Sở GD-ĐT Thanh hóa ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
Trường THPT H.Hóa 2 (Thời gian làm bài 180’- Không kể thời gian phát đề)
MÔN THI: TOÁN
Bài 1. ( 2 điểm)
Cho hàm số f(x) =
Chứng minh rằng
xdxx sin1
4
4
2
∫
−
+
π
π
= f’(0).
Bài 2. ( 2 điểm)
Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền
khi quay quanh trục oy.
Bài 3. ( 2 điểm)
Tìm m để bất phương trình: mx
2
+ mx + m -2 ≥ 0 có nghiệm x∈(1;2).
Bài 4. ( 2 điểm)
Giải và biện luận phương trình: 4x+1+2(m-1)x-1=(m+1)
134
2
−−
xx

theo tham số m.

0
2
−
→
Bài 8. ( 2 điểm)
Giải và biện luận theo m bất phương trình:

)3(log)()1(
3
1
2
+−≥++−
xmxmxmx
Bài 9. ( 2 điểm)
Trong mặt phẳng oxy cho hypebol (H):
1
9
2
2
=− y
x
và đường tròn (C): x
2
+y
2
=9.
1. Viết phương trình tiếp tuyến của (H) kẻ qua điểm M(3;1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến chung của (H) và (C).
Bài 10. ( 2 điểm)
Cho elip (E):

y=0
Sở GD-ĐT Thanh hóa ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI LỚP
12 THPT
Trường THPT H.Hóa 2 ( NGÂN HÀNG ĐỀ THI )
MÔN THI : TOÁN
Bài 1 2 điểm
f’(0)=
2
0
2
2
0
1
sinlim
1
sin
lim
x
x
x
x
x
xx
∆
∆=
∆
∆
∆
→∆→∆


−
4
4
2
sin1
π
π
xdxx
++
∫
−
0
4
2
sin1
π
xdxx
∫
+
4
0
2
sin1
π
xdxx
Đặt x=-t thì dx=-dt , với x=-π/4 thì t=π/4, với x=0 thì t=0
⇒
=+
∫
−

0
2
sin1
π
tdtt
=+
∫
4
0
2
sin1
π
xdxx
++−
∫
4
0
2
sin1
π
xdxx
0sin1
4
0
2
=+
∫
π
xdxx
(2)

ππ

2
3
0
4
)4(8412 +=+=
∫
−
ydyy
ππ

−
0
4
= 64π
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 3 2 điểm
Gián tiếp loại bỏ f(x) = mx
2
+ mx + m -2 <0, ∀x∈(1;2)
0,5
0,5
-4
5
3
1

⇒ m ≤ Min
[ ]
7
2
)(
2;1
=
xg
Vậy m >
7
2
thì bất phương trình có nghiệm ∀x∈(1;2).
0,5
0,5
Bài 4 2 điểm

Điều kiện 4x
2
-3x-1≥0 ⇔
Phương trình ⇔
1
14
−
+
x
x
- (m+1)
1
14
−

22
2
2
−−
+−
mm
mm
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 5 2 điểm
Nhận thấy sin
2
x
=0 ⇔ x=k2π (k∈Z) không phải nghiệm của PT
PT ⇔ 2cosxsin
2
x
+2cos2xsin
2
x
+2cos3xsin
2
x
+2cos4xsin

1
sin
1
sin
1
=
x≥1
x≤
4
1
−
t≥0
t≠2
t
2
-(m-1)+2(m-1)=0
0≤t≠2
t
1
=2
t
2
=m-1
m≥1
m≠3
m<1
m=3




1
sin
1
sin
1
sin
1
4
3
2
sin
2
sin
2
sin41
≥
≥ 1+






++







.
2
sin
2
sin
2
sin44
4
3
4
≥












++







cos
2
cos
2
cos
1
3
4
3
1
2
1
.41
3
+≥








−++
CBA

Dấu ‘=’ xảy ra khi

⇔ A=B=C ⇔ ∆ABC đều.
1,0

2
0
cos4.sin
3ln
.
3ln
1
lim
2sin
13
lim
22

3ln
4
1
=

1,5
0,5
Bài 8 2 điểm
Điều kiện x>-3
Bất PT ⇔ (x-m) [x-1+log
3
(x+3)] ≥ 0
Đặt f(x)= x-1+log
3
(x+3) f(x) đồng biến trong (-3;+∞)
f(0)=0, nên x≥0 ⇔ f(x) ≥ f(0)=0 hay f(x) cùng dấu với x.
Do đó BPT ⇔

sin
1
sin
1
sin4
3
sin4
3
sin4
3
2
sin
2
sin
2
sin4
=
++=++
===
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
(x-m)x≥0
x>-3
-3<x≤0
x≥m
-3<x≤m
x≥0

0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 10 2 điểm

Tọa độ giao điểm của (d
1
) và (E) là nghiệm của hệ :

kyx
y
x
=
=+ 1
4
2
2
⇔
2
4
2
k
y
kyx
+
±=
=

+
±=
−=
⇒ BD
2
=
2
2
41
)1(16
k
k
+
+
Vì (d
1
) ⊥ (d
2
) nên AC ⊥ BD ⇒ 4S
2
= AC
2
.BD
2
=
)41)(4(
)1(16
22
222
kk

x
Bảng biến thiên:
0,50
0,50
0,25
0,25
9a
2
-b
2
=(3a+b)
2
3a+b≠0
2b(b+3a)=0
3a+b≠0
9=a
2
a=3
a≠0
9k
2
=b
2
+1
9k
2
+9=b
2
25
4

;0
=
+∞
xf
khi x=1 ⇔ k=±1
Vậy Max S
ABCD
=4 khi k=0, Min S
ABCD
=
5
16
khi k=±1.
0,50