05/13/14 05:39 PM Đạo hàm - Vi phân 1
C3. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
ξ1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN
1.1 Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b)
và x0 ∈ (a,b). Nếu tồn tại
0
0
xx
xx
)x(f)x(f
lim
0
−
−
→
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x
0
. Ký
hiệu f’(x
0
), y’(x
0
)
Đặt ∆x = x – x
0
, ta có x = x
0
+ ∆x và đặt ∆y = f(x
0
+ ∆x) – f(x
0

-
Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm
tại mọi điểm trong khoảng đó,
-
f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi
điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái
tại b
Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x
2
, y = sinx
05/13/14 05:39 PM Đạo hàm - Vi phân 3
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
1.2 Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số:
Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì:
1) u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’
2) u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u
3) u/v cũng có đạo hàm tại x(V(x)≠0) và
2
'
v
u'vv'u
v
u
−
=






α
)’ = αx
α-1
(α ∈ R, x > 0)
(a
x
)’ = a
x
lna (a > 0, a ≠ 1)
(e
x
)’ = e
x
0) x1,a 0,(a
alnx
1
)'x(log
a
>≠>=
0) x(
x
1
)'x(ln
>=
(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = -sinx
Z)k ,k/2(x
xcos
1
)'tgx(

2
x1
1
)'gxcotarc(
+
−=
05/13/14 05:39 PM Đạo hàm - Vi phân 6
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
1.6 Đạo hàm cấp cao :
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo
hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo
hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x)
2
2
2
2
dx
fd
,
dx
yd
Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm
cấp n. Ký hiệu: f
(n)
(x), y
(n)
(x).
n
n
n

)n(
v.uC)uv(
trong đó u
(0)
= u, v
(0)
= v
05/13/14 05:39 PM Đạo hàm - Vi phân 8
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
ξ2. VI PHÂN
2.1 Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy =
y’dx (df = f’dx) được gọi là vi phân cấp 1 của hàm số f.
xln1y
+=
Ví dụ: tìm dy với
2.2 Vi phân của tổng, tích, thương:
Từ công thức của đạo hàm ta suy ra:
1) d(u + v) = du + dv
2) d(u.v) = vdu + udv
2
v
udvvdu
v
u
d
−
=




(n)
dx
n
(d
(n)
f = f
(n)
dx) được gọi là vi phân cấp n của hàm
số f.
05/13/14 05:39 PM Đạo hàm - Vi phân 10
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
ξ3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG
2.5 Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi
trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c ∈ (a,b) sao cho f’(c) = 0.
2.6 Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi
trong (a,b) thì tồn tại c ∈ (a,b) sao cho
)c('f
ab
)a(f)b(f
=
−
−
Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý
Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a).
05/13/14 05:39 PM Đạo hàm - Vi phân 11
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
2.7 Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi
trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, ∀x ∈ (a,b) thì tồn tại c ∈ (a,b)
sao cho
)c('g

→
Nếu thì
Nhận xét: (1) Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu:
0)x(glim)x(flim
xx
==
∞→∞→
∞==
→→
)x(glim)x(flim
axax
∞==
∞→∞→
)x(glim)x(flim
xx
(2) Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần.
05/13/14 05:39 PM Đạo hàm - Vi phân 13
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0)
8x4x
27x
lim
2
3
3x
+−
−
→
xsinx
xtgx

lim
+∞→
x
n
x
e
x
lim
+∞→
05/13/14 05:39 PM Đạo hàm - Vi phân 14
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
2. Dạng 0.∞, ∞ - ∞: Tìm cách chuyển chúng về dạng 0/0, ∞/∞.
Ví dụ:
xlnxlim
5
0x
+→
)4/x(tg)x4(lim
2
2x
π−
→
)tgx
xcos
1
(lim
2/x
−
π→
3. Dạng vô định: 0

Định nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại x
0

nếu tồn tại một lân cận của x
0
sao cho f(x) ≤ f(x
0
) (f(x) ≥ f(x
0
)).
Chiều biến thiên của hàm số:
Định lý: Cho f khả vi trong (a,b):
1. Nếu f’(x) > 0 với mọi x ∈ (a,b) thì f tăng trong khoảng đó.
2. Nếu f’(x) < 0 với mọi x ∈ (a,b) thì f giảm trong khoảng đó.
Điều kiện cần của cực trị:
Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x = x
0
và có
đạo hàm tại điểm đó thì f’(x
0
) = 0.
05/13/14 05:39 PM Đạo hàm - Vi phân 16
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Ví dụ: Hàm số y = x
3
, f’(0) = 0 nhưng tại x = 0 hàm số không
đạt cực trị.
Hàm số y = x đạt cực tiểu tại x = 0 nhưng f’(0) không
tồn tại.
Định nghĩa: Các điểm thoả một trong các điều kiện sau thì


và f’(x) = 0.
a) Nếu f”(x
0
) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu.
b) Nếu f”(x
0
) < 0 thì f(x) đạt cực đại.
05/13/14 05:39 PM Đạo hàm - Vi phân 18
C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Giá trị lớn nhất bé nhất của hàm số trên một đoạn:
1. Tính giá của f tại các điểm tới hạn và tại điểm hai đầu mút.
2. Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị được tính trên là
giá trị lớn nhất (nhỏ nhất cần tìm.
Ví dụ: tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số:
f(x) = x
3
– 3x
2
+1 trên đoạn [-1/2, 4]