Ch ơng I. Tổng quan về Robot cấu trúc song song và phân loại
Chơng I : Tổng quan về Robot có cấu trúc song song
1.1 Giới thiệu chung về Robot
1.1.1 Lịch sử ra đời và phát triển Robot
Từ thập niên 50, cùng với sự phát triển của kỹ thuật điều khiển theo chơng
trình số NC (Numerical Control) với sự hỗ trợ của các cơ cấu Servo và các hệ
điện toán (Computation), ý tởng kết hợp điều khiển NC với các cơ cấu điều
khiển từ xa đợc hình thành và triển khai nghiên cứu. Vào giữa những năm
50, bên cạnh các tay máy chép hình cơ khí, đã xuất hiện các loại tay máy
chép hình thủy lực và điện từ nh tay máy Minotaur I hoặc tay máy
Handyman của General Electric. Năm 1954 George C.Devo đã thiết kế một
thiết bị có tên là Cơ cấu bản lề dùng để chuyển hàng theo chơng trình. Đến
năm 1956 Devol cùng với Joseph F.Engelber, một kỹ s công nghiệp hàng
không, đã tạo ra loại Robot công nghiệp đầu tiên năm 1969 ở công ty
Unimation mới bắt đầu có lợi nhuận từ sản phẩm Robot đầu tiên này.
Từ năm 1972 bắt đầu thời kỳ của các Robot thế hệ thứ hai: Robot đợc điểu
khiển bằng máy tính có các cơ quan cảm xúc là các cảm biến liên hệ ngợc.
Đại diện cho thế hệ này là Robot Shakey của viện nghiên cứu Stanford. Nó là
sự thể hiện tổng hợp của các thành tựu Khoa học - Kỹ thuật - Công nghệ Cơ
khí - Điện - Điện tử - Điều khiển tự động - Tin học. Robot bắt đầu đợc ứng
dụng rộng rãi trong hầu hết các lĩnh vực: từ sản xuất đến nghiên cứu khoa
học,cả y tế và đời sống hàng ngày.
Năm 1976 chiếc máy công cụ CNC sử dụng Microcomputer ra đời.
Trong giai đoạn những năm 80 và 90 với sự phát triển vũ bão của Khoa học
- Kỹ thuật - Công nghệ, quy mô sản xuất và nghiên cứu khoa học, thế giới đ-
ợc thừa hởng nhiều thành quả của nó, đặc biệt về máy tính và tin học làm
thay đổi về chất các trang thiết bị, tổ chức điều hành sản xuất và đời sống nh:
+ Thiết kế với sự trợ giúp của máy tính - CAD.
+ Sản xuất với sự trợ giúp của máy tính - CAM.
+ Hệ thống sản xuất mềm, linh hoạt - FMS.
+ Sản xuất tích hợp máy tính - CIM.

thập niên gần đây, Robot cấu trúc song song đợc Gough và Whitehall nghiên
cứu năm 1962 và sự chú ý ứng dụng của Robot cấu trúc song song đã đợc
khởi động bởi Stewart vào năm 1965. Ông là ngời cho ra đời một buồng
(phòng) tập lái máy bay dựa trên cơ cấu song song. Hiện nay cơ cấu song
song đợc sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực.
Loại Robot song song điển hình gồm có bàn máy động đợc nối với giá cố
định, dẫn động theo nhiều nhánh song song hay còn gọi là số chân. Thờng số
chân bằng số bậc tự do, đợc điều khiển bởi nguồn phát động đặt trên giá cố
định hoặc ngay trên chân. Chính lý do này mà các Robot song song đôi khi
gọi là các Robot có bệ. Các cơ cấu tác động điều khiển tải ngoài, nên cơ cấu
chấp hành song song thờng có khả năng chịu tải lớn.
Do tính u việt của Robot song song nên ngày càng thu hút đợc nhiều nhà
khoa học nghiên cứu, đồng thời cũng đợc ứng dụng ngày càng rộng rãi vào
nhiều lĩnh vực:
+ Ngành Vật lý : Giá đỡ kính hiển vi, giá đỡ thiết bị đo chính xác.
+ Ngành Cơ khí : Máy gia công cơ khí chính xác,máy công cụ.
+ Ngành Bu chính viễn thông : Giá đỡ Ăngten, vệ tinh địa tĩnh.
+ Ngành chế tạo ôtô : Hệ thống thử tải lốp ôtô, buồng tập lái ôtô.
- 2 -
Ch ơng I. Tổng quan về Robot cấu trúc song song và phân loại
+ Ngành quân sự : Robot song song đợc dùng làm bệ đỡ ổn định đợc đặt
trên tàu thủy, các công trình thủy, trên xe, trên máy bay, trên chiến xa và tàu
ngầm. Để giữ cân bằng cho ăngten, camera theo dõi mục tiêu, cho rada, cho
các thiết bị đo laser, bệ ổn định cho pháo và tên lửa, buồng tập lái máy bay,
xe tăng, tầu chiến.
b) Một số u nhợc điểm của Robot song song
Nhìn chung, tất cả các lọai Robot có cấu trúc song song đều có nhiều u
điểm và có thể đợc ứng dụng trong nhiều lĩnh vực, các bộ mô hình máy bay,
các khung đỡ kiến trúc có khớp nối điều chỉnh, các máy khai thác mỏ
- Ưu điểm :

+ Có nhiều điểm suy biến (kỳ dị) trong không gian làm việc.
1.2 Cấu trúc Robot song song
1.2.1 Cấu trúc cơ cấu
Cũng nh các Robot thông thờng, Robot song song là loại Robot có cấu trúc
vòng kín trong đó các khâu (dạng thanh) đợc nối với nhau bằng các khớp
động.
Sơ đồ động cơ cấu tay máy thông thờng là một chuỗi nối tiếp các khâu
động, từ khâu ra (là khâu trực tiếp thực hiện thao tác công nghệ) đến giá cố
định. Còn trong Robot song song, khâu cuối đợc nối với giá cố định bởi một
số mạch động học, tức là nối song song với nhau và cũng hoạt động song
song với nhau. Sự khác nhau về sơ đồ động đó cũng tạo nên nhiều đặc điểm
khác biệt về động học và động lực học.
1.2.2 Khâu, khớp, chuỗi động và máy trong cơ cấu Robot song song
- Khâu : Là phần có chuyển động tơng đối với phần khác trong cơ cấu.
Chúng ta coi tất cả các khâu là các vật rắn. Điều đó làm cho việc nghiên
cứu các cơ cấu, Robot đợc dễ dàng và đơn giản hơn. Tuy nhiên, với các cơ
cấu tốc độ cao hoặc mang tải lớn thì hiện tợng đàn hồi của vật liệu trở nên
quan trọng đáng kể và chúng ta phải xét đến.
- Khớp : Là chỗ nối động giữa hai khâu.
Tùy theo cấu trúc, mỗi khớp hạn chế một số chuyển động giữa hai khâu.
Bề mặt tiếp xúc của mỗi khâu tại khớp gọi là một thành phần khớp. Hai
thành phần khớp tạo thành một khớp động. Khớp động có thể phân thành
khớp thấp và khớp cao tùy thuộc vào dạng tiếp xúc.
+ Khớp thấp: Nếu hai thành phần tiếp xúc là mặt.
+ Khớp cao: Nếu hai thành phần tiếp xúc là điểm hoặc đờng.
Có 6 loại khớp thấp và hai loại khớp cao cơ bản thờng dùng trong các cơ
cấu máy và các Robot, đó là:
+ Khớp quay (Revolute Joint - R) : Khớp để lại chuyển động quay của
khâu này đối với khâu khác quanh một trục quay. Nghĩa là khớp quay hạn
chế 5 khả năng chuyển động giữa hai thành phần khớp và có một bậc tự do .

Khớp quay, khớp lăng trụ, khớp trụ, khớp ren, khớp cầu và khớp phẳng là
các khớp thấp. Khớp bánh răng phẳng và khớp cam phẳng là các khớp cao.
- Chuỗi động : Là tập hợp các khâu đợc nối với nhau bằng các khớp động.
Robot nối tiếp có cấu trúc chuỗi hở, còn Robot song song có cấu trúc là
chuỗi kín. Chuỗi động học đợc gọi là cơ cấu khi một trong các khâu là giá
cố định. Trong cơ cấu có thể có một hoặc nhiều khâu đợc ấn định là khâu
dẫn với các thông số cho trớc. Sự chuyển động của các khâu dẫn là độc lập,
sự chuyển động của các khâu khác sẽ phụ thuộc vào chuyển động của khâu
dẫn. Cơ cấu là một thiết bị truyền chuyển động từ một hay nhiều khâu dẫn
tới các khâu khác.
- Máy móc : Gồm một hoặc nhiều cơ cấu, cùng với các thành phần điện,
thủy lực và/hoặc khí nén, đợc dùng để biến đổi năng lợng bên ngoài thành cơ
năng hoặc dạng năng lợng khác. Cơ cấu chấp hành của hệ thống robot là cơ
cấu. Để cơ cấu này trở thành máy cần phải có bộ điều khiển dựa trên bộ vi
xử lý, bộ mã hóa và/hoặc các cảm biến lực, cùng với các bộ phận khác,
chẳng hạn hệ thống quan sát, phối hợp với nhau để chuyển đổi năng lợng bên
ngoài thành công hữu ích. Mặc dù máy có thể gồm một hoặc nhiều cơ cấu,
- 5 -
Ch ơng I. Tổng quan về Robot cấu trúc song song và phân loại
nhng cơ cấu không phải là máy, do không thực hiện công, chỉ có chức năng
truyền chuyển động.
1.2.3 Bậc tự do của Robot cấu trúc song song
Xét hai vật thể (hay hai khâu) A và B để rời nhau trong không gian. Gắn
vào A một hệ tọa độ Đề các Oxyz (Hình I.1) thì B sẽ có 6 khả năng chuyển
động tơng đối so với A, hay nói cách khác là giữa A và B có 6 khả năng
chuyển động tơng đối, ta gọi là 6 bậc tự do tơng đối.
Các khả năng chuyển động độc lập là :
- Các chuyển động tịnh tiến dọc các trục Ox, Oy, Oz, kí hiệu là T
x
, T

- 6 -
B
Y
A
Z
X
T
z
z
R
y
T
R
y
x
R
x
T
Ch ơng I. Tổng quan về Robot cấu trúc song song và phân loại

: Số bậc tự do trong không gian làm việc của cơ cấu.
Ta giả thiết tất cả các khớp đều là hai chiều, khớp ba chiều đợc coi là hai
khớp hai chiều, khớp bốn chiều đợc coi là ba khớp hai chiều, Ngoài ra,
còn giả thiết một giá trị đợc dùng cho các chuyển động của tất cả các khâu
chuyển động, chúng đều vận hành trong không gian làm việc, do đó =6 đối
với cơ cấu không gian, và = 3 đối với cơ cấu phẳng và cơ cấu cầu.
Giá trị bậc tự do của cơ cấu chính bằng số bậc tự do của tất cả các khâu
hoạt động trừ đi số ràng buộc bởi các khớp. Do đó, nếu các khâu đều tự do,
số bậc tự do của cơ cấu n - khớp , với một khớp cố định, sẽ bằng


1 1 1
( )
j j j
i i i
i i i
c f j f

= = =
= =

(1.3)
Thay phơng trình ( 1.3) vào phơng trình (1.1) ta đợc:
1
( 1)
j
i
i
f n j f

=
=

(1.4)
Phơng trình (1.4) đợc gọi là tiêu chuẩn Gr
&&
u
bler hoặc Kutzbach.
Tiêu chuẩn Gr
&&
u

f n j f f

=
=

(1.5)
Ví dụ: Cơ cấu không gian Stewart - Gough.
Hình 1.2: Cơ cấu không gian Stewart - Gough
Là cơ cấu không gian gồm có một bàn máy động đợc nối với đế cố định
bởi sáu chân trợt thông qua các khớp cầu. Mỗi chân đợc tạo thành từ hai
khâu, và đợc nối với nhau bằng khớp lăng trụ. Cấu trúc này đợc gọi là cấu
trúc S - P - S. Do sự phối hợp S - P - S, nên mỗi chân có một bậc tự do thừa.
Từ hình vẽ ta có : =6, n=14, j
i
=6, j
3
= 12, f
p
=6
Số bậc tự do của cơ cấu đợc tính theo phơng trình (1.5) là :
f =6(14 - 18 - 1) + (12x3 + 6) - 6 = 6
- 8 -
S
P
S
Khớp cầu
Khớp lăng trụ
Khớp cầu
Bàn máy động
Đế cố định

quan hệ với nhau là : Động học và động lực học.
a) Động học
Động học nghiên cứu các đặc trng của chuyển động mà không quan tâm
đến nguyên nhân gây ra chúng nh lực và mômen. Sự thay đổi của các khâu
của robot liên quan đến hớng và vị trí của khâu chấp hành cuối cùng bởi sự
ràng buộc của các khớp. Những quan hệ động học đó là trọng tâm của việc
nghiên cứu động học robot.
Bài toán phân tích động học đợc chia thành hai dạng : Bài toán động học
thuận và Bài toán động học ngợc.
Baì toán động học thuận : Từ các thông số vị trí, vận tốc và gia tốc của
khâu dẫn ,yêu cầu lập trình tính toán vị trí và hớng, vận tốc và gia tốc của
điểm tác động cuối cũng nh khâu trung gian bất kỳ.
- 9 -
Ch ơng I. Tổng quan về Robot cấu trúc song song và phân loại
Bài toán động học ngợc : Từ yêu cầu về vị trí và hớng, vận tốc và gia tốc
của khâu tác động cuối, tìm ra các thông số tơng ứng của các khâu trớc đó
(bài toán động học ngợc).
b) Động lực học
Động lực học nghiên cứu về quan hệ giữa các lực tác dụng vào cơ cấu (lực,
tải trọng và ma sát ) và chuyển động của cơ cấu. Động lực học robot là vấn
đề rất phức tạp và hiện nay đang là đối tợng đợc nghiên cứu tiếp tục.
1.3 Phân loại robot
Robot có thể đợc phân loại theo nhiều tiêu chuẩn, số bậc tự do, cấu trúc
động học, hệ thống truyền động, dạng hình học của chi tiết gia công, các đặc
tính chuyển động
- Phân loại theo số bậc tự do
Sơ đồ phân loại robot thờng dùng là theo số bậc tự do. Một cách lý tởng, cơ
cấu chấp hành phải có 6 bậc tự do để xử lý đối tợng một cách tự do trong
không gian ba chiều. Theo quan điểm này, robot đa năng có 6 bậc tự do,
robot d có hơn 6 bậc tự do và robot thiếu có ít hơn 6 bậc tự do. Robot d có

Tay m¸y CYLINDRICAL Tay m¸y CARTERSIAN
A
1
B
2
F
3
Tay m¸y SCARA
H×nh 1.4: M« h×nh mét sè lo¹i tay m¸y th«ng dông
- 11 -
Ch ơng I. Tổng quan về Robot cấu trúc song song và phân loại
- Phân loại theo cấu trúc động học
Robot đợc gọi là robot nối tiếp nếu cấu trúc động học có dạng chuỗi vòng
hở, robot song song nếu có chuỗi vòng kín, và robot lai nếu có cả chuỗi vòng
hở và vòng kín.
- Phân loại theo hệ thống truyền động
Có ba hệ truyền động phổ biến là điện, thuỷ lực, và khí nén đợc dùng cho
robot. Hầu hết các cơ cấu chấp hành đều sử dụng động cơ bớc hoặc động cơ
trợ động DC, do chúng tơng đối dễ điều khiển. Tuy nhiên, khi cần tốc độ
cao và khả năng mang tải cao, thờng dùng truyền động thuỷ lực hoặc khí
nén. Nhợc điểm của truyền động thuỷ lực là khả năng rò rỉ dầu. Ngoài ra,
truyền động khí nén có tính linh hoạt khá cao. Mặc dù truyền động khí nén
sạch và nhanh nhng khó điều khiển do không khí là lu chất nén đợc .
Trong cơ cấu nối tiếp, nói chung một bộ tác động đợc dùng để điều khiển
chuyển động của từng khớp. Nếu từng khâu chuyển động đợc truyền động
bằng một bộ tác động lắp trên khâu trớc đó thông qua hộp giảm tốc, sự dịch
chuyển của khâu này về mặt động học là độc lập với khâu khác, đây là cơ
cấu chấp hành nối tiếp qui ớc. Mặt khác, nếu mỗi khớp đợc truyền động trực
tiếp bằng bộ tác động không có hộp giảm tốc, cơ cấu đó đợc gọi là cơ cấu
chấp hành truyền động trực tiếp.

đợc gọi là tâm cổ tay. Bộ cánh tay có thể có nhiều kiểu cấu trúc động học,
tạo ra các biên làm việc khác nhau, đợc gọi là vùng không gian làm việc.
Không gian do nhà sản xuất robot cung cấp thờng đợc xác định theo vùng
không gian làm việc.
Tay máy đợc gọi là robot trụ nếu khớp thứ nhất hoặc khớp thứ hai của robot
Decartes đợc thay bằng khớp quay(Hình 1.4).
Tay máy đợc gọi là robot cầu nếu hai khớp đầu là khớp quay khác nhau và
khớp thứ ba là khớp lăng trụ (Hình 1.4 - tay máy SCARA). Vị trí tâm cổ tay
của robot cầu là tập hợp các tọa độ cầu liên quan với ba biến khớp nối. Do đó
không gian làm việc robot cầu đợc giới hạn theo hai khối cầu đồng tâm.
Tay máy đợc gọi là robot quay nếu cả ba khớp đều là khớp quay. Không
gian làm việc của robot này rất phức tạp thờng có tiết diện hình xuyến.
Nhiều robot công nghiệp là loại robot quay (Hình 1.4 - tay máy
REVOLUTE).
1.6 Một số ứng dụng của robot công nghiệp.
Mục tiêu ứng dụng robot công nghiệp nhằm góp phần nâng cao năng suất dây
chuyền công nghệ, giảm giá thành, nâng cao chất lợng và khả năng cạnh tranh
của sản phẩm, đồng thời cải thiện điều kiện lao động. Điều đó xuất phát từ
những u điểm cơ bản của robot, đó là:
+ Robot có thể thực hiện đợc một qui trình thao tác hợp lý bằng hoặc hơn ng-
ời thợ lành nghề một cách ổn định trong suốt thời gian làm việc. Vì thế robot có
thể góp phần nâng cao chất lợng và khả năng cạnh tranh của sản phẩm. Hơn thế,
robot còn có thể nhanh chóng thay đổi công việc để thích nghi với sự biến đổi
mẫu mã, kích cỡ sàn phẩm theo yêu cầu của thị trờng cạnh tranh.
+ Khả năng giảm giá thành sản phẩm do ứng dụng robot là vì giảm đợc đáng
kể chi phí cho ngời lao động.
+ Việc áp dụng robot có thể làm tăng năng suất dây chuyền công nghệ. Sở dĩ
nh vậy vì nếu tăng nhịp độ khẩn trơng của dây chuyền sản xuất, nếu không thay
con ngời bằng robot thì ngời thợ không thể theo kịp hoặc rất chóng mệt mỏi.
+ ứ ng dụng robot có thể cải thiện điều kiện lao động. Đó là u điểm nổi bật

1
( 1)
m
k
k
C f

=
= +

(1.8)
k
f C


(1.9)
Trong đó:
m: Số chân của robot
f : Số bậc tự do của robot.
L: Số vòng đóng độc lập trong cơ cấu.
C
k
: Số khả năng nối động

của chân, đây cũng chính là số chuyển
động có thể của chân.
f
i
: Số khả năng chuyển động của cơ cấu hay bậc tự do của khớp thứ i.
j : Số khớp trong cơ cấu, bao gồm tất cả các khớp.

D
E
G
H
I
P
R
P
Bệ chuyển động
Đế cố định
Hình 1.6: Cơ cấu chấp hành song song 3 PRP
- 15 -
Ch ơng I. Tổng quan về Robot cấu trúc song song và phân loại
Hình 1.5 minh họa cơ cấu chấp hành song song phẳng ba bậc tự do dùng
cấu trúc chân 3 PRP; Hình 1.6 minh hoạ cơ cấu chấp hành song song 3 bậc
tự do phẳng có cấu trúc nhánh 3 PRP, trong đó 3 trục khớp quay vuông góc
với mặt phẳng chuyển động trong khi các trục khớp lăng trụ nằm trên mặt
phẳng chuyển động.

1.5.3 Các robot song song cầu
Các cơ cấu cầu có ba bậc tự do. Do đó yêu cầu liên kết trong cơ cấu chấp
hành song song cầu giống nh các cơ cấu chấp hành song song phẳng. Trong
cơ cấu chấp hành liên kết cầu, loại khớp đợc phép là khớp quay, tất cả các
trục khớp phải giao nhau tại một điểm chung, đó là tâm hình cầu, do đó cấu
trúc nhánh duy nhất đợc phép là cấu trúc RRR. Cơ cấu chấp hành trên hình
1.7 là cơ cấu chấp hành song song cầu 3RRR, 3 bậc tự do.
Đế cố định
1
2
3

1.5.4 Các robot song song không gian
Đối với robot song song không gian, thay
6

=
vào phơng trình (1.8) và
(1.9) ta có:
- 16 -
Ch ơng I. Tổng quan về Robot cấu trúc song song và phân loại
7 6
m
k
k
C F=

(1.10)
6
k
C F
(1.11)
Giải đồng thời (1.10) và (1.11) với các số nguyên dơng
k
C
, k=1,2,3 Có
thể phân loại robot song song không gian ứng với số bậc tự do và độ liên kết
đợc nêu trên bảng:
Bậc tự do
F
Số vòng
L

- 17 -
Ch ơng I. Tổng quan về Robot cấu trúc song song và phân loại
R
Bàn máy động
C
R
Giá
Giá
Giá
Bàn máy động Bàn máy động
R
P
S
C
S
R
(a) (b) (c)
R
R
(d)
Giá
R
Giá
(e)
S
Bàn máy động
R
Bàn máy động
S
(h)

Hình 1.9 mô tả sơ đồ của robot này.
4
5
3
2
1 6
1 : Bàn di động
2 : ống truợt trong
3 : ống truợt ngoài
4 : Khớp quay
5 : Mặt cố định
6 : Khớp cầu
Hình 1.9: Cơ cấu chấp hành song song 3 RPS
- Chi tiết 1 : Bàn di động có 3 bậc tự do trong không gian, trong trờng hợp cụ
thể ở đây là phần bề mặt dùng để gá dụng cụ cắt kim loại (đầu dao phay, )
hoặc lắp đồ gá phôi (thớc chia độ, kẹp phôi gia công ) có dạng tam giác (thờng
là tam giác đều). Trên bàn di động sẽ lắp đặt các loại đồ gá để kẹp chi tiết hoặc
lắp đặt cụm động cơ - đài dao gia công. Bàn đợc thiết kế có các lỗ, chốt định vị
để lắp đồ gá. Đồ gá đợc lắp chặt trên bàn di động bằng các bulông.
- Chi tiết 2: Là một phần của chit tiết thanh trợt lồng, ống trợt trong. Tất cả các
ống trợt trong có dạng thanh trụ đặc. Khớp trợt đợc truyền động bằng cơ cấu
chấp hành sử dụng động cơ servo, bộ truyền động và cụm cơ cấu trục vít - đai ốc
bi. Các chân của Robot đợc nối với bệ di động và đế cố định bằng các khớp cầu
6.
- Chi tiết 3 : Là một phần của chi tiết thanh trợt lồng, ống trợt ngoài. Tất cả
các ống trợt ngoài có dạng hình trụ rỗng.
- Chi tiết 4 : Khớp quay, nối chân với đế cố định.
- Chi tiết 5 : Mặt đế cố định, có dạng tấm phẳng tròn. Bệ cố định đợc lắp đặt
trên bàn gá chi tiết của máy phay hoặc có thể đợc lắp đặt cố định trên một vật
khác. Trên đế cố định có gia công các lỗ phục vụ, việc cố định đế trên bàn gá

e
r

là ba vector đơn vị trên các trục Ox
0
,Oy
0
,Oz
0
. Ta gắn chặt vào vật rắn một hệ
qui chiếu R=
{ }
1 2 3
, ,e e e
r r r
với
1
e
r
,
2
e
r
,
3
e
r
là ba vector đơn vị trên các trục
Ax,Ay,Az (Hình 2.1).
O

X
1
Hình 2.1
Định nghĩa : Ma trận vuông cấp ba
=A
(0) (0) (0)
1 1 1 2 1 3
(0) (0) (0)
2 1 2 2 2 3
(0) (0) (0)
3 1 3 2 3 3
. . .
. . .
. . .
e e e e e e
e e e e e e
e e e e e e r r r r r r
r r r r r r
r r r r r r
(2.1)
đợc gọi là ma trận cosin chỉ hớng của vật rắn B đối với hệ qui chiếu R
0
.
Nếu ta đa vào ký hiệu :

(0) (0) (0)
3 31 1 32 2 33 3
e a e a e a e
e a e a e a e
e a e a e a e
= + +
= + +
= + +
r r r r
r r r r
r r r r
(2.4)
Nếu ta ký hiệu e
i
là ma trận cột gồm các phần tử của vector
i
e
r
trong hệ
qui chiếu R
0

1
=e
11
21
31
a
a
a

(2.5)
Thì ma trận cosin chỉ hớng (2.3) có dạng:
A=[e
1
,e
2
,e
3
] (2.6)
Ma trận cosin chỉ hớng A còn đợc gọi là ma trận quay của vật rắn.
2.1.2 Một vài tính chất cơ bản của ma trận cosin chỉ hớng
a) Tính chất 1: Ma trận cosin chỉ hớng là ma trận trực giao.
Theo công thức (2.6) :
A=[e
1
,e
2
,e
3
]
Vậy ma trận cosin chỉ hớng A là ma trận cột có ba cột là ba vector trực
chuẩn. Do đó A là ma trận trực giao.
Hệ quả: Trong 9 thành phần của ma trận cosin chỉ hớng có 3 thành phần
độc lập.
Do tính chất của ma trận cosin chỉ hớng là ma trận trực giao nên A.A
T
=E.

Do vậy chỉ có ba thành phần của ma trận cosin chỉ hớng là độc lập.
b) Tính chất 2: Định thức của ma trận cosin chỉ hớng det(A)=1.
Từ hệ thức A.A
T
= E ta suy ra:
det(A.A
T
) = det(A).det(A
T
) = det(E) = 1
Do : det(A) = det(A
T
) nên to có det(A) =
1

. Ta có thể chứng minh
det(A) = 1.
- 21 -
Ch ơng I. Tổng quan về Robot cấu trúc song song và phân loại
c) Tính chất 3 : Ma trận cosin chỉ hớng có ít nhất một trị riêng
1
1

=
.
2.1.3 ý nghĩa của ma trận cosin chỉ hớng của vật rắn
Xét hai hệ qui chiếu R
0
và R có cùng gốc O. Trong đó hệ qui chiếu R
0

e
1
e
2
Z
Y
Y
X
0
Z
0
X
0
P
B
Hình 2.2
Ký hiệu các tọa độ của điểm P trong hệ qui chiếu động Oxyz là x
P
, y
P
, z
P
,
các tọa độ của điểm P trong hệ qui chiếu cố định Ox
0
y
0
z
0
là

11 1 21 2 31 3
( . . . )
P P
r x a e a e a e= + + +
r r r r

(0) (0) (0)
12 1 22 2 32 3
( . . . )
P
y a e a e a e+ + +
r r r
(2.10)

(0) (0) (0)
13 1 23 2 33 3
( . . . )
P
z a e a e a e+ +
r r r
Hay :

(0)
11 12 33 1
( . . . )
P P P P
r a x a y a z e= + + +
r r

(0)

31 32 33
. . .
P P P P
y a x a y a z= + +
(2.12)

(0)
31 32 33
. . .
P P P P
z a x a y a z= + +
Hệ phơng trình (2.12) có thể viết lại dới dạng ma trận nh sau :
(0)
11 12 13
(0)
21 22 23
(0)
31 32 33
.
P
P
P P
P
P
x
x
a a a
y a a a y
a a a
z

Hình 2.3
Các phép quay quanh trục x, y, z của hệ tọa độ vuông góc Oxyz đợc gọi là
phép quay cơ bản.
Ta tìm ma trận quay của phép quay quanh trục x
0
một góc

(Hình 2.4).
- 23 -
Ch ơng I. Tổng quan về Robot cấu trúc song song và phân loại
e
2
Z
Z
Y
O
0
0
Z
e
2
(0)
e
3
(0)
3
e

Hình 2.4
Theo công thức định nghĩa (2.1) ta có:

=
1 0 0
0 cos sin
0 sin cos (2.15)
Ma trận (2.15) đợc gọi là ma trận quay của phép quay cơ bản quanh trục x
0
.
Bằng cách tơng tự, ta xác định đợc các ma trận quay cơ bản quanh các trục
y
0
và z
0
(Hình 2.5)
0
( )

=
y
A
cos 0 sin
0 1 0

det ( ) det ( ) det ( )

= =
x y z
A A A
(2.17)
- 24 -
Ch ơng I. Tổng quan về Robot cấu trúc song song và phân loại
e
e
O
2

1
(0)
1
e
X
0
0
Y
Y
2
(0)
e
X
O
1
(0)
e

,y
2
, y
n
,y
n+1
) với (y
n+1
0) và:
1 2
1 2
1 1 1
; ; ;
n
n
n n n
y
y y
x x x
y y y
+ + +
= = =
(2.18)
Gọi là toạ độ thuần nhất của X.
Trong kỹ thuật,ngời ta thờng chọn (y
n+1
=1).
Vậy điểm P(x,y,z) trong toạ độ vật lý R
3
đợc biểu diễn trong toạ độ thuần nhất