Câu 1:
Câu hỏi:
Cho cơ hệ gồm ba vật 0, 1, 2 liên kết với nhau bằng các khớp bản lề O và A.
Tại thời điểm ban đầu như biểu diễn trên hình vẽ, ba điểm O, A, B cùng nằm trong mặt
phẳng thẳng đứng OYZ của hệ quy chiếu cố định OXYZ. Cho các kích thước hình học
a=0,5m, b =0,3m và các góc quay ϕ = θ
10
, Ψ = θ
21
.
1) Viết các ma trận quay A
10
, A
21
, A
20
.
2) Xác định các vectơ r
A
, r
B
theo ϕ và Ψ.
3) Tính
A
r

,
B
r

tại thời điểm bất kỳ và tại thời điểm ứng với khi ϕ = π/2 rad, Ψ = π rad,

B
đặt tại các
điểm A và B. Thiết lập hệ phương trình chuyển động của hệ dưới dạng phương trình
Lagrăng loại 2 (bỏ qua trọng lực của m
A
, m
B
).
1) Xác định các ma trận quay:










ϕϕ
ϕ−ϕ=
cossin0
sincos0
001
10
A
,




cossincossinsin
sin0cos
211020
AAA
2) Xác định r
A
, r
B
.
•
T
10
]000[=R
,
T
21
]00[ a=R
•










ϕ
ϕ=



=+==
sin
cos
0
0
0
cossin0
sincos0
001
0
0
0
21101020A
a
aaRARRr
(1)
•
)2(
B2020
)0(
BB
rARrr +=≡
=






ϕ
ba
a 0
0
coscossinsincos
cossincossinsin
sin0cos
sin
cos
0
⇔ r
B
=










Ψϕ+ϕ
Ψϕ−ϕ
Ψ
coscossin
cossincos
sin
ba






ΨϕΨ−Ψϕϕ−ϕϕ
ΨϕΨ+Ψϕϕ−ϕϕ−
ΨΨ
==
sincoscossincos
sinsincoscossin
cos
BB






bba
bba
b
rV
(4)
• Khi ϕ = π/2, Ψ = π,
ϕ

= 1,
Ψ


B
= Mδϕ +
q
q
r
F δ
∂
∂
B
T
= Mδϕ +
[ ]






Ψδ
δϕ











Ψϕ−Ψϕ+Ψ=
Ψ
sincossinsincos
321
bFbFbFQ
5) Viết phương trình chuyển động của hệ.
• Tổng động năng của hệ:
[ ]
+ϕϕ+ϕϕ=+=
22
AB
T
BBA
T
AA
)cos()sin(
2
1
2
1
2
1

aammmT rrrr
[
+ΨϕΨ−Ψϕϕ+ϕϕ+ΨΨ+
22
B
)sinsincoscossin()cos(
2

abmbmbamam
•
[ ]
ΨΨ−ϕΨ++=
ϕ∂
∂
sin)cos(
B
222
B
2
A



abmbamam
T
,
2
[ ]
−ΨΨϕ−ϕΨ++=








ϕ∂

B
2
B



abmbm
T
,
ΨΨϕ−Ψϕ−Ψ=






Ψ∂
∂
cossin
BB
2
B




abmabmbm
T
dt
d

TT
dt
d

và
Ψ
=
Ψ∂
∂
−






Ψ∂
∂
Q
TT
dt
d

⊕
[ ]
[ ]
ΨΨ+ΨΨ+ΨΨϕ−ϕΨ++ cossin2sin)cos(
22
B
222

Cho cơ hệ gồm ba vật 0, 1, 2 liên kết với nhau bằng các khớp bản lề O và A.
Tại thời điểm ban đầu như biểu diễn trên hình vẽ, ba điểm O, A, B cùng nằm trong mặt
phẳng thẳng đứng OYZ của hệ quy chiếu cố định OXYZ. Cho các kích thước hình học
a=0,5m, b =0,4m và các góc quay ϕ = θ
10
, Ψ = θ
21
.
1) Viết các ma trận quay A
10
, A
21
, A
20
.
2) Xác định các vectơ r
A
, r
B
theo ϕ và Ψ.
3) Tính
A
r

,
B
r

tại thời điểm bất kỳ và tại thời điểm ứng với khi ϕ = π rad,
Ψ = π/2 rad,

B
đặt tại các
điểm A và B. Thiết lập hệ phương trình chuyển động của hệ dưới dạng phương trình
Lagrăng loại 2 (bỏ qua trọng lực của m
A
, m
B
).
1) Các ma trận quay:










ϕϕ
ϕ−ϕ=
cossin0
sincos0
001
10
A
,




sincoscossincos
0sincos
211020
AAA
2) Xác định r
A
, r
B
.
•
T
10
]000[=R
,
T
21
]00[ a=R
,
R
20
= R
10
+ A
10
R
21
⇔ R
20
=



ϕϕ
ϕ−ϕ+










cos
sin
0
0
0
cossin0
sincos0
001
0
0
0
a
a
a
• r
A
= R



ϕΨϕΨϕ
ϕ−ΨϕΨϕ
Ψ−Ψ
+










ϕ
ϕ−
0
0
coscossinsinsin
sincoscossincos
0sincos
cos
sin
0
b
a
a
⇔ r




ϕϕ−
ϕϕ−==
sin
cos
0
AA


a
arV
(3)










ΨϕΨ−Ψϕϕ+ϕϕ−
ΨϕΨ−Ψϕϕ−ϕϕ−
ΨΨ−
==
sinsincoscossin
sincoscossincos

= [0, 1.4, 0]
T
(m/s) ⇒ V
B
= 1.40 m/s
4) Tính các lực suy rộng.
• q = [ϕ, Ψ]
T
⇒ cần tính các lực suy rộng Q
ϕ
và Q
Ψ
.
• Tổng công ảo của mômen M và lực F:
δW = δW(M) + δW(F) = Mδϕ + F
T
δr
B
= Mδϕ +
q
q
r
F δ
∂
∂
B
T
=
[ ]


[ ]
δϕΨϕ−ϕ−Ψϕ+ϕ− )coscossin()cossincos(
32
baFbaFM
-
-
[ ]
ΨδΨϕ+Ψϕ+Ψ sinsinsincoscos
321
bFbFbF
• Các lực suy rộng:
[ ]
)coscossin()cossincos(
32
Ψϕ−ϕ−Ψϕ+ϕ−=
ϕ
baFbaFMQ
[ ]
Ψϕ+Ψϕ+Ψ−=
Ψ
sinsinsincoscos
321
bFbFbFQ
5) Phương trình chuyển động của hệ.
• Tổng động năng của hệ:
[ ]
+ϕϕ−+ϕϕ−=+=
22
AB
T

=
( )
ΨΨϕ+Ψ+Ψϕ+ϕ+ϕ sin2cos
2
1
2
1
2222222
B
22
A




abbbamam
⇔
[ ]
ΨΨϕ+Ψ+ϕΨ++= sin
2
1
)cos(
2
1
B
22
B
2222
B
2




ϕ∂
∂
2sin)cos(
2
B
222
B
2
A



bmbamam
T
dt
d
ΨΨ+ΨΨ+ cossin
2
BB

abmabm
,
0=
ϕ∂
∂T
,
•

abmabmbm
T
dt
d
,
ΨΨϕ+ΨΨϕ−=
Ψ∂
∂
coscossin
B
22
B


abmbm
T
,
• Các phương trình chuyển động của hệ:
ϕ
=
ϕ∂
∂
−








BB
2
B
222
B
2
A


abmabmbmbamam
=
[ ]
)coscossin()cossincos(
32
Ψϕ−ϕ−Ψϕ+ϕ− baFbaFM
,
( )
ΨΨϕ+Ψϕ+Ψ cossinsin
22
BB
2
B


bmabmbm
=
=
[ ]
Ψϕ+Ψϕ+Ψ− sinsinsincoscos
321

B
r

tại thời điểm bất kỳ và tại thời điểm ứng với khi ϕ = π/2 rad,
Ψ = π/2 rad,
ϕ

=
Ψ

= 1rad/s.
4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F
1
, F
2
, F
3
]
T
tác
dụng tại điểm B trên vật 2 (F
1
, F
2
, F
3
được cho trong hệ quy chiếu cố định). Tính các
lực suy rộng Q
ϕ
, Q

10
A
,










ΨΨ
Ψ−Ψ=
cossin0
sincos0
001
21
A














ϕ
ϕ−
=




















ϕϕ
ϕ−ϕ
+


BB
rARrr +=≡
=




















ΨΨ
Ψϕ−Ψϕϕ
ΨϕΨϕ−ϕ
+








Ψ
Ψϕ−ϕ
Ψϕ+ϕ−
cos
sincoscos
sinsinsin
b
ba
ba
(2)
3) • Vận tốc của điểm A và điểm B tại thời điểm bất kỳ:










ϕϕ−
ϕϕ−
==
0
sin




b
bba
bba
rV
(4)
• Khi ϕ = Ψ = π/2,
ϕ

=
Ψ

= 1: sinϕ = 1, cosϕ = 0, sinΨ = 1, cosΨ = 0.
Thay các giá trị đã biết vào (3), (4) và xác định được:
V
A
= [0, -0.5, 0]
T
(m/s), V
A
= 0.50m/s,
V
B
= [0, -0.25, -0.25]
T
(m/s), V
B
=



Ψδ
δϕ










Ψ−
Ψϕ−Ψϕ+ϕ−
ΨϕΨϕ+ϕ−
+δϕ
sin0
coscossinsinsin
cossinsincoscos
321
b
bba
bba
FFFM
=
[ ]
δϕΨϕ−ϕ−Ψϕ−ϕ− )sinsinsin()sincoscos(
21

2
1
2
1
2
1

aammmT rrrr
[
+ΨϕΨ−Ψϕϕ−ϕϕ+
2
B
)cossinsincoscos(
2
1


bbam
]
22
)sin()coscossinsinsin( ΨΨ−+ΨϕΨ+Ψϕϕ−ϕϕ+


bbba
=
( )
Ψϕ−Ψ+Ψϕ+ϕ+ϕ sin2sin
2
1
2

ϕ∂
∂


2
B
2
A
)sin( bamam
T
,
[ ]
ΨϕΨ−Ψ−ϕΨ−+=








ϕ∂
∂



)sin(cos2)sin(
B
2
B

∂


2
B
bm
T
dt
d
,
2
B
)sin(cos ϕΨ−Ψ−=
Ψ∂
∂

babm
T
,
• Các phương trình chuyển động của hệ:
ϕ
=
ϕ∂
∂
−






ΨϕΨ−Ψ−ϕΨ−+


)sin(cos2)sin(
B
2
B
2
A
babmbamam
=
=
[ ]
)sinsinsin()sincoscos(
21
Ψϕ−ϕ−Ψϕ−ϕ− baFbaFM
,
2
B
2
B
)sin(cos ϕΨ−Ψ+Ψ


babmbm
=
=
Ψ−Ψϕ−Ψϕ sincoscoscossin
321
bFbFbF

r

tại thời điểm bất kỳ và tại thời điểm ứng với khi ϕ=3π/2 rad,
Ψ=3π/2 rad,
ϕ

=
Ψ

= 3rad/s.
4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F
1
, F
2
, F
3
]
T
tác
dụng tại điểm B trên vật 2 (F
1
, F
2
, F
3
được cho trong hệ quy chiếu cố định). Tính các
lực suy rộng Q
ϕ
, Q
Ψ

A
,










ΨΨ
Ψ−Ψ=
cossin0
sincos0
001
21
A










ΨΨ



ϕ
ϕ−
=




















ϕϕ
ϕ−ϕ
+



rARrr +=≡
=










−










ΨΨ
Ψϕ−Ψϕϕ
ΨϕΨϕ−ϕ
+








Ψ−
Ψϕ+ϕ
Ψϕ−ϕ−
cos
sincoscos
sinsinsin
b
ba
ba
(2)
3) • Vận tốc của điểm A và điểm B tại thời điểm bất kỳ:










ϕϕ−
ϕϕ−
==
0
sin




b
bba
bba
rV
(4)
• Khi ϕ = Ψ = 3π/2,
ϕ

=
Ψ

=3: sinϕ =-1, cosϕ = 0, sinΨ =-1, cosΨ = 0.
Thay các giá trị đã biết vào (3), (4) và xác định được:
V
A
= [0, 3.0, 0]
T
(m/s), V
A
= 3.00m/s,
V
B
= [0, 1.2, -1.8]
T
(m/s), V
B
=



Ψδ
δϕ










Ψ
ΨϕΨϕ−ϕ−
Ψϕ−Ψϕ−ϕ−
+δϕ
sin0
coscossinsinsin
cossinsincoscos
321
b
bba
bba
FFFM
=
[ ]
δϕΨϕ+ϕ−Ψϕ+ϕ− )sinsinsin()sincoscos(
21

2
1
2
1
2
1

aammmT rrrr
[
+ΨϕΨ+Ψϕϕ+ϕϕ+
2
B
)cossinsincoscos(
2
1


bbam
]
22
)sin()coscossinsinsin( ΨΨ+ΨϕΨ−Ψϕϕ+ϕϕ+


bbba
=
( )
Ψϕ+Ψ+Ψϕ+ϕ+ϕ sin2sin
2
1
2

ϕ∂
∂


2
B
2
A
)sin( bamam
T
,
[ ]
ΨϕΨ+Ψ+ϕΨ++=








ϕ∂
∂



)sin(cos2)sin(
B
2
B

∂


2
B
bm
T
dt
d
,
2
B
)sin(cos ϕΨ+Ψ=
Ψ∂
∂

babm
T
,
• Các phương trình chuyển động của hệ:
ϕ
=
ϕ∂
∂
−






ΨϕΨ+Ψ+ϕΨ++


)sin(cos2)sin(
B
2
B
2
A
babmbamam
=
=
[ ]
)sinsinsin()sincoscos(
21
Ψϕ+ϕ−Ψϕ+ϕ− baFbaFM
,
2
B
2
B
)sin(cos ϕΨ+Ψ−Ψ


babmbm
=
=
Ψ+Ψϕ+Ψϕ− sincoscoscossin
321
bFbFbF

r

tại thời điểm bất kỳ và tại thời điểm ứng với khi ϕ=3π/2 rad,
Ψ=π/2 rad,
ϕ

=3rad/s,
Ψ

=1rad/s.
4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F
1
, F
2
, F
3
]
T
tác
dụng tại điểm B trên vật 2 (F
1
, F
2
, F
3
được cho trong hệ quy chiếu cố định). Tính các
lực suy rộng Q
ϕ
, Q
Ψ

A
,










ΨΨ
Ψ−Ψ=
cossin0
sincos0
001
21
A










ΨϕΨϕϕ−



ϕ
ϕ
=




















ϕϕ−
ϕϕ
+



BB
rARrr +=≡
13
=




















ΨϕΨϕϕ−
Ψ−Ψ
ΨϕΨϕϕ
+







Ψϕ+ϕ
Ψ
Ψϕ+ϕ
sincoscos
cos
sinsinsin
ba
b
ba
(2)
3) • Vận tốc của điểm A và điểm B tại thời điểm bất kỳ:










ϕϕ−
ϕϕ
==
sin
0




bba
b
bba
rV
(4)
• Khi ϕ=3π/2, Ψ=π/2,
ϕ

=3,
Ψ

=1: sinϕ=-1, cosϕ=0, sinΨ=1, cosΨ=0.
Thay các giá trị đã biết vào (3), (4) và xác định được:
V
A
= [0, 0, 15]
T
(dm/s) ⇒ V
A
= 15.0dm/s,
V
B
= [0, -4.0, 27.0]
T
(dm/s) ⇒ V
B
=



Ψδ
δϕ










ΨϕΨϕ−ϕ−
Ψ−
ΨϕΨϕ+ϕ
+δϕ
coscossinsinsin
sin0
cossinsincoscos
321
bba
b
bba
FFFM
=
[ ]
δϕΨϕ+ϕ−Ψϕ+ϕ+ )sinsinsin()sincoscos(
31

2
1
2
1
2
1

aammmT rrrr
[
+ΨϕΨ+Ψϕϕ+ϕϕ+
2
B
)cossinsincoscos(
2
1


bbam
]
22
)coscossinsinsin()sin( ΨϕΨ−Ψϕϕ+ϕϕ+ΨΨ−+



bbab
14
=
( )
Ψϕ+Ψ+Ψϕ+ϕ+ϕ sin2sin
2

ϕΨ++=
ϕ∂
∂


2
B
2
A
)sin( bamam
T
,
[ ]
ΨϕΨ+Ψ+ϕΨ++=








ϕ∂
∂



)sin(cos2)sin(
B
2

Ψ∂
∂


2
B
bm
T
dt
d
,
2
B
)sin(cos ϕΨ+Ψ=
Ψ∂
∂

babm
T
,
• Các phương trình chuyển động của hệ:
ϕ
=
ϕ∂
∂
−





[ ]
ΨϕΨ+Ψ+ϕΨ++


)sin(cos2)sin(
B
2
B
2
A
babmbamam
=
=
[ ]
)sinsinsin()sincoscos(
31
Ψϕ+ϕ−Ψϕ+ϕ+ baFbaFM
,
2
B
2
B
)sin(cos ϕΨ+Ψ−Ψ


babmbm
=
=
Ψϕ+Ψ−Ψϕ coscossincossin
321

B
r

tại thời điểm bất kỳ và tại thời điểm ứng với khi ϕ=π/2 rad,
Ψ=3π/2 rad,
ϕ

=1rad/s,
Ψ

=3rad/s.
4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F
1
, F
2
, F
3
]
T
tác
dụng tại điểm B trên vật 2 (F
1
, F
2
, F
3
được cho trong hệ quy chiếu cố định). Tính các
lực suy rộng Q
ϕ
, Q

10
A
,










ΨΨ
Ψ−Ψ=
cossin0
sincos0
001
21
A














ϕ−
ϕ−
=










−










ϕϕ−
ϕϕ
+

B2020
)0(
BB
rARrr +=≡
16
=




















ΨϕΨϕϕ−
Ψ−Ψ
ΨϕΨϕϕ
+







Ψϕ+ϕ−
Ψ
Ψϕ+ϕ−
sincoscos
cos
sinsinsin
ba
b
ba
(2)
3) • Vận tốc của điểm A và điểm B tại thời điểm bất kỳ:










ϕϕ
ϕϕ−
==






bba
b
bba
rV
(4)
• Khi ϕ=π/2, Ψ=3π/2,
ϕ

=1,
Ψ

=3: sinϕ=1, cosϕ=0, sinΨ=-1, cosΨ=0.
Thay các giá trị đã biết vào (3), (4) và xác định được:
V
A
= [0, 0, 4]
T
(dm/s) ⇒ V
A
= 4.0dm/s,
V
B
= [0, 15.0, 19.0]
T
(dm/s) ⇒ V





Ψδ
δϕ










ΨϕΨϕ−ϕ
Ψ−
ΨϕΨϕ+ϕ−
+δϕ
coscossinsinsin
sin0
cossinsincoscos
321
bba
b
bba
FFFM
=
[ ]

AA
)sin()cos(
2
1
2
1
2
1

aammmT rrrr
[
+ΨϕΨ+Ψϕϕ+ϕϕ−+
2
B
)cossinsincoscos(
2
1


bbam
]
22
)coscossinsinsin()sin( ΨϕΨ+Ψϕϕ−ϕϕ+ΨΨ−+



bbab
17
=
( )

•
[ ]
ϕΨ−+=
ϕ∂
∂


2
B
2
A
)sin( bamam
T
,
[ ]
ΨϕΨ−Ψ−ϕΨ−+=








ϕ∂
∂



)sin(cos2)sin(



Ψ∂
∂


2
B
bm
T
dt
d
,
2
B
)sin(cos ϕΨ−Ψ−=
Ψ∂
∂

babm
T
,
• Các phương trình chuyển động của hệ:
ϕ
=
ϕ∂
∂
−



d

[ ]
ΨϕΨ−Ψ−ϕΨ−+


)sin(cos2)sin(
B
2
B
2
A
babmbamam
=
=
[ ]
)sinsinsin()sincoscos(
31
Ψϕ−ϕ+Ψϕ−ϕ− baFbaFM
,
2
B
2
B
)sin(cos ϕΨ−Ψ+Ψ


babmbm
=
=


,
B
r

tại thời điểm bất kỳ và tại thời điểm ứng với khi ϕ=3π/2 rad,
Ψ=π/2 rad,
ϕ

=3rad/s,
Ψ

=1rad/s.
4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F
1
, F
2
, F
3
]
T
tác
dụng tại điểm B trên vật 2 (F
1
, F
2
, F
3
được cho trong hệ quy chiếu cố định). Tính các
lực suy rộng Q

0cossin
0sincos
10
A
,










ΨΨ−
ΨΨ
=
cos0sin
010
sin0cos
21
A








+ A
10
R
21
⇔ r
A
= R
20
=










ϕ
ϕ−
=









100
0cossin
0sincos
0
0
0
a
a
a
(1)
• Vị trí điểm B trong hệ quy chiếu gắn với giá:
)2(
B2020B
rARr +=
=
















cos
sin
19
⇔ r
B
=










Ψ
Ψϕ+ϕ
Ψϕ+ϕ−
cos
sinsincos
sincossin
b
ba
ba
(2)
3) Vận tốc của điểm A và điểm B tại thời điểm bất kỳ:





ΨΨ−
ΨϕΨ+Ψϕϕ+ϕϕ−
ΨϕΨ+Ψϕϕ−ϕϕ−
==
sin
cossinsincossin
coscossinsincos
BB






b
bba
bba
rV
(4)
• Khi ϕ=3π/2, Ψ=π/2,
ϕ

=3,
Ψ

=1: sinϕ=-1, cosϕ=0, sinΨ=1, cosΨ=0.
Thay các giá trị đã biết vào (3), (4) và xác định được:
V
A

∂
∂
B
T
=
[ ]






Ψδ
δϕ










Ψ−
ΨϕΨϕ+ϕ−
ΨϕΨϕ−ϕ−
+δϕ
sin0
cossinsincossin

5) Phương trình chuyển động của hệ.
• Tổng động năng của hệ:
[ ]
+ϕϕ−+ϕϕ−=+=
22
AB
T
BBA
T
AA
)sin()cos(
2
1
2
1
2
1

aammmT rrrr
[
+ΨϕΨ−Ψϕϕ+ϕϕ+
2
B
)coscossinsincos(
2
1


bbam
]

22
B
2222
B
2
A




abmbmbamamT
20
•
[ ]
ΨΨ−ϕΨ++=
ϕ∂
∂
cos)sin(
B
222
B
2
A



abmbamam
T
,
[ ]

,
0=
ϕ∂
∂T
,
•
Ψϕ−Ψ=
Ψ∂
∂
cos
B
2
B



abmbm
T
,
ΨΨϕ+Ψϕ−Ψ=






Ψ∂
∂
sincos
BB








ϕ∂
∂
Q
TT
dt
d

và
Ψ
=
Ψ∂
∂
−






Ψ∂
∂
Q
TT

bmabmbm
=
=
[ ]
Ψ−Ψϕ+Ψϕ sincossincoscos
321
bFbFbF
,
21
Câu 8:
Câu hỏi:
Cho cơ hệ gồm ba vật 0, 1, 2 liên kết với nhau bằng các khớp bản lề O và A.
Tại thời điểm ban đầu như biểu diễn trên hình vẽ, ba điểm O, A, B cùng nằm trong mặt
phẳng thẳng đứng OYZ của hệ quy chiếu cố định OXYZ. Cho các kích thước hình học
a=5dm, b =4dm và các góc quay ϕ = θ
10
, Ψ = θ
21
.
1) Viết các ma trận quay A
10
, A
21
, A
20
.
2) Xác định các vectơ r
A
, r
B

, F
3
được cho trong hệ quy chiếu cố định). Tính các
lực suy rộng Q
ϕ
, Q
Ψ
gây bởi M và F.
5) Giả sử khối lượng chuyển động của hệ được quy về hai chất điểm m
A
, m
B
đặt tại các
điểm A và B. Thiết lập hệ phương trình chuyển động của hệ dưới dạng phương trình
Lagrăng loại 2 (bỏ qua trọng lực của m
A
, m
B
).
1) Các ma trận quay:


















ϕΨϕΨϕ−
ΨΨ
ϕΨϕ−Ψϕ
==
cossinsincossin
0cossin
sinsincoscoscos
211020
AAA
2) Xác định r
A
, r
B
.
•
T
10
]000[=R
,
T
21
]00[ a=R
,

















ϕϕ−
ϕϕ
+










cos











ϕΨϕΨϕ−
ΨΨ
ϕΨϕ−Ψϕ
+










ϕ
ϕ
0
0
cossinsincossin
0cossin

3) Vận tốc của điểm A và điểm B tại thời điểm bất kỳ:










ϕϕ−
ϕϕ
==
sin
0
cos
AA



a
a
rV
(3)






=3: sinϕ=1, cosϕ=0, sinΨ=-1, cosΨ=0.
Thay các giá trị đã biết vào (3), (4) và xác định được:
V
A
= [0, 0, -5.0]
T
(dm/s) ⇒ V
A
= 5.00dm/s
V
B
= [-4, 18, -5]
T
(dm/s) ⇒ V
B
=
185
≈ 13.6015dm/s
4) Tính các lực suy rộng.
• q = [ϕ, Ψ]
T
⇒ cần tính các lực suy rộng Q
ϕ
và Q
Ψ
.
• Tổng công ảo của mômen M và lực F:
δW = δW(M) + δW(F) = Mδϕ + F
T
δr

ΨϕΨϕ+ϕ−
Ψ−
Ψϕ−Ψϕ+ϕ
+δϕ
cossinsincossin
sin0
coscossinsincos
321
bba
b
bba
FFFM
=
[ ]
δϕΨϕ−ϕ−Ψϕ+ϕ+ )sincossin()sinsincos(
31
baFbaFM
+
+
[ ]
ΨδΨϕ+Ψ−Ψϕ− cossinsincoscos
321
bFbFbF
• Các lực suy rộng:
[ ]
)sincossin()sinsincos(
31
Ψϕ−ϕ−Ψϕ+ϕ+=
ϕ
baFbaFMQ

2
1


bbbam
]
2
)cossinsincossin( ΨϕΨ−Ψϕϕ−ϕϕ+


bba
23
=
( )
ΨΨϕ−Ψ+Ψϕ+ϕ+ϕ cos2sin
2
1
2
1
2222222
B
22
A




abbbamam
⇔
[ ]



abmbamam
T
,
[ ]
−ΨΨϕ+ϕΨ++=








ϕ∂
∂
2sin)sin(
2
B
222
B
2
A



bmbamam
T
dt



Ψ∂
∂
sincos
BB
2
B




abmabmbm
T
dt
d
,
ΨΨϕ+ΨΨϕ=
Ψ∂
∂
sincossin
B
22
B


abmbm
T
,
• Các phương trình chuyển động của hệ:



Ψ∂
∂
Q
TT
dt
d

[ ]
ΨΨ+ΨΨ−ΨΨϕ+ϕΨ++ sincos2sin)sin(
2
BB
2
B
222
B
2
A


abmabmbmbamam
=
[ ]
)sincossin()sinsincos(
31
Ψϕ−ϕ−Ψϕ+ϕ+ baFbaFM
,
( )
ΨΨϕ−Ψϕ−Ψ cossincos

20
.
2) Xác định các vectơ r
A
, r
B
theo ϕ và Ψ.
3) Tính
A
r

,
B
r

tại thời điểm bất kỳ và tại thời điểm ứng với khi ϕ=3π/2 rad,
Ψ=π rad,
ϕ

=3rad/s,
Ψ

=2rad/s.
4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F
1
, F
2
, F
3
]







ϕϕ
ϕ−ϕ
=
100
0cossin
0sincos
10
A
,










ΨΨ
Ψ−Ψ=
cossin0
sincos0
001

,
T
21
]00[ a−=R
,










ϕ−
ϕ
=










−


0sincos
0
0
0
21101020A
a
a
aRARRr
(1)
• Vị trí điểm B trong hệ quy chiếu gắn với giá:
)2(
B2020
)0(
BB
rARrr +=≡
=















0
cos
sin
25