Chương 7
HIỆU ỨNG BIÊN CỦA VỎ TRỤ TRÒN
TRONG TRẠNG THÁI MÀNG
Khi vỏ xoay chịu tải trọng đối xứng trục, ở vùng xa biên vỏ trạng thái biến
dạng, nội lực là trạng thái màng (phi mô men). Hiệu ứng biên trong trạng thái
màng là hiệu ứng xuất hiện biến dạng uốn, có đặc trưng cục bộ với vùng xuất
hiện biến dạng uốn tắt nhanh trong khoảng cách nhỏ từ nguồn gây ra hiệu ứng
biên như: tại liên kết ngàm, liên kết 02 vỏ có độ cứng khác nhau,…
Trong chương này, xét hiệu ứng biên trong trạng thái màng của vỏ trụ tròn
dưới tác dụng của tải trọng pháp tuyến đối xứng trục và sự thay đổi nhiệt độ
trong một số trường hợp thường gặp trong thực tế tính toán, thiết kế [21].
7.1. HIỆU ỨNG BIÊN CỦA VỎ TRỤ TRÒN TRONG TRẠNG THÁI MÀNG
7.1.1. Các phương trình cơ bản
Khảo sát vỏ trụ tròn có đường
kính
d
chịu tải trọng pháp tuyến đối
xứng trục là áp lực pháp tuyến
( )
p x
,
tại đầu vỏ liên kết ngàm, hình 7-1.
Ở vùng xa biên ngàm, vỏ biến
dạng tự do và sau biến dạng có đường
kính
d d+ ∆
, đường sinh là đường thẳng và vỏ ở trong trạng thái màng.
Tại vị trí biên ngàm, xuất hiện biến dạng uốn. Trong mục này sẽ xác định
các thành phần nội lực do biến dạng uốn gây ra.
Xét vỏ trụ tròn bán kính
r

2
M M const
ϕ
= =
, hình 7-2.
Xét cân bằng của phân tố vỏ, hình 7-2, lấy tổng hình chiếu của các lực lên
phương pháp tuyến, với hình chiếu của lực dọc
N
ϕ
lên phương pháp tuyến được
biểu diễn trên hình 7-2:
( )
. 0
x x x
Q rd Q dQ rd N dxd prd dx
ϕ
ϕ− + ϕ− ϕ+ ϕ =

119
Hình 7-1.
Sau khi biến đổi, nhận được:
( )
x
N
dQ
p x
dx r
ϕ
+ =
(7.1)

M
,
x
dQ
dx
,
N
ϕ
trong các phương trình (7.1) và (7.2) như
đối với dầm có chiều rộng
1rdϕ =
, hình 7-3, với độ
cứng:
( )
3
2
12 1
E
K EJ
δ
= =
−µ
(7.3a)
Với dầm, có các liên hệ vi phân:
( )
4
4
d w
K p x
dx

N
ϕ
của (7.1) được biểu diễn qua chuyển vị pháp
tuyến
w
như sau: do vỏ trụ tròn chịu tải trọng đối xứng trục nên biến dạng theo
phương vòng
ϕ
ε
, hình 7-4, được xác định bằng công thức:
( )
2 2
2
r w r
s w
s r r
ϕ
π + − π
∆
ε = = =
π
(7.5)
120
Hình 7-2.
Hình 7-3.
Hình 7-4.
với
s
và
s∆

r
δ
+ =
(1)
chia cho
K
và đặt:
( )
2
4
2 2 2
12 1
4
E
Kr r
−µ
δ
β = =
δ
(7.7a)
với vật liệu thép
0,3µ =
nên
1,28
r
β =
δ
(7.7b)
chú ý đến (7.7a) thì phương trình (1) có dạng:
( )

0
1
t
và nhiệt độ mặt ngoài
0
2
t
của vỏ là:
0 0 0
1 2
t t t∆ = −
(7.10)
Nhiệt độ tại điểm cách mặt trung bình
khoảng cách
z
theo phương pháp tuyến:
0 0 0
Z
s
z
t t t= + ∆
δ
(7.11)
121
δ
o
S
t
o
1

1
x
N N
E
ϕ ϕ
ε = −µ
δ
và chú ý đến (7.12), rút ra:
0
t s x
w
N E t N
r
ϕ
 
= δ − α + µ
 ÷
 
(7.13)
Biểu diễn thành phần thứ nhất
x
dQ
dx
của (7.1) qua chuyển vị
w
theo lý
thuyết dầm, với
ρ
là độ cong của dầm:
2

ε = ε = α ∆
δ
(7.16)
Từ lý thuyết đàn hồi, ứng suất do sự thay đổi nhiệt độ:
( )
( )
( )
( )
( )
0 0
2 2
1
1
1 1
t t
xt x
Ez t Ez t
E
ϕ
α ∆ α ∆
σ = ε + µε = +µ =
δ −µ
−µ δ − µ
(7.17)
Mô men uốn do nhiệt độ gây ra:
( )
/2
0
/2
1

dx
 
∆
= − +µ α
 
δ
 
(7.19)
Lực cắt
x
Q
xác định bằng công thức:
122
( )
( )
0
3
3
1
t
x
x
d t
dM
d w
Q K
dx dx dx
 
∆
+ µ α

p
và sự thay đổi nhiệt độ:
( )
2 0
0
4
4
4 2
1
4
x t s
t
d t
N E t
d w p p
w
dx K Kr Kr dx K
+
∆
δα
+µ
+ β = −µ − + α =
δ
(7.22)
Phương trình này có dạng như (7.8) chỉ khác thay
p
bằng
p
+
:

M
theo (7.3d), lực dọc
N
ϕ
theo (7.6) còn mô men uốn theo phương vòng
M
ϕ
được xác định tương tự như (7.19) theo công thức:
( )
2 0
2
1
t
d w t
M K
dx
ϕ
 
∆
= µ − +µ α
 
δ
 
(7.24)
7.1.3. Nghiệm phương trình thuần nhất
Phương trình vi phân cân bằng của vỏ trụ tròn chịu tải trọng pháp tuyến đối
xứng trục có dạng (7.8), trong trường hợp ngoài chịu tác dụng của tải trọng pháp
tuyến còn chịu tác dụng của tải trọng dọc trục và thay đổi nhiệt độ thì có dạng
(7.22). Có thể biểu diễn phương trình cân bằng (7.8), (7.22) dưới dạng chung:
4

1
.Y cos x ch x= β β
( )
2
1
. .
2
Y ch x sin x sh x cos x= β β + β β
3
1
.
2
Y sin x sh x= β β
( )
4
1
. .
4
Y ch x sin x sh x cos x= β β − β β
(7.27)
Các hàm này có tính chất:
( )
4
3
dY
Y
d x
=
β
;

0 1Y =
;
( ) ( ) ( )
2 3 4
0 0 0 0;Y Y Y= = =
(7.28b)
nên từ (7.26):
( )
* * * *
4 1 2 3
.4 . . .
dw
A Y B Y C Y D Y
d x
= − + + +
β
(7.29a)
( )
2
* * * *
3 4 1 2
2
.4 .4 . .
d w
A Y B Y C Y D Y
d x
= − − + +
β
(7.29b)
Chú ý đến (7.26), (7.28), (7.29) các hằng số tích phân được xác định tại

*
3
0d w
D
d x
=
β
(7.30)
7.1.4. Tính vỏ trụ tròn ngắn - Phương pháp thông số ban đầu
Xét vỏ trụ tròn chịu tải trọng
p
+
, hình 7-6,
nghiệm của (7.25) là tổng nghiệm của phương trình
vi phân thuần nhất và nghiệm riêng của phương
trình vi phân không thuần nhất có dạng (7.31):
( )
* * * *
1 2 3 4
4
. . . .
4
p
w x A Y B Y C Y D Y
K
+
β = + + + +
β
( )
( )

β = = = β − − − +
(7.31a
÷
d)
Trong (7.31a) đã giả thiết
( )
p x const
+
=
và
4
β
xác định theo (7.7a), nên:
2
4
2
4
p p p r
E
K E
K
Kr
+ + +
= =
δ
β δ
(7.32)
124
Hình 7-6.
Các hằng số tích phân được xác định từ điều kiện biên tại

xác định từ (7.19) và (7.20). Thay các thông số ban đầu vào (7.31)
và với giá trị các hàm
1
Y
,
2
Y
,
3
Y
,
4
Y
tại
0x =
, nhận được các hằng số tích phân:

*
0
4
4
p
w A
K
+
= +
β
rút ra:
2
*

M K C t
+µ α 
= β − ∆
 
δ
 
rút ra:
( )
* 0
0
2
1
1
t
K
C M t
K
+µ α 
= + ∆
 ÷
β δ
 
3 *
0
Q K D= β
rút ra:
*
0
3
1

' ' 0
0 4 0 1 0 2 0 3 4
2 3
1
1 1
4
t
K
p
w x w Y w Y M t Y Q Y Y
K K K
+
+µ α 
β = − β + + + ∆ + +
 
β δ β β
 
( )
( )
( )
0
2 ' 0
0 3 0 4 0 1 0 2 3
2
1
1
4 4 1
t
x t
K

vị và nội lực theo phương pháp thông số ban đầu nên có
thể áp dụng tính cho vỏ có điều kiện biên bất kỳ. Dưới đây
áp dụng (7.33) tính cho vỏ trụ tròn ngắn trong các trường
hợp:
125
Hình 7-7.
1. Trường hợp 1: Xét vỏ có 02 đầu liên kết ngàm chịu tải trọng pháp tuyến
p
+
phân bố đều theo chiều dài vỏ, hình 7-7. Biên trái là ngàm nên:
( )
0 0w =

( )
'
0 0w =
(1)
Thông số ban đầu
0
M
,
0
Q
được xác định từ điều kiện biên phải tại
x l
=
:
( )
0w l =


' 0
0 2 0 3 4
2 3
1
1 1
t
K
p
w x M t Y x Q Y x Y x
K K K
+
+µ α 
β = + ∆ β + β + β
 
β δ β β
 
Sử dụng điều kiện biên (2) tại
x l=
:
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
0
0 3 0 4 1
2 3
1
1 1
1
t

( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
4 3 1
0
0
2 2 2
3 2 4
4 1
1
4 4
t
M
Y l Y l Y l
K
p p
M t Y l
Y l Y l Y l
+ +
β − β − β
+ µ α
+ ∆ = = β
δ β β − β β β
(3)
( )
( ) ( ) ( )
2 4
0

2 2
3
.
4 4
M
x M
Y l Y l Y l Y x
p p p
M x Y l Y x Y x
Y l
+ + +
 
β β β β
β = β β − + + β
 ÷
β β β β β β
 
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 4
4 1 2
3
.
.
4
M
x M
Y l Y l Y l

β
thì mô men uốn tại ngàm không phụ thuộc
126
chiều dài vỏ và có giá trị:
,
2
2
x max
p
M
+
=
β
(5)
Từ (7.34a), mô men uốn
( )
M x
tăng từ vị trí ngàm với
( ) ( )
2
0
4
M
p
M Y l
+
= β
β

đến giá trị max (phụ thuộc chiều dài vỏ

2
6
1,84
x
M
p r
+
σ = =
δ δ
.
Ứng suất lớn nhất trong vỏ ở vị trí ngàm và giảm dần theo khoảng cách từ
vị trí liên kết ngàm, với khoảng cách:
2
1,56x r≥ = δ
β
ứng suất do uốn không
đáng kể, có thể tính như trạng thái màng.
2. Trường hợp 2: Xét vỏ trụ tròn, hai đầu tựa khớp
chịu tải trọng phân bố trên một đơn vị chiều dài theo
chu vi có cường độ
F
, hình 7-8.
Điều kiện biên có dạng:
- tại
0x =
:
( ) ( )
0 0 0w M= =
- tại
x l

( ) ( ) ( ) ( )
'
0 4 0 2 2
1 1
4 | / 2 |
x I II
M x K w Y x Q Y x FY x lβ = − β β + β − β −β
β β
(8)
( ) ( ) ( ) ( )
2 '
0 3 0 1 1
4 | / 2 |
x I II
Q x K w Y x Q Y x FY x lβ = − β β + β − β −β
(9)
Trong các công thức trên, ký hiệu
|
I
là vùng khảo sát với
x
có giá trị từ 0
đến
2
l
và ký hiệu
|
II
là vùng khảo sát với
x

'
0 2 0 4 4
3 3
1 1 1
/ 2w Y l Q Y l FY l
K K
β + β = β
β β β
( ) ( ) ( )
'
0 4 0 2 2
1 1
4 / 2K w Y l Q Y l FY l− β β + β = β
β β

rút ra:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
4 2 4 2
'
0
2 2 2
4 2
/ 2 / 2
4
Y l Y l Y l Y l
F
w
K Y l Y l
β β − β β

( ) ( )
2 2
4 4 2 2 2 4
2 2
4 2
8 / 2 / 2 / 2 4 / 2
/ 2
4
x F
Y l Y l Y l Y l Y l Y l
F F
M l Y
Y l Y l
β β β + β β − β
= =
β β + β β
Hàm
F
Y
phụ thuộc biến
l
β
, khi
4lβ >
giá trị
F
Y
không đổi và có giá trị
bằng 0,25. Khi chiều dài vỏ
3l r> δ

w x e C sin x C cos x e C sin x C cos x
−β β
β = β + β + β + β
Ở khoảng cách lớn, chuyển vị
w
và góc xoay
'
w
tắt dần, bằng không nên
hằng số tích phân
3
C
,
4
C
bằng không. Do đó, nghiệm
w
có dạng:
128
( ) ( )
1 2
x
w x e C sin x C cos x
−β
β = β + β
(7.35)
Hai hằng số tích phân được xác định từ điều kiện
biên tại
0x
=

1 2 1 2
x
dw dp r
e C C cos x C C sin x
dx dx E
+
−β
= β − β − + β + 
 
δ
(7.37a)
( )
2
2
2 1
2
2
x
d w
e C sin x C cos x
dx
−β
= β β − β
(7.37b)
( ) ( )
3
3
1 2 1 2
3
2

 
(7.38a)
( ) ( )
( )
0
3
0
3
0 1
t
d t
d w
Q K
dx dx
 
∆
+µ α
 
= −
δ
 
 
(7.38b)
Chú ý đến (7.37), sau khi biến đổi, các hằng số tích phân xác định bằng
công thức:
( )
0
0
1
2 2

β β β δ β
 
 
(7.39b)
thay (7.39) vào (7.36):
( ) ( )
( )
0
0
2 2
1
2 2
t
x
t
M
w x e cos x sin x
K
−β
 
+ µ α ∆
β = β − β + +
 
β β δ
 

129
Hình 7-9.

( )

ϕ β = β + β

( ) ( )
x
x e cos x sin x
−β
ψ β = β − β
(7.41a,b)
( )
x
x e cos x
−β
ϑ β = β

( )
x
x e sin x
−β
ξ β = β
(7.41c,d)
Các đạo hàm của chúng:
( )
2
d
x
dx
ϕ
= − βξ β
( )
2

K
w x M t x
K
+µ α 
β = + ∆ ψ β +
 
β δ
 

( )
( )
( )
0
2
0
3
1
1
2
t
d t
K
p r
Q x
K dx E
+
 
∆
+ µ α
 

0
0
0
1
1
t
x
K
Q
M x M x t x x
+ µ α
β = ϕ β + ∆ ϕ β − + ξ β 
 
δ β

( ) ( )
( )
( )
0
0 0
1
2
t
x
K
Q x Q x M t x
+µ α 
β = ψ β − β + ∆ ξ β
 
δ

M x K w
ϕ
 
∆
β = µ − +µ α
 
δ
 
(7.44)
Thay
w
từ phương trình (7.42a) vào (7.13), lực màng theo phương vòng:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
0
2
0
0
0
1 1
2
t t
t s x
d t
K t K

(7.45) xét cho 02 trường hợp:
1. Trường hợp 1: Vỏ trụ tròn dài, ngàm tại đầu trái, chịu tải trọng
p
+
không đổi
theo chiều dài, hình 7-9. Tại
0x =
vỏ liên kết ngàm nên
( ) ( )
'
0 0 0w w= =
, còn 02
thông số ban đầu chưa biết là mô men uốn
0
M
và lực cắt
0
Q
.
Sử dụng 02 phương trình đầu của (7.42) tại
0x =
với chú ý
( ) ( ) ( )
0 0 0 1ψ = ϑ = ϕ =
, nhận được 02 phương trình xác định 02 thông số ban đầu
chưa biết là mô men uốn
0
M
và lực cắt
0

1
0
2
t
K
Q
M t
K K
+µ α 
− + ∆ − =
 
β δ β
 
Giải hệ phương trình, chú ý đến (7.32):
0
p
Q
+
= −
β
( )
0
0
2
1
2
t
K
p
M t

2
1
2
t
x
K
p
M x x t
+
+µ α
β = ψ β − ∆
β δ
(7.47c)
( ) ( )
x
p
Q x x
+
β = − ϑ β
β
(7.47d)
( ) ( )
( )
0
2
1
2
t
K
p

và
( )
4
T
Y lβ = −
thì có dạng
như vỏ dài theo (7.47).
131
Hình 7-10.
2. Trường hợp 2: Xét vỏ trụ tròn dài chịu tải trọng phân bố
F
theo chu vi vỏ
như đã xét đối với vỏ ngắn, hình 7-10. Gốc tọa độ tại vị trí tải trọng tác dụng.
Để xác định chuyển vị và nội lực của vỏ sẽ sử dụng (7.42) và cần xác định 02 thông
số ban đầu là
0
M
và
0
Q
. Lực cắt
0
Q
tại
0x =
được xác định trực tiếp từ phần phải,
phần trái tại vị trí tác dụng tải trọng của vỏ trụ dài:
0
2
F

F
M =
β
. Thay các thông số ban đầu là
0
M
và
0
Q
vào (7.42), (7.44) và (7.45)
nhận được:
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2
2
2 2
Fr Fr
w x x x x
E E
β β
β = ψ β − ϑ β = − ϕ β
δ δ
(7.48a)
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2
'
Fr Fr

(7.48e)
( ) ( ) ( )
( )
( )
1 1
2
2 2
N x Fr x x Fr x
ϕ
β = β ψ β − ϑ β = − βϕ β
(7.48f)
Hiệu ứng uốn có đặc trưng cục bộ, tắt nhanh. Khi
2xβ ≥
hay
2
1,56x r> > δ
β
tính từ vị trí tác dụng của tải trọng thì các giá trị chuyển vị, nội
lực gây ra do uốn tắt nhanh.
Dưới đây xét các bài toán hiệu ứng biên khi liên kết 02 vỏ trụ tròn; vỏ trụ
tròn với đáy là vỏ cầu, vỏ trụ tròn với đáy là vỏ xuyến, vỏ trụ tròn với chỏm cầu
có vành tăng cứng trên cơ sở phương pháp lực và các phương trình chuyển vị,
nội lực của vỏ trụ dài (7.42), [21].
7.2. HIỆU ỨNG BIÊN TẠI VỊ TRÍ LIÊN KẾT 2 VỎ TRỤ TRÒN
Trong mục này xét trường hợp biến dạng uốn phát sinh tại vị trí liên kết 2
vỏ trụ tròn trong các trường hợp: độ cứng và chiều dày khác nhau, chênh lệch
132
nhiệt độ giữa mặt trong và mặt ngoài vỏ.
7.2.1. Liên kết 2 vỏ có cùng mặt trung bình, chiều dày khác nhau
Xét 2 vỏ trụ tròn có bán kính, chiều dày vỏ trái


11 1 12 2 1
0
p
X Xδ +δ + ∆ =21 1 22 2
0X Xδ + δ =
(7.49)
Khi xác định các hệ số
chính, hệ số phụ (
12 21
δ = δ
) và số
hạng tự do dùng công thức (7.42)
của vỏ dài và chú ý đến hình 7-12.
Hệ số
11
δ
xác định bằng công thức:
11 l p
w wδ = +
với
l
w
,
p
w
là chuyển vị

1 1

2 2
l l p p
K K
δ = +
β β
Tương tự, với
0 2
1M X= =
:
12 21
2 2
1 1

2 2
l p
l l p p
w w
K K
δ = δ = − = −
β β

22
1 1

l l p p
K K
δ = +
β β

Q X=
,
0 2
M X=
, còn với vỏ phải lấy
0 1
Q X= −
,
0 2
M X=
.
Giá trị mô men
x
M
tại
0x =
của vỏ trái và vỏ phải bằng nhau, sau đó giảm
dần về hai phía. Tính toán trên mới chỉ xét với tải trọng pháp tuyến
p
, nếu kể
đến cả lực dọc trục thì thay
p
bằng
p
+
, xác định theo (7.23):
x
N
p p
r

và có kể đến ảnh hưởng của lực dọc (có đáy ở 2
đầu vỏ trụ) thì có thể sử dụng các công thức tính chuyển vị, nội lực khi chịu áp
lực pháp tuyến
p
đã nêu trên, nhân với hệ số
1
1
2
 
− µ
 ÷
 
.
7.2.2. Liên kết 2 vỏ có mặt trung bình lệch tâm nhau
Trong mục này xét trường hợp liên kết 2 vỏ trụ có chiều dày khác nhau và
mặt trung bình của 2 vỏ lệch tâm nhau với giá trị độ lệch tâm:
( )
1
2
l p
e = δ −δ
(7.50)
Ảnh hưởng của độ lệch tâm khi tính toán có thể thay thế bằng mô men uốn
phân bố đều theo chu vi vỏ đặt tại vị trí liên kết:
x
M N e=
(7.51)
Trong thực tế, giá trị độ lệch tâm
e
so với bán kính vỏ rất nhỏ nên trong

dụng ở vỏ trái, hình 7-13, sử dụng (7.42):
134
Hình 7-13.

1
2
2
e
l l
M
K
∆ =
β

2e
l l
M
K
∆ =
β
(7.52)
Tương tự như mục 7.2.1, sử dụng (7.42)
÷
(7.45) sẽ xác định được chuyển vị
và nội lực tại điểm bất kỳ theo tọa độ
x
, với vỏ trái lấy
0 1
Q X=
,

t
với giả thiết nhiệt độ thay đổi tuyến tính theo
chiều dày vỏ và
0 0
1 2
t t>
, hình 7-14. Bài toán
được giải tương tự như trong mục 7.2.1 chỉ
khác số hạng tự do
1t
∆
và
2t
∆
. Theo (7.9) và
(7.10) nhiệt độ ở mặt trung bình
0 0
0
1 2
2
s
t t
t
+
=
và gia số nhiệt độ giữa phía
trong và phía ngoài vỏ là:
0 0 0
1 2
t t t∆ = −

+ µ α ∆ + µ α ∆
∆ = + α − − α =
β δ β δ
(7.53)
Giá trị chuyển vị
2t
∆
được xác định theo (7.42b) với chú ý là nhiệt độ
0
s
t
không gây chuyển vị xoay, nên:
( )
0
2
1 1
1
t t
l l p p
t
 
∆ = +µ α ∆ +
 ÷
 ÷
β δ β δ
 
(7.54)
Tương tự như mục 7.2.1, sử dụng (7.42)
÷
(7.45) sẽ xác định được chuyển vị

có giá trị không đổi và không phụ thuộc bán kính và chiều dày vỏ.
- Vỏ trái:
( )
( )
2
0 0
1
1
12 1
l
x l t t
l
E
M K t t
δ
= + µ α ∆ = α ∆
δ −µ
- Vỏ phải:
( )
( )
2
0 0
1
1
12 1
p
x p t t
p
E
M K t t

. Vỏ trái và vỏ phải có
bán kính
r
, chiều dày vỏ trái
l
δ
, chiều dày vỏ phải
p
δ
. Vành tăng cường có diện tích tiết diện
A
và mô
men quán tính độc cực (chống xoắn)
p
J
. Giả thiết
chiều rộng vành tăng cường tại vị trí liên kết nhỏ nên
có thể xem liên kết vành với vỏ là liên kết điểm nên
vành không chịu tác dụng của tải trọng
p
+
.
Sử dụng phương pháp lực với hệ cơ bản và ẩn
số cơ bản như trên hình 7-15. Hệ phương trình chính
tắc có dạng:
11 1 12 2 13 3 14 4 1
0
p
X X X Xδ + δ + δ + δ + ∆ =
136

1
1X =
phân bố đều theo chu
vi bằng:
2
r
EA
(7.56a)
Do đó,
2
11
3
1
2
l l
r
K EA
δ = +
β
- Chuyển vị
12
δ
là chuyển vị tại vỏ trái gây ra do mô men
2
1X =
, sử dụng (7.42a)
nhận được:
12 21
2
1

2
1p
l
p r
E
+
∆ = −
δ
;
- Chuyển vị
22
δ
là tổng chuyển vị xoay của vỏ trái và
chuyển vị xoắn của vành gây ra do
2
1X =
. Sử dụng
(7.42b), chuyển vị xoay của vỏ trái:
1
l l
K β
. Chuyển vị
xoắn của vành do mô men xoắn phân bố đều theo
chu vi vành , hình 7-16, xác định bằng công thức:
2
1.
p
r
EJ
ϕ =

2
24 42
1.
p
r
EJ
δ = − = δ
.
Các hệ số còn lại xác định tương tự như trên. Các hệ số chính, hệ số phụ và
số hạng tự do cho trong bảng:
1
X
2
X
3
X
4
X
1
2
3
1
2
l l
r
K EA
+
β
2
1

β
0
2
1.
p
r
EJ
−
0
2
r
EA
−
0
2
3
1
2
p p
r
K EA
+
β
2
1
2
p p
K β
2
p

X
,
sau đó sử dụng (7.42)
÷
(7.45) sẽ xác định được chuyển vị và nội lực trong vỏ,
trong đó tại vỏ trái lấy:
0 1
Q X= −
,
0 2
M X=
và tại vỏ phải lấy:
0 3
Q X=
,
0 4
M X=
.
Để minh họa ảnh hưởng của vành, xét trường hợp đơn giản là 02 vỏ có
chiều dày như nhau
l p
δ = δ = δ
. Khi đó bài toán trở thành bài toán đối xứng:
1 3
X X= −
và
2 4
X X=
, thay vào (7.55b) nhận được hệ 02 phương trình:
2 2

+
=
βδ
β +

1 2
2
2
p
X X
A
+
= β =
δ
β+
(7.57)
138
Từ (7.57), có thể thấy rằng, độ cứng
A
của vành càng nhỏ thì
2
X
càng nhỏ.
Khi
0A
=
thì
1 2
0X X= =
. Khi

p
X Xδ +δ + ∆ =
Xác định
11
δ
,
12
δ
và
1p
∆
: Bỏ qua biến
dạng nén của đáy, nên
11
δ
chỉ là chuyển vị
của vỏ. Sử dụng (7.42):
11
3
1
2K
δ =
β

12 21
2
1
2K
δ = = δ
β

64 1
p
p r
w r r
D
 
ρ = −ρ −ρ +
 
+µ
 
(7.60)
Mô men hướng tâm:

( )
( )
( )
2 2
3
16
r
p
M rρ = −ρ + µ
(7.61)
Góc xoay tại biên:
( )
3
'
8 1
p
pr

( )
2 2
2 1
p
m
w r
D
ρ = −ρ
+µ
(7.64)
Mô men uốn phân bố đều trên phạm vi toàn tấm:
r
M m=
(7.65)
Góc xoay tại
rρ =
:
( )
'
1
p
mr
w
D
= −
+µ
(7.66)
Từ (7.62) và (7.66):

( )

+ + − =
 ÷
β β β
 
( ) ( )
3
1 2
2
1 1
0
2 1 8 1
p p
r pr
X X
K K D D
 
+ + − =
 ÷
 ÷
β β +µ +µ
 
Giải hệ phương trình, nhận được:
1 2
2
1
2 2
p
X X
 
µ

δ
 
+
β + µ
=
δ
+
β + µ
(7.67)
Sử dụng (7.42), (7.45) xác định được chuyển vị, nội lực của vỏ trụ tròn với
0 1
Q X=
và
0 2
M X=
.
Từ (7.61), (7.65), mô men uốn ở đáy phẳng:
( )
( )
( )
2 2
3
16
r
p
M r mρ = −ρ + µ −
(7.68)
Từ (7.67), xét ảnh hưởng độ cứng của đáy đến giá trị nội lực trong 2 trường
hợp:
h >> δ

µ
 
= − −
 ÷
β
 
(7.69)
Biểu thức (7.69) tương ứng vỏ trụ tròn liên kết ngàm.
140
* Trường hợp 2:
hδ >>
. Khi
hδ >>
, bỏ qua chiều dày đáy
h
so với chiều dầy vỏ
δ
:
2
2
8
pr
X = −
và
2
1
1
8 2 2
pr p
X

men ở đáy phẳng và vỏ tại vị trí liên kết.
Nếu biết mô men uốn
2
X
và lực cắt
1
X
thì theo (7.61), (7.65) xác định
được mô men uốn tại đáy:
( )
( )
2 2
3
16
r
p
M r m= −ρ +µ −
(7.71)
và theo hình 7-17,
2
m X=
là giá trị mô men uốn tại vị trí liên kết vỏ trụ và đáy
phẳng. Tương tự, từ (7.60) và (7.64) xác định được chuyển vị pháp tuyến
w
.
7.3. HIỆU ỨNG BIÊN KHI LIÊN KẾT VỎ TRỤ TRÒN VỚI VỎ CẦU, VỎ
HÌNH XUYẾN
Trong mục 7.2 đã nghiên cứu
hiệu ứng biên của vỏ trụ tròn. Trong
mục 7.3 sẽ xét cách giải gần đúng khi

21 1 22 2 2
0
p
X Xδ +δ + ∆ =
Khi tính toán chuyển vị, vỏ cầu được thay thế bằng vỏ trụ, hình 7-20.1b, có
bán kính:
0
r
R
sin
=
α
(7.72)
a. Xác định
11
δ
: Lực
1
1X =
tác dụng vuông góc với trục vỏ được phân tích thành
02 lực, hình 7-20.1c: theo phương pháp tuyến của vỏ cầu là
0
1.sinα
và theo
phương tiếp tuyến với vỏ cầu là
0
1.cosα
. Khi
0
α

0 0
1.Q sin= α
nhận được chuyển vị theo
phương pháp tuyến của vỏ trụ thay thế (phương lực khai triển
0
1.sinα
):
0
3
2
k k
sin
K
α
β
(7.73)
với
k
K
và
k
β
xác định theo (7.3) và (7.7a):
( )
3
2
12 1
k
k
E

k k
sin
K
α
β
(7.75a)
142
* Chuyển vị do lực
1
1X =
tác dụng lên vỏ trụ bán kính
r
xác định theo (7.42a)
với
0 1
1Q X= =
bằng:
3
1
2
v v
K β
(7.75b)
trong đó:
( )
3
2
12 1
v
v

v v k k
sin
K K
α
δ = +
β β
(7.76)
b. Xác định
12
δ
: Tiến hành tương tự như trên, sử dụng (7.42a) với
0 2
1M X= =
,
chuyển vị đơn vị
12
δ
bằng tổng chuyển vị do mô men đơn vị
2
1X =
tác dụng lên
vỏ trụ tròn bán kính
r
bằng
2
1
2
v v
K β
và tác dụng lên vỏ trụ bán kính

2 2
1
2 2
v v k k
sin
K K
α
δ = −
β β
(7.77)
c. Xác định
1p
∆
: Chuyển vị
1p
∆
là tổng chuyển vị do
tải trọng
p
tác dụng lên vỏ trụ bán kính
r
và vỏ trụ bán kính
R
thay thế cho vỏ
cầu.
* Đối với vỏ trụ, tính
1p
∆
như trong bài toán liên kết vỏ trụ với đáy phẳng có kể
đến lực dọc

pr
N =
.
- Thành phần chuyển vị do áp lực pháp tuyến
p
,
đối với vỏ cầu xác định theo (6.95a):
143
Hình 7-21.
Hình 7-22.