Phạm Viết Sĩ
Đại cương về vectơ
1.Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ EH và FG bằng
AD . Chứng minh rằng CDGH là hình bình hành
2.Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác
a)Gọi D là điểm đối xứng của A qua tâm O. Chứng minh rằng BD = HC
b)Gọi K là trung điểm của AH và I là trung điểm của BC,chứng minh
OK = IH
3.Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB
và CD. Đường chéo BD lần lượt cắt AF và CE tại M và N. chứng minh rằng :
DM = MN = NB
4.Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Dựng AD = GC và DE = GB
Chứng minh rằng GE = 0
5.Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) ta kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC với (O).
Gọi H là giao điểm của AO và BC.Trên đường trung trực của đoạn AH lấy 1
điểm M.Từ M kẻ tiếp tuyến MD với (O). Chứng minh rằng : |MA| = | MF |
Các phép toán vectơ
1.Rút gọn các biểu thức sau:
a)OM – ON + AD + MD + EK – EP – MD
b)+ – + + +
c) + + – + – +
2. Chứng minh rằng
a) + = +
b) + = +
c) + + = +
d) + + = + + = + +
e) + + + = + +
3.Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý . Chứng minh rằng :
+ = +
4.Cho tam giác ABC, Bên ngoài của tam giác ta vẽ các hình bình hành ABIJ
,BCPQ ,CARS. Chứng minh rằng : + + =

Bình ký hiệu chúng là B
1
, B
2
, …, B
n
.
Chứng minh rằng : ++ +=
14.Cho tứ giác ABCD, gọi I và J là trung điểm AC và BD
a)Chứng minh rằng + = 2
b)Xác định điểm M sao cho + + 2=
c)Xác định điểm N sao cho +++=
15.Cho hai hình bình hành ABCD và A’B’C’D’. Gọi M ,N ,P ,Q lần lượt là
trung điểm của AA’,BB’ ,CC’ ,DD’. Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành
16.Cho hai điểm phân biệt A và B.Tìm quĩ tích các điểm M thỏa mãn:
=
17.Cho tam giác ABC
a)Xác định điểm I sao cho : + 2 =
b)Xác định điểm K sao cho : + 2 =
18.Cho tam giác ABC
a)Tìm điểm M thoả mãn : – + =
b)Tìm điểm N thoả mãn : = + +
- 1 -
Phạm Viết Sĩ
c)Tìm điểm K thoả mãn :+ + + =
d)Tìm điểm M thoả mãn :+ – 2 =
e)Tìm điểm N thoả mãn :+ + 2 =
f)Tìm điểm P thoả mãn : – + 2 =
19.Cho hình bình hành ABCD. Tìm điểm M thoả mãn:
4= + +

b) hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm
31.Cho tam giác ABC. Gọi M ,N ,P là các điểm được xác định như sau:
= 3 ; = 3 ; = 3
a)Chứng minh rằng : 2 = 3 – ∀O
b)Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm
32.Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC
Chứng minh rằng : = +
33.Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là trung điểm đoạn thẳng AG và K
là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AB = 5AK
a)Tính các vectơ ,,,theo hai vectơ và
b)Chứng minh rằng 3 điểm C,I ,K thẳng hàng
34.Cho 3 điểm phân biệt A, B, C.
a)Chứng minh rằng nếu có một điểm I và một số t sao cho
= t+ (1 – t) thì ∀ điểm M ta đều có : = t+ (1 – t)
b)Chứng minh rằng : = t+ (1 – t) ⇔ A, B, C thẳng hàng
35.Cho điểm O cố định và đường thẳng d đi qua hai điểm A B cố định. Chứng
minh rằng điểm M ∈d ⇔ có số α sao cho: = α+ (1 – α)
Với điều kiện nào của α thì M ∈ đoạn thẳng AB
36.Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt chia các đoạn thẳng AB, BC,
CA theo các tỉ số m, n, p ≠ 1. Chứng minh rằng :
a)M, N, P thẳng hàng ⇔ m.n.p = 1 (định lý Mênêlauýt)
b)AN, CM, BP đồng qui hoặc song song ⇔ m.n.p = – 1(định lý Xêva)
37.Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB và N là điểm trên cạnh AC sao
cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm của MN
a)Chứng minh rằng : = +
b)Gọi D là trung điểm BC,chứng minh rằng : = +
38.Cho tam giác ABC ,M là điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng vectơ
= – 3+ 2 không phụ thuộc vào vị trí điểm M
39.Cho tam giác ABC.Trên các cạnh BC ,CA ,AB lấy các điểm M,N,P sao cho
BM = MC , CN = NA , AP = BP


CC’
a)So sánh các đoạn thẳng AM, MN, NA’
b)So sánh diện tích hai tam giác ABC và MNP
47*.Cho tam giác đều ABC tâm O và M là điểm tuỳ ý bên trong của tam giác.
Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu của M xuống 3 cạnh . Chứng minh rằng :
+ + =
48*.Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý
a)Chứng minh rằng vectơ = + 2 – 3 không phụ thuộc vị trí điểm M
b)Dựng điểm D sao cho = ,CD cắt AB tại K. Chứng minh rằng
+ 2 = và = 3
49*.Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), H là trực tâm của tam
giác , gọi D là điểm đối xứng của A qua tâm O
a) Chứng minh rằng HBDC là hình bình hành
b) Chứng minh rằng + + = 2
và + + =
c)Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng = 3
Kết luận gì về ba điểm O, H ,G
50*.Trong đường tròn (O) cho 3 dây cung song song AA
1
,BB
1
,CC
1
. Chứng
minh rằng trực tâm của ba tam giác ABC
1
,BCA
1
,và CAB

MNP có cùng trọng tâm
60.Cho tam giác ABC và hai điểm M,N thoả: 2+ 3 =
và + 3 = . Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của tam giác
ABC
- 3 -
Phạm Viết Sĩ
61.Cho tam giác ABC và 3 vectơ cố định ;;. Với mỗi số t ∈ R,lấy các điểm A’,
B’ ,C’ sao cho = t, = t, = t.Tìm quĩ tích trọng tâm G của tam giác A’B’C’ khi t
thay đổi
62.Cho tam giác ABC và một điểm O bất kỳ. Chứng minh rằng ∀điểm M ta
luôn luôn tìm được 3 số α, β, γ sao cho: α + β + γ = 1 và
= α+ β+ γ.Nếu điểm M trùng với trọng tâm của tam giác ABC thì các số α, β, γ
bằng bao nhiêu?
63.Cho các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm G . Gọi G
1
,G
2
,G
3
lần
lượt là trọng tâm của các tam giác BCA’ ; CAB’ ; ABC’
Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác G
1
G
2
G
3
64.Cho tam giác ABC, M là điểm đối xứng của trọng tâm G qua B. Phân tích
theo và
65.Cho tam giác ABC có trọng tâm G.Gọi D và E là các điểm xác định bởi:

Tính , theo , α , β
73.Cho tam giác ABC, M là điểm trên AC sao cho = ,G là trọng tâm tam giác
ABC, MG cắt đường thẳng AB tại N.Tính
74.Cho tg ABC.Tìm tập hợp các điểm M thỏa
a) = b) + 2 – 3 =
Toạ độ trên trục
1.Trên trục x’Ox cho các điểm A,B,C lần lượt có toạ độ là 2,– 3,1
a)Tính , – 2 ,
b)Tìm toạ độ trung điểm I của AB
c)M là điểm đối xứng với A qua B, N là điểm đối xứng với M qua A .Tìm N
2.Trên trục x’Ox cho các điểm A,B,C lần lượt có toạ độ là 1,– 3,5
a)Tìm toạ độ điểm D sao cho = 3
b)Tìm toạ độ điểm M sao cho + + = 0
c)Tìm toạ độ điểm N sao cho 2 – + 5 = 0
3.Trên trục x’Ox cho các điểm A,B,C và I là trung điểm BC,chứng minh rằng :
a) + = 2
b) . =
2
–
2
c)
2
+
2
= 2(
2
+
2
)
d)

b)Tìm tọa độ vectơ sao cho + = –
c)Tìm các số k và h sao cho = k + h
2.Cho = 2– 3 và = k + 4. Tìm các giá trị của k để hai vectơ và cùng phương
3.Cho các vectơ = (– 1;4),= (2;– 3),= (1;6) Phân tích theo và
4.Cho 3 vectơ = (m;m) , = (m – 4;1) , = (2m + 1;3m – 4).
Tìm m để + cùng phương với
5.Xét xem các cặp vectơ sau có cùng phương không?Nếu cùng phương thì có
cùng hướng không?
a) = (2;3) , = (– 10;– 15) b) = (2;3) , = (– 10;– 15)
c) = (0;7) , = (0;8) d) = (– 2;1) , = (– 6;3)
e) = (0;5) , = (3;0)
6.Cho các vectơ = (3;1) , = (2;1) = (4;1)
Tìm các số x,y sao cho x.+ y. + 7 =
7.Cho các điểm A(– 3;2) ,B(2;4) ,C(3;– 2).
a)Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC
b)Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm tam giác ABD
c) Tìm tọa độ điểm E sao cho ABCE là hình bình hành
8.Cho 3 điểm A(– 2;– 3) ,B(2;1) ,C(2;– 1)
a)Tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
b)Gọi E là điểm đối xứng với D qua A. Chứng minh rằng ACBE là hình bình
hành
9.Cho tam giác ABC có A(– 1;1), B(5;– 3), đỉnh C nằm trên trục Oy và trọng
tâm G nằm trên trục Ox. Tìm toạ độ đỉnh C
10Cho tam giác ABC biết trọng tâm G(1;2),trung điểm của BC là D(– 1;– 1),
trung điểm cạnh AC là E(3;4).Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C
11.Cho các điểm A(2;3) ,B(9;4) ,M(x;– 2) Tìm x để 3 điểm A,B,M thẳng hàng
12.Cho các điểm A(1;1) ,B(3;2) ,C(m + 4;2m + 1),Tìm m để A ,B ,C thẳng hàng
13.Cho 3 điểm A(– 1;8) ,B(1;6) ,C(3;4). Chứng minh rằng: A ,B ,C thẳng hàng
14.Cho 4 điểm A(0;1) ,B(1;3) ,C(2;7), D(0;3). Chứng minh rằng: hai đường
thẳng AB và CD song song

Phạm Viết Sĩ
1. Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có cùng đỉnh A. Chứng minh
rằng :
a) + =
b) hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm
2.Trong mo Oxy cho hai điểm A(1;4) và B(2;2). Đường thẳng đi qua hai điểm A
và B cắt trục Ox tại M và cắt trục Oy tại N.Tính diện tích tam giác OMN
Đề 4(NC)
1.Cho tam giác OAB.Đặt = , = .Gọi C ,D ,E là các điểm sao cho = 2 , = ; =
a)Hãy biểu thị các vectơ ,, qua các vectơ và
b)Chứng minh rằng: ba điểm C ,D ,E thẳng hàng
2.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm G(1;2).Tìm tọa độ điểm A ∈ Ox và điểm B ∈
Oy sao cho G là trọng tâm tam giác OAB
Tích vô hướng
1.Cho hai vectơ và. Chứng minh rằng :
.=






−−+
2
2
2
baba





2.Cho hai vectơ , có = 5 , = 12 và = 13.Tính tích vô hướng .( + ) và suy ra góc
giữa hai vectơ và +
3.Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi H là trung điểm BC,tính
a) . b). c) .
4.Cho hình vuông ABCD tâm O,cạnh a.Tính:
a). b). c) .
5. Tam giác ABC có AC = 9 ,BC = 5 ,C = 90
o
,tính .
6. Tam giác ABC có AB = 5 ,AC = 4 ,A = 120
o

a)tính . b) Gọi M là trung điểm AC tính .
7. Tam giác ABC có AB = 5 ,BC = 7 ,CA = 8
a)Tính . rồi suy ra giá trị góc A
b)Tính .
c)Gọi D là điểm trên cạnh CA sao cho CD = CA .Tính .
8.Cho hai vectơ và thỏa mãn || = 3 , || = 5 và (,) = 120
o
Với giá trị nào của m thì hai vectơ + m và – mvuông góc nhau
9. Tam giác ABC có AB = 4 ,AC = 8 và góc A = 60
o
.Trên tia AC lấy điểm M
và đặt = k.Tìm k để BM vuông góc với trung tuyến AD của tam giác ABC
10.Cho tam giác ABC cân đỉnh A, cạnh bên = a và hai trung tuyến BM, CN
vuông góc nhau . Tính cosA
11. Tam giác ABC có AB = 6,AC = 8,BC = 11
a)Tính .
b)Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 2.Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho

15.Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng :
MA
2
+ MB
2
+ MC
2
= 3MG
2
+ GA
2
+ GB
2
+ GC
2
16.Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a,b,c. Gọi G là trọng tâm,hãy tính:
a) . b). c) . + . + .
d) Chứng minh rằng : . + . + . = – (a
2
+ b
2
+ c
2
)
e)Tính AG theo a ,b ,c
17.Cho tam giác ABC có 3 đường trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng :
. + . + .= 0
18.Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R.Gọi M, N là hai điểm trên
(O) và I = AM∩BN. Chứng minh rằng :
a) . = .

phân giác trong của góc A
a)Tính .
b)Tính theo và ⇒ độ dài của AL
c)M là điểm trên cạnh AC sao cho AM = x. Tìm x để AL ⊥ BM
25.Cho tam giác ABC có AB = 2a ,AC = a và A = 120
o
a) Tính BC và .
b)Gọi N là điểm trên cạnh BC sao cho BN = x. Tính theo và ,x
c)Tìm x để AN ⊥ BM
26.Cho tứ giác ABCD,chứng minh rằng:
AB
2
– BC
2
+ CD
2
– DA
2
= 2.
27.Cho tam giác ABC có H là trực tâm và M là trung điểm của BC
Chứng minh rằng : . = BC
2

28.Cho tứ giác ABCD. Hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi H ,K lần lượt là trực
tâm của các tam giác ABO và CDO; I và J là trung điểm của AD và BC.
Chứng minh rằng HK ⊥ IJ
28.Cho đường tròn (O;R) và hai dây cung AA’ ,BB’ vuông góc nhau tại S. Gọi
M là trung điểm của AB. chứng minh rằng: SM ⊥ A’B’
29.Cho tam giác ABC. Tìm quĩ tích những điểm M thoả mãn :
a) . = .

a)Xác định trên đường thẳng AC một điểm N sao cho tam giác MDN vuông tại
D.Tính diện tích tam giác đó.
b)Xác định trên đường thẳng AC một điểm P sao cho tam giác MPD vuông tại
M.Tính diện tích tam giác đó.
c) Tính cosin của góc hợp bởi hai đường thẳng MP và PD
37.Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, M là điểm tuỳ ý,chứng minh rằng :
a) + = +
b) . = .
c) MA
2
+ MC
2
= MB
2
+ MD
2

d) MA
2
+ . = 2.
38.Cho tam giác ABC và các hình vuông ABED, ACHI ,BCGH
Chứng minh rằng :
a) (+ ).= 0
b) (+ + ).= 0
c) + + =
d) + + =
39.Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC = b. Gọi M là điểm trên cạnh
BC sao cho CM = 2BM, N là điểm trên cạnh AB sao cho BN = 2AN
a) Tính vectơ vàtheo hai vectơ và
b)Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c sao cho AM ⊥ CN

+ …+ cos
6
AO
ˆ
M
= 0
b) MA
1
2
+ MA
2
2
+ …+ MA
6
2
là một hằng số ( = 12R
2
)
42*.Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O,R) ,M là một điểm bất
kỳ trên đường tròn
a)Chứng minh rằng : MA
2
+ MB
2
+ MC
2
= 6R
2

b)Chứng minh rằng : MA

2
– 2MC
2
= 2MI
2
+ IA
2
+ 3IB
2
– 2IC
2
d)Khi M chạy trên đường thẳng (d) cố định,hãy tìm vị trí của M để biểu thức
MA
2
+ 3MB
2
– 2MC
2
nhỏ nhất
48.Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý
a)Chứng minh rằng vectơ = + 2 – 3 không phụ thuộc vị trí điểm M
b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC, chứng minh rằng :
2MA
2
+ MB
2
– 3MC
2
= 2.
c)Tìm quĩ tích điểm M sao cho 2MA