Sở GD&ĐT Thanh hoá
Trờng THPT Thọ Xuân 4
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT
Năm học 2005-2006
Môn thi: Toán - bảng A
(thời gian làm bài: 180 phút)
Câu 1: (2đ)
Không dùng bảng số hoặc mấy tính cá nhân chứng minh:
tg 55
0
> 1,4.
Câu 2: (2 đ )
Chứng minh


+
=
+
2
0
2
0

xSinxCos
dxxSin
xSinxCos
dxCos
nn
n
nn
n

3
(2123
2
sin4
22

+= xCosxCos
x
Câu 6 (2đ) Trong tam giấc ABC có các góc và các cạnh thoả mãn:
22
4
21
ca
ca
SinB
CosB

+
=
+
(1)
Chứng minh tam giác là tam giác cân
Câu 7: ( 2 đ )
Tìm giới hạn E =
)
11
(
1
nm
x

1
) : x
2
+ y
2
x 6y + 8 = 0
(C
2
): x
2
+ y
2
2mx 1 = 0
T×m m ®Ó (C
1
) vµ ( C
2
) tiÕp xóc víi nhau Nãi râ lo¹i tiÕp xóc.
C©u 10 (2®)
Chøng minh r»ng nÕu n lµ sè nguyªn, n
≥
1 th×

1
1
1
1
+



18
1
101
101
)1045(55
0
0
000



+
=

+
=+=
tg
tg
tg
tg
tgtg

Xét hàm số : f(x) =
x
x

+
1
1
ta có:

=1,4
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
2
Đặt t=
2

-x

dt = - dx.
Ta có:


+
2
0
xSinxCos
xdxCos
nn
n
=




+



2
0
xSinxCos
xdxSin
nn
n
(1)
Mặt khác:


+
2
0
xSinxCos
xdxCos
nn
n
+


+
2
0
xSinxCos
xdxSin
nn
n
=



(0,5đ)
(0,25đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,25đ)
3

644
4
44
=+++++ mxxmxx
(1)
Đặt t=
4
4
4 mxx ++
(t

0) (2)

t
2
=
mxx ++ 4
4

0,25đ
0,25đ

Ta có:

3
-4=-4(x
3
+1)
f(x)=0

x=-1và f(-1)=19

Lim
x
= -

Bảng biến thiên của f(x)
x -

-1 +

F(x) + 0 -
F(x)
19
-

-


Từ bảng biến thiên ta có bảng biện luận theo m số nghiệm
của (1) nh sau:
m Số nghiệm của phơng trình (1)
+


trình (2) có 2 nghiệm dơng t
1
; t
2
dơng.(0<t
1
<t)
Khi đó:
21
tx =
,
1312
, txtx ==
và
24
tx =
Do đó: - 2< x
1
<-1 < x
2
< 0 < x
3
< 1< x
4
< 2






097
05
03
0)4(
0)0(
0)1(
014
21012
12
2112
m
m
m
m
m
m
af
af
af
tt
tttt
(Không có m thoả mãn )
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
5
Ta có:






+
)(
6
2 xx =

+
+k2







+

=

+

=
)3(2
6
7
)2(
3

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
6
22
4
21
ca
ca
SinB
CosB

+
=
+
( 1)
Ta có:
(1)
ca
ca
BSin
CosB

+
=
+


2
1
2
.
2
2
2
2
1
2
2

ca
aB
g

=+
2
4
2
cot1
2

ca
a
B
Sin

=
2

0
0)(
)(2
2
24
=−⇒
=−⇒
+=⇒
=⇒
=⇒
BA
BASin
BASinSinACosB
SinCSinACosB
RSinCRSinACosB
( V× -
)Π<−<Π BA

BA
=⇒
hay
ABC
∆
lµ tam gi¸c c©n t¹i C.
0,25®
0,5®
7 Ta cã:
E =



1
1
11
1
1
lim
1
=
=








−
++++−
−
−
++++−
−−
n
n
m
m
x
x
xxxn

xxx
x
xxx
Lim
1
)1 ()1()1(
1
)1( )1()1(
1212
1













++++
+++++++
−


1
) 1( )1(1
lim
E=
n
n
m
m )1( 21)1( 21 −+++
−
−+++
E=
22
1
2
1
2
)1(
2
)1( nmnm
n
nn
m
mm −
=
−
−
−
=
−
−

tt
2.21
5
4
5
1
5 +=














+






⇔
(3)

; g(t) = 1+2. 2
t

0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
Ta có: f(t) là hàm số giảm, g(t) là hàm số tăng
Và f(1) = g (1)
Do đó: (3)
121 == yxt
Vậy hệ (I)



=+++++
+=

0)1ln(32
12
23
yyyy
yx
Đặt h(y) = y
3
+ 2y + 3 + ln ( y
2
+ y +1 )
Ta có: h


2
>
++
++
+
yy
y
y
h

(y) >0

h(y) là hàm số tăngvà h(-1) = 0
Vậy (I)



=
=




=
+=

1
0
1
12

yx
(C
2
): (x-m)
2
+ y
2
= m
2
+ 1
Vậy ( C
1
) là đờng tròn với tâm O
1







3;
2
1
và bán kính R
1
=
2
5
;





+
mmmm
m
a, ( C
1
) và ( C
2
) tiếp xúc ngoài nếu R
1
+R
2
= O
1
O
2
3744445
22
+=++ mmm
37442020294
222
+=+++ mmmm

=+ 755
2
m
m

b, (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc trong nếu
2121
OORR =

3744445
22
+=+ mmm
(1)
+) nếu
2
1
>m
thì R
2
> R
1
, do vậy từ (1) ta có
3744544
22
+=+ mmm
37442020294
222
+=++ mmmm
557
2
+= mm

và khi đó mọi sự tiếp xúc đều là tiếp xúc
ngoài
0,25đ
0,25đ
0,25đ
10 áp dụng bất đẳng thức côsi cho n+1 số gồm
n số 1+
n
1
và số 1 ta có:
1
1
1
1
2
+






+
+
+

n
n
nn
n

1
1
1
1
+






+
+
n
n
>
n
n






+
1
1
0,25đ
0,5đ
0,25đ

+






+++






+
n
sốthừan
nghsốn
nnn
nn