox tại (1; 0) và
1 3;0
Đồ thị nhận U(1;0) làm tâm đối xứng
1
2
2
-2
y
x
O
0.25
1 2
,
thỏa
mãn:
x x
x x
1 2
1 2
2
2
0.25
www.VNMATH.com
m
m
5
8
1
2
(1,0 điểm)
Đk
2 ,
x k k Z
sin 2 cos2 4 sinx cos 3cos cos 1 0
x x x x x
0.25
sinx 0
sinx(cos sinx 2) 0
cos sinx 2 0( )
x
x VN
0.25
x k
x x y y
x y
x
y
y
Điều kiện
0 1 1 1 2
0 2 , 0 0 2
x x
y y y
2 2
3 1 2 1 2 3
f x f y x y x y
thay vào pt (2) ta được
0.25
2
2
2
1
3 1
log 2 2 0
2
y
y
y
y y y
y
y
4 3
3
1 1 1
1 ln 2 1
1 ln
2 ln 2 ln
e e e
x x x
x
I dx x dx dx
x x x x
0.25
4 4
3
1
1
1
4 4
e
e
x e
x dx
0.25
www.VNMATH.com
Vậy
4
1 2
ln
4 2
e e
I
.
0.25
(1,0 điểm)
Từ giả thiết suy ra
SH ABCD
và
2 3
3
2
a
SH a
cos 45
d D AHC
DE a a AD a
0.25
5
(1,0 điểm)
2
1
4
2
ABCD
S BC DA AB a
(đ.v.d.t.). Vậy
3
. D
1 4
3
3
S ABC ABCD
a
V SH S
(đvtt)
a 5
2 2a
a
0.25
Mặt khác
2 2
2 2 2
2013
3
8
x y z x y z x y z
0.25
Ta có
2 2 2
2
1 1 1 3 1 1
3
3
8 2 8 2
2
2
5
4
x y
8 2
8
P x y z
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
4026
12
x y z
hay
12
4026
a b c
0.25
7.a
(1,0 điểm)
www.VNMATH.com
(C) có tâm I(0;2), bán kính
2 2
R
. Gọi tọa độ điểm
;2 1
M a a
Do tam giác ABC đều nội tiếp (C) nên
2
có PT là
0
x y
.
Pt của CM là
2 0
x y
. Tọa độ điểm C thỏa mãn hpt
2 2
2
2
0
2
4 4 0
4
x
x y
y
x
x y y
y
a M
Khi đó, AB qua M vtpt là
7 1
;
5 5
IM
có PT là
7 2 0
x y
.
Pt của CM là
7 14 0
x y
. Tọa độ điểm C thỏa mãn hpt
0.25
(1,0 điểm)
2 2
14
Từ đó tìm được tọa độ
14 8
;
5 5
C
0.25
2 2 2
2
2
1 1 1
4 2 1 0
1 2 4
5 1 2 21
a b a b
a b
a b
a b
0.25
M
0.25
9.a
(1,0 điểm)
www.VNMATH.com
Đặt
,z x yi x y
ta được
2 2 2 2
3 2 3 3 3 2 3 3
z z i z x yi x yi x y i x y
0.25
2 2
2 2
4 2
2 3 3
x x y
y x y
0.25
(1,0 điểm)
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z cần tìm là phần đường thẳng
3
y x
với
0
x
.
0.25
(1,0 điểm)
TH1: MN song song với Ox hay
m n
. Khi đó phương trình
: 0
MN y m
2
1 2
2
1 3 2
1
1
cos
65
MF N
Với
2
m
thì
( 2; 2); (2; 2)
M N
Từ đây tính được
1
1
cos
65
MF N
0.25
TH2: MN không song song với Ox.
Ta có phương trình MN là
( ) 4 2 2 0
n m x y m n
1 1
16 ( ) ; 1; 9
MN n m MF m NF n
Do đó,
2 2 2
1
1 1
10 (16 ( ) )
cos 0
2
m n n m
MF N
MF NF
0.25
(1,0 điểm)
Gọi vtpt của (P) là
2 2 2
; ; , 0
n a b c a b c
Vì
0
0 90
)
Mặt phẳng (Oyz) có véctơ pháp tuyến
1;0;0
i
0.25
2 2 2
2
cos *
7
a
a b c
Thế
3
2
a
b
+ Với
3
c a
;
3
2
a
b
chọn
2 3; 6
a b c
,
: 2 3 6 0
P x y z
0.25
www.VNMATH.com
(1,0 điểm)
3
cos sin cos sin
2 6 6 6 6
n
n
i n n
A i i
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
III. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số
2 2
1
x
y
x
(1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số
(1)
.
2. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C), đường thẳng
( ) : 2 5 0
d x y
cắt
( )
C
tại hai điểm A, B với
A
có
hoành độ dương. Viết phương trình các tiếp tuyến của
2
2
0
cos sin .
I x x xdx
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, tâm O và góc
0
60
BAD
; D’O
vuông góc với (ABCD), cạnh bên tạo với đáy một góc = 60
o
. Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp
C.ADC’.
Câu 6 (1,0 điểm) Cho ba số thực không âm
, ,
a b c
có tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2 2
9
2
abc
P a b c
2
1
2
zyx
. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I
(d) và tiếp
xúc với hai mặt phẳng (P
1
), (P
2
).
Câu 9.a (1,0 điểm) Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức
4 2 6
; (1 )(1 2 );
1 3
i i
i i
i i
trong mặt phẳng
phức. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông.
(1;2; 1), ( 2;1;3)
A B
. Tìm tọa độ điểm M trên
trục Ox để tam giác AMB có diện tích nhỏ nhất.
Câu 9.b (1,0 điểm) Một hộp đựng 4 viên bi xanh , 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên ra hai viên bi.
Tính xác suất để chọn được 2 viên bi khác màu.
HẾT
www.VNMATH.com
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ SỐ 1
www.VNMATH.com
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 4, NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: TOÁN; Khối D
Câu Đáp án Điểm
a. (1,0 điểm)
+ Tập xác định
\ 1
D R
+ Sự biến thiên
lim 2
Hàm số nghịch biến trên
;1 , 1;
.
Hàm số không có cực trị.
0.25
Bảng biến thiên:
x
1
'
y
+
0
||
1 2
x x
x
0.25
3
3;4
3 ( )
x
A
x loai
Hệ số góc của IA là
3 1
1
4 2
k
(2,0 điểm)
Từ đó, ta xác định được các tiếp tuyến là:
7, 1
y x y x
0.25
(1,0 điểm) 2
(1,0 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với:
4sin 3 sin 5 sin3 sinx 0
x x x
0.25
2
2
www.VNMATH.com
3sin3 sin 5 sin 0 3sin 3 2sin 3 .cos2 0 sin3 (3 2cos2
) 0
x x x x x x x x
y x y xy x
x y x y
y xy x
x y x y
x y
0.25
Trường hợp x = y thay vào phương trình:
( 4 )(2 4) 36
x y x y
ta được phương trình:
2
6
4 12 0
2
x
x x
x
nên nếu
( ; )
x y
là nghiệm thì
0
xy
0.25
3
(1,0 điểm)
Mặt khác
2 2
( 4 )(2 4) 36 2 4 9 4 16 36
x y x y x y xy x y
2 2
2( 1) 4( 2) 9 18
x y xy
(*)
Do
0
xy
nên PT(*) vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm
( 6; 6);(2;2)
2
2
2
0
0
cos cos 1 2sin cos cos
I x x x x x xdx
0.5
4
(1,0 điểm)
3
2 2
2
2 2
0
0
0 0
cos 2 4
1 cos 2 cos cos 1 sin (2. ) 1 1
3 3 3
x
www.VNMATH.com
Tam giác ABD đều,
a 3 1 a
AC 2AO 2. a 3 v OD BD ; DD'=a
2 2 2
Gọi O’ là tâm của hình thoi A’B’C’D’. Ta có:
OO' DD '
a
và
OO'
AC
(do
' '
AC BDD B
), nên diện tích tam giác ACC’ là:
2
ACC ' ACC'A '
1 1 1 a 3
S S OO'.AC a.a 3
Diện tích tam giác C’CD là
2
C 'CD CDD'C'
1 1 1 a 15 a 15
S S CD.D ' H a.
2 2 2 4 8
Vậy diện tích xung quanh của hình chóp C.ADC’ là:
2 2 2 2
xq ACC ' ACD CDC'
a 3 a 3 a 15 a 3
S S S S 6 5
2 4 8 8
0.25
Thể tích
2 3
. ' '.
1
3
1 3 3
' .
3 2 4 8
bc a a
0.25
Không mất tình tổng quát giả sử
( , , )
a min a b c
nên
1
[0; ]
3
a
Khi đó hàm
2
9
( ) ( 2) 2 2 1
2
a
f t t a a
là hàm nghịch biến.
2 2
9
( ) ( 2) 2 2 1 (0) 2 2 1
2
a
f t t a a f a a
0
30
ABC
, đường thẳng
: 2 1 0
d x y
là
tiếp tuyến tại B của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ các điểm B và C.
Gọi H là hình chiếu của A trên d là
7 9
;
5 5
H
,
( ; )
AH d A d
1
5
Tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC là trung điểm BC
d vuông góc BC nên BC//AH suy ra
0
60
7 3 9 2 3 7 3 9 2 3
; ;
5 15 5 15 5 15 5 15
B B
TH1:
7 3 9 2 3
;
5 15 5 15
B
Phương trình BC qua B vuông góc với d là
1
2 5 0
3
x y
1
Phương trình BC qua B vuông góc với d là
1
2 5 0
3
x y
1
5 2 ;
3
C BC C a a
31 2 3 13 3 31 2 3
. 0 ;
15 15 15
AC AB a C
d (I, (P
1
)) = d (I ; (P
2
))
1
13
1610
3
1
39
3
1
t
t
tt
0.25
1 2
(11;26; 35); ( 1; 2;1)
I I
2 2
1 1 1
i i
i
i
i i i
có điểm biểu diễn A= (2; -2).
1 1 2 3
i i i
có điểm biểu diễn B= (3; 1).
2 6 3
2 6
2
3 3 3
i i
: 1
25 9
x y
E
có
2
2 2 2
2
1 2
5
2 1025
4 8
16
9
a
aa
c F F
c a b
b
0.25
1
2
9
7
61
7
PF
PF
0.25
(1,0 điểm)
1 2
ABM
S AM AB t t
0.25
8.b
(1,0 điểm)
Hàm số
2
( ) 17 2 75
f t t t
đạt GTNN tại
1
17
t
. Vậy
1
;0;0
17
M
. Suy ra,
5 13
( ) 1 1
18 18
P H P H
.
0.25