f: đơn điệu
f(x
o
)=0
SKKN “HD học sinh sử dụng tính đơn điệu dể giải toán” GV:Nguyễn Văn Hoàng
A: ĐẶT VẤN ĐỀ
Các bạn và các em học sinh thân mến!
Ngoài ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số thì tính chất
này còn được vận dụng để giải rất nhiều dạng toán như: Chứng minh bất đẳng thức, giải
phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, Những bài toán sử dụng phương pháp
hàm số để giải thường có cách giải ngắn gọn, hay và độc đáo.
Do sự giảm tải kiến thức toán ở bậc THPT, những bài tập ra trong SGK thông thường
học sinh giải được bằng phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt ẩn phụ,
còn số lượng bài tập ứng dụng tính đơn điệu để giải rất ít, hạn chế và rất nghèo nàn.
Nhưng trong các kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng thì rất nhiều bài toán giải bằng
phương pháp hàm số, cho nên việc trang bị cho học sinh giải bài toán bằng phương pháp
hàm số là rất cần thiết. Tôi xin trình bày một số ứng dụng của phương pháp sử dụng tính
chất đơn điệu để giải toán.
I. Lý do chọn đề tài:
1. Cơ sở lí luận:
Để giải các dạng bài tập về chương trình BĐT, giải PT, BPT, hệ PT bằng phương
pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số thường dựa trên các nguyên tắc sau.
a. Chứng minh BĐT:
Bài toán: cho x
[ ]
b;a
∈
, chứng minh BĐT: “A(x)>B(x)”
Phương pháp giải:
- Biến đổi BĐT về dạng: A(x) – B(x) >0 (1)
hoặc B(x) – A(x) <0 (2)

f: là hàm số đồng biến
f(a)=0
f: là hàm số đồng biến
f(a)=0
g: là hàm số nghịch biến
g(a)=0
SKKN “HD học sinh sử dụng tính đơn điệu dể giải toán” GV:Nguyễn Văn Hoàng
B3: kết luận (1)
⇔
u(x) = v(x)
c. Giải hệ phương trình:
Bài toán: Giải hệ
Nếu một trong hai phương trình của hệ đưa về dạng:
f(x) = f(y) (1) hoặc (
( ) ( )
f u x f v y
   
=
   
và f là một hàm đơn điệu thì:
Hệ (I)
⇔
hoặc (I)
⇔

d. Giải bất phương trình: Cơ sỏ lập luận tương tự chứng minh bất đẳng thức.
cơ sở thực tiễn:
Phương pháp “sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải toán” là một phương mang
tính hiện đại, cách giải hay, mang tính nhanh gọn và độc đáo.
Do sự giảm tải của kiến thức ở bậc THPT mà số lượng bài tập SGK dung phương

F(x,y) = 0
G(x,y)= 0
(I)
x = y
G(x,y)= 0
(II)
u(x) = v(y)
G(x,y)= 0
(III)
'( ) 0,f x x K≥ ∀ ∈

'( ) 0,f x x K
≤ ∀ ∈
0)('
=
xf

SKKN “HD học sinh sử dụng tính đơn điệu dể giải toán” GV:Nguyễn Văn Hoàng
* Tính chất: Cho
)(xf
xác định trên K
Với
212121
)()(; xxxfxfKxx
=⇔=∈∀
* Để chứng minh tính đơn điệu của hàm số
)(xfy
=
trên K ta dựa vào 2 phương pháp
sau:

K
Nếu học sinh đã được học đạo hàm thì việc chứng minh tính đơn điệu của hàm số khá đơn
giản bằng phương pháp 2. Đối với học sinh chưa được học đạo hàm thì phải sử dụng định
nghĩa, đối với các dạng hàm số phức tạp thì việc dùng định nghĩa để chứng minh là một
điều khó.
b. Phương pháp:
Sử dụng phương pháp hàm số để giải toán có thể tiến hành theo các bước sau:
B1: Nhận dạng, biến đổi BĐT, BPT, PT, HPT về dạng thích hợp.
B2: Thiết lập hàm số.
B3: Chứng minh hàm số đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến).
B4: Dựa vào tính chất đơn điệu của hàm số để kết luận
Trong các buớc trên B1 là quan trọng nếu nhận dạng đuợc bài toán có thể sử dụng phuơng
pháp hàm số để giải thì bài toán xem như đã có phuơng pháp giải.
III. Giới hạn của phương pháp sử dụng tính đơn điệu để giải.
Số lượng bài tập SGK dùng phương pháp hàm số để giải rất ít nên phương pháp này
không được phổ biến rộng khắp như phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp
đặt ẩn phụ.
Trang 3
tại hữu hạn điểm của K
tại hữu hạn điểm của K
SKKN “HD học sinh sử dụng tính đơn điệu dể giải toán” GV:Nguyễn Văn Hoàng
Đại đa số học sinh không biết sử dụng tính đơn điệu để giải toán.
Các bài tập giải theo phương pháp này thường là các bài tập khó, có dạng không mẫu
mực cho nên học sinh rất khó để nhận dạng.
IV. Kế hoạch thực hiện:
-
Giáo viên chỉ dạy phương pháp này vào những tiết tự chọn của lớp nâng cao.
-
Giáo viên có thể dạy phương pháp này cho cả 3 khối 10, 11, 12, nhưng hiệu quả cao
nhất là học sinh ở khối 12; vì ở lớp cuối cấp học sinh được trang bị kiến thức về hàm

0)('
=
xf

SKKN “HD học sinh sử dụng tính đơn điệu dể giải toán” GV:Nguyễn Văn Hoàng

Khi
giải phương trình: 3
x
+4
x
=5
x
Việc biến đổi lũy thừa để đưa về cùng cơ số hay đặt ẩn phụ sẽ không thực hiện
được cho nên chúng ta phải nghĩ ngay đế việc nhẫm nghiệm và sử dụng phương
pháp hàm số để chương minh nghiệm duy nhất

Khi giải phương trình: 2
x
= 1-x
Ta thấy VT của PT chưa lũy thừa, VP của PT chứa đa thức cho nên việc biến đỗi
thong thường để tìm ra nghiệm của bài toán la không thực hiện được, chình lẻ đó
ta phải nghĩ ngay đến tính đơn điệu của ham số để giải
2. B2: Thiết lập hàm số:
Thực hiện bước này khá đơn giản, nhưng yêu cầu học sinh phải biết biến đổi PT,
BPT, HPT về dạng thích hợp: f(x)=f(y); f(u(x))= f(v(y)),… thì quy tắc f chính là
hàm số ta cần xác lập
3. B3: Chứng minh tính chất đơn điệu của hàm số
Để chứng minh tính đơn điệu của hàm số ta dung hai phương pháp sau:
- Phương pháp 1: Dùng định nghĩa

Nếu học sinh đã được học đạo hàm thì việc chứng minh tính đơn điệu của hàm số khá đơn
giản bằng phương pháp 2. Đối với học sinh chưa được học đạo hàm thì phải sử dụng định
nghĩa, đối với các dạng hàm số phức tạp thì việc dùng định nghĩa để chứng minh là một
điều khó.
4. B4: kết luận
-
Nếu từ tính chất đơn điệu của hàm số ta suy ra được nghiệm của bài toán thì bài
giải được kết thúc
Trang 5
tại hữu hạn điểm của K
tại hữu hạn điểm của K
SKKN “HD học sinh sử dụng tính đơn điệu dể giải toán” GV:Nguyễn Văn Hoàng
-
Nếu bài toán đã cho được biến đổi thành một bài toàn đơn giản hơn thì chúng ta
phải tiếp tục dung các phương pháp khác để giải cho đến khi tìm được nghiệm
của bài toán thì dừng lại
II. Giải các dạng toán bằng phương pháp sửdụng tính đơn điệu của hàm số
1. Chứng minh bất đẳng thức:
Thí dụ 1: x -
3
3!
x
< sinx (1) với
∀
x >0 (BT SGK lớp 12 NC)
Hướng dẫn cách chứng minh:
Chuyển bđt về dạng: :
3
3!
x

)
Ta có: f(x) liên tục trên đoạn [ 0 ; +
∞
), f’(x) =
2
2
x
- 1 + cosx và f’’(x) = x – sinx ;
f’’’(x) = 1 – cosx
Do f’’’(x) = 1 – cosx
≥
0
∀
x >0 và f’’’(x) = 0 tại hữu hạn điểm trên (0 ; +
∞
)
⇒
f’’(x) Đồng biến trên [ 0 ; +
∞
)
⇒
f’’(x) >f’’(0) = 0 với
∀
x >0
⇒
f’(x) Đồng biến trên [ 0 ; +
∞
)
⇒
f’(x ) > f’(0) = 0 với

⇒
f(x ) > f(0) = 0 với
∀
x
∈
(0;
2
π
)
Cách giải:
Xét hàm số : f(x) = sinx + tanx -2x , x
∈
(0;
2
π
)
Ta có f(x) liên tục trên [ 0 ;
2
π
) và f’(x) = cosx +
2
1
cos x
- 2
Do x
∈
(0;
2
π
)

)
⇒
f(x) đồng biến trên [ 0 ;
2
π
)
⇒
f(x) > f(0) = 0 (đpcm).
Thí dụ 3: Với x>0, n
∈
N
*
ta có: e
x
> 1 + x +
2
2!
x
+
3
3!
x
+ … +
!
n
x
n
(BT tham khảo)
Hướng dẫn cách chứng minh:
Chuyển bđt về dạng: x - ln(1 + x +

)
Chứng minh hàm số đồng biến trên [0; +
∞
)
⇒
f(x) > f(0) = 0 với mọi x
∈
(0 ;
∞
)
Cách giải:
Xét hàm số : f(x) = x - ln(1 + x +
2
2!
x
+
3
3!
x
+ … +
!
n
x
n
) , x
∈
(0 ;
∞
)
Ta có: f(x) liên tục trên [0; +

⇒
f(x) đồng biến trên [0; +
∞
)
⇒
f(x) > f(0) = 0 với mọi x
∈
(0 ; +
∞
)
Bài tập tham khảo:
Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a.) cosx > 1 -
2
2
x
,
∀
x > 0
b.) sinx > x -
3
6
x
,
∀
x < 0
c.) e
x
> 1 + x +
2

x
= 3 – x
c.)
log
2
x
= 3 – x
Bài tập SGK 12 nâng cao
Trang 7
SKKN “HD học sinh sử dụng tính đơn điệu dể giải toán” GV:Nguyễn Văn Hoàng
Hướng dẫn cách giải:
Cách 1: - Nhẩm nghiệm
- Chứng minh nghiệm duy nhất
Cách 2: - Thiết lập hàm số
- Dùng tính đơn điệu để suy ra nghiệm của phương trình.
Cách giải:
a.) 3
x
+ 4
x
= 5
x
(1)
Cách 1: Ta có x = 2 là nghiệm của phương trình 3
x
+ 4
x
= 5
x
(1)

   
⇒ f’(x) =
3
5
x
 
 ÷
 
ln
3
5
+
4
5
x
 
 ÷
 
ln
4
5
< 0
x
∀ ∈
¡
⇒ f’(x) nghịch biến trên
¡
và f(2)= 1
⇒ x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình (1).
Các ví dụ b, c giải tương tự


⇒ v – u =
2
3 2x x− +
-
Do đó (1)
⇔
3
log
u
v u
v
= −
(2)
-
Nhận thấy phương trình có nghiệm u = v
Thiết lập hàm số: biến đổi phương trình 2 về dạng: log
3
u
+u = log
3
v
+v
Xét hàm số f(t) =
3
log t t+
, t > 0
Cách giải: đặt
2
1u x x= + +

, t > 0
f’(t) = 1 +
1
ln3t
>0 với
∀
t > 0
⇒f(t) đồng biến với
∀
t > 0
(2)
⇔
f(u) = f(v)
⇔
u = v
⇔
v – u = 0
⇒
2
3 2x x− +

⇔
x = 1 v x = 2
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1, x= 2
Thí dụ 6: (Bài tập tham khảo)
Giải bất phương trình:
5 4
log (3 ) logx x+ >
(1)
Hướng dẫn cách giải:

Đặt t =
4
log x
⇒ x = 4
t
Bất phương trình (1) trở thành: 3 + 2
t
> 5
t
⇔
3
1 2
1
5 5
t t
   
+ >
 ÷  ÷
   
(2)
Xét hàm f(t) = 3
1 2
5 5
t t
   
+
 ÷  ÷
   

f’(t) = 3

0< x < 4
Bài tập tham khảo:
Bài 2: Giải phương trình, bất phương trình sau:
a.
x
2
+ 3
log
2
x
= x
log
2
5
b.
2 2 2
7 7
log ( 1) log (2 2 3) 3 2x x x x x x+ + − − + = − +
c.
2
x
+ 3
x
+ 1 >6
x
Trang 9
SKKN “HD học sinh sử dụng tính đơn điệu dể giải toán” GV:Nguyễn Văn Hoàng
d.
2
2

+ x = 3
y
+ y (3)
Thiết lập hàm số: f(t) = 3
t
+ t
Chứng minh f(t) là hàm đồng biến, (3)
⇔
f(x) = f(y)
⇔
x = y
Cách giải: (I)
⇔
2 2
3 3 + y (3)
12
x y
x
x xy y

+ =


+ + =


Xét hàm số: f(t) = 3
t
+ t ⇒ f’(t) = 3
t

y x

+ + − =


+ −


(I)
Hướng dẫn cách giải:
-
Nhận dạng: Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2 nên có 1 nghiệm x = y
-
Lấy (1) – (2) và đưa phương trình về dạng
2 3 4 2 3 4x x y y+ − − = + − −
-
Thiết lập hàm số: f(t)=
2 3 4t t+ − −
, t
∈
[-
3
2
;4]
Cách giải: Điều kiện -
3
2
, 4x y≤ ≤
Lấy (1) – (2) và đưa phương trình về dạng
2 3 4 2 3 4x x y y+ − − = + − −

=⇔=⇔
Suy ra:
4432 =−++ xx
(pt vô tỉ dạng cơ bản)
Trang 10
(I)
SKKN “HD học sinh sử dụng tính đơn điệu dể giải toán” GV:Nguyễn Văn Hoàng
Giải pt được 2 nghiệm : x=3, x=
9
11
(thỏa điều kiện)
Vậy hệ có 2 nghiệm (3; 3),






9
11
;
9
11
Bài tập tham khảo:
Bài 3: Giải hệ pt sau:
a)





0626
lnln
22
yxyx
xyyx
d)





+=+
+=+
yy
yx
32
32
log13log
log13log
II. Thực trạng và những mâu thuẫn:
- Giải bài toán bằng phương pháp hàm số đây là một phương pháp hay, độc
đáo giúp cho việc giải quyết vấn đề một cách nhanh gọn.
- Các bài tập dùng phương pháp này để giải thông thường là các bài tập ở
dạng nâng cao, khó và thuộc dạng không mẫu mực cho nên học sinh rất khó nhận dạng và
thiết lập tương quan hàm số.
- Số lượng bài tập SGK dùng phương pháp hàm số để giải quá ít.
- Phương pháp hàm số được xem là phương pháp giải toán hiện đại, phương
pháp này sử dụng rất hay nhưng không thể dạy phổ biến ở bậc THPT.
- Khả năng vận dụng phương pháp bị hạn chế ở các học sinh trung bình và
yếu, chỉ có hiệu quả cao đối với học sinh khá và giỏi.

các em học sinh tham khảo. Sáng kiến kinh nghiệm này chỉ giới thiệu một phần nhỏ trong
ứng dụng phương pháp hàm số để giải toán. Mong rằng các bạn đồng nghiệp phát triển
thêm để tính đầy đủ của chuyên đề được cao hơn. Rất mong sự đóng góp ý kiến của các
bạn đồng nghiệp để tính khả thi cao hơn.
Chân thành cảm ơn các bạn và các em học sinh.
Ngãi Giao, ngày 30 tháng 03 năm 2011
Người viết SKHN
Nguyễn Văn Hoàng
Trang 12
ax b
cx d
+
+
SKKN “HD học sinh sử dụng tính đơn điệu dể giải toán” GV:Nguyễn Văn Hoàng
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Bài tập chọn lọc từ sách giáo khoa 12 nâng cao
2. Phương pháp giải toán của Lê Hồng Đức – Đào Thiện Khải – Lê Bích Ngọc
3. Bài tập tham khảo tù Tạp Chí “Toán Học – Tuổi trẽ”
Trang 13