Chương 7
HIỆU ỨNG BIÊN CỦA VỎ TRỤ TRÒN
TRONG TRẠNG THÁI MÀNG
Khi vỏ xoay chịu tải trọng đối xứng trục, ở vùng xa biên vỏ trạng thái biến dạng,
nội lực là trạng thái màng (phi mô men). Hiệu ứng biên trong trạng thái màng là hiệu
ứng xuất hiện biến dạng uốn, có đặc trưng cục bộ với vùng xuất hiện biến dạng uốn tắt
nhanh trong khoảng cách nhỏ từ nguồn gây ra hiệu ứng biên như: tại liên kết ngàm,
liên kết 02 vỏ có độ cứng khác nhau,…
Trong chương này, xét hiệu ứng biên trong trạng thái màng của vỏ trụ tròn dưới
tác dụng của tải trọng pháp tuyến đối xứng trục và sự thay đổi nhiệt độ trong một số
trường hợp thường gặp trong thực tế tính toán, thiết kế [21].
7.1. HIỆU ỨNG BIÊN CỦA VỎ TRỤ TRÒN TRONG TRẠNG THÁI MÀNG
7.1.1. Các phương trình cơ bản
Khảo sát vỏ trụ tròn có đường
kính
d
chịu tải trọng pháp tuyến đối
xứng trục là áp lực pháp tuyến
( )
p x
,
tại đầu vỏ liên kết ngàm, hình 7-1.
Ở vùng xa biên ngàm, vỏ biến
dạng tự do và sau biến dạng có đường
kính
d d+ ∆
, đường sinh là đường thẳng và vỏ ở trong trạng thái màng.
Tại vị trí biên ngàm, xuất hiện biến dạng uốn. Trong mục này sẽ xác định các
thành phần nội lực do biến dạng uốn gây ra.
Xét vỏ trụ tròn bán kính
r

2
N N const
ϕ
= =
,
2
M M const
ϕ
= =
,
hình 7-2.
Xét cân bằng của phân tố vỏ, hình 7-2, lấy tổng hình chiếu của các lực lên
phương pháp tuyến, với hình chiếu của lực dọc
N
ϕ
lên phương pháp tuyến được biểu
diễn trên hình 7-2:
( )
. 0
x x x
Q rd Q dQ rd N dxd prd dx
ϕ
ϕ− + ϕ− ϕ+ ϕ =

Sau khi biến đổi, nhận được:
( )
x
N
dQ
p x

có thể biểu diễn các
thành phần
x
M
,
x
dQ
dx
,
N
ϕ
trong các phương trình (7.1) và
(7.2) như đối với dầm có chiều rộng
1rdϕ =
, hình 7-3, với
độ cứng:
120
Hình 7-2.
Hình 7-3.
( )
3
2
12 1
E
K EJ
δ
= =
−µ
(7.3a)
Với dầm, có các liên hệ vi phân:

d w
K
dx dx
=
(7.4)
Thành phần thứ hai chứa
N
ϕ
của (7.1) được biểu diễn qua chuyển vị pháp tuyến
w
như sau: do vỏ trụ tròn chịu tải trọng đối xứng trục nên biến dạng theo phương
vòng
ϕ
ε
, hình 7-4, được xác định bằng công thức:
( )
2 2
2
r w r
s w
s r r
ϕ
π + − π
∆
ε = = =
π
(7.5)
với
s
và

IV
E
Kw w p x
r
δ
+ =
(1)
chia cho
K
và đặt:
( )
2
4
2 2 2
12 1
4
E
Kr r
−µ
δ
β = =
δ
(7.7a)
với vật liệu thép
0,3µ =
nên
1,28
r
β =
δ

0
t∆
giữa mặt trong có nhiệt độ
0
1
t
và
nhiệt độ mặt ngoài
0
2
t
của vỏ là:
0 0 0
1 2
t t t∆ = −
(7.10)
Nhiệt độ tại điểm cách mặt trung bình
khoảng cách
z
theo phương pháp tuyến:
122
δ
o
S
t
o
1
t
o
2

t
α
là hệ số dãn nở nhiệt) (7.12)
Từ lý thuyết đàn hồi:
( )
1
x
N N
E
ϕ ϕ
ε = −µ
δ
và chú ý đến (7.12), rút ra:
0
t s x
w
N E t N
r
ϕ
 
= δ − α + µ
 ÷
 
(7.13)
Biểu diễn thành phần thứ nhất
x
dQ
dx
của (7.1) qua chuyển vị
w

. .
x t
z
t
ϕ
ε = ε = α ∆
δ
(7.16)
Từ lý thuyết đàn hồi, ứng suất do sự thay đổi nhiệt độ:
123
( )
( )
( )
( )
( )
0 0
2 2
1
1
1 1
t t
xt x
Ez t Ez t
E
ϕ
α ∆ α ∆
σ = ε + µε = +µ =
δ −µ
−µ δ − µ
(7.17)

2 0
2
1
x t
d w t
M K
dx
 
∆
= − +µ α
 
δ
 
(7.19)
Lực cắt
x
Q
xác định bằng công thức:
( )
( )
0
3
3
1
t
x
x
d t
dM
d w

 
 
(7.21)
Thay (7.21), (7.13) vào (7.1) nhận được phương trình vi phân cân bằng của vỏ
trụ tròn chịu lực dọc trục, tải trọng pháp tuyến
p
và sự thay đổi nhiệt độ:
( )
2 0
0
4
4
4 2
1
4
x t s
t
d t
N E t
d w p p
w
dx K Kr Kr dx K
+
∆
δα
+µ
+ β = −µ − + α =
δ
(7.22)
Phương trình này có dạng như (7.8) chỉ khác thay

xác định được lực cắt
x
Q
theo (7.3c), mô men uốn
x
M
theo
124
(7.3d), lực dọc
N
ϕ
theo (7.6) còn mô men uốn theo phương vòng
M
ϕ
được xác định
tương tự như (7.19) theo công thức:
( )
2 0
2
1
t
d w t
M K
dx
ϕ
 
∆
= µ − +µ α
 
δ

,
*
C
,
*
D
là các hằng số tích phân xác định từ điều kiện biên.
1
.Y cos x ch x= β β
( )
2
1
. .
2
Y ch x sin x sh x cos x= β β + β β
3
1
.
2
Y sin x sh x= β β
( )
4
1
. .
4
Y ch x sin x sh x cos x= β β − β β
(7.27)
Các hàm này có tính chất:
( )
4

Y
d x
= −
β
(7.28a)
( )
1
0 1Y =
;
( ) ( ) ( )
2 3 4
0 0 0 0;Y Y Y= = =
(7.28b)
nên từ (7.26):
125
( )
* * * *
4 1 2 3
.4 . . .
dw
A Y B Y C Y D Y
d x
= − + + +
β
(7.29a)
( )
2
* * * *
3 4 1 2
2

d x
=
β

( )
( )
3
*
3
0d w
D
d x
=
β
(7.30)
7.1.4. Tính vỏ trụ tròn ngắn - Phương pháp thông số ban đầu
Xét vỏ trụ tròn chịu tải trọng
p
+
, hình 7-6,
nghiệm của (7.25) là tổng nghiệm của phương trình vi
phân thuần nhất và nghiệm riêng của phương trình vi
phân không thuần nhất có dạng (7.31):
( )
* * * *
1 2 3 4
4
. . . .
4
p

2 3 4 1
3
4 . 4 . 4 . .
x
dM d w
Q x K K A Y B Y C Y D Y
dx dx
β = = = β − − − +
(7.31a
÷
d)
Trong (7.31a) đã giả thiết
( )
p x const
+
=
và
4
β
xác định theo (7.7a), nên:
2
4
2
4
p p p r
E
K E
K
Kr
+ + +

.Q K w=
trong đó
0
M
,
0
Q
xác định từ (7.19) và (7.20). Thay các thông số ban đầu vào (7.31) và
với giá trị các hàm
1
Y
,
2
Y
,
3
Y
,
4
Y
tại
0x =
, nhận được các hằng số tích phân:

*
0
4
4
p
w A

B w=
β
( )
2 * 0
0
1
t
M K C t
+µ α 
= β − ∆
 
δ
 
rút ra:
( )
* 0
0
2
1
1
t
K
C M t
K
+µ α 
= + ∆
 ÷
β δ
 
3 *

β = + + + ∆ + + −
 
β β δ β δ
 

127
( )
( )
' ' 0
0 4 0 1 0 2 0 3 4
2 3
1
1 1
4
t
K
p
w x w Y w Y M t Y Q Y Y
K K K
+
+µ α 
β = − β + + + ∆ + +
 
β δ β β
 
( )
( )
( )
0
2 ' 0

β = − β − β − β + ∆ + +
 
δ β
 
(7.33a
÷
d)
Phương trình (7.33) biểu diễn phương trình chuyển vị
và nội lực theo phương pháp thông số ban đầu nên có thể áp
dụng tính cho vỏ có điều kiện biên bất kỳ. Dưới đây áp
dụng (7.33) tính cho vỏ trụ tròn ngắn trong các trường hợp:
1. Trường hợp 1: Xét vỏ có 02 đầu liên kết ngàm chịu tải
trọng pháp tuyến
p
+
phân bố đều theo chiều dài vỏ, hình 7-7.
Biên trái là ngàm nên:
( )
0 0w =

( )
'
0 0w =
(1)
Thông số ban đầu
0
M
,
0
Q

β = + ∆ β + β + − β
 
β δ β δ
 

( )
( )
( ) ( ) ( )
' 0
0 2 0 3 4
2 3
1
1 1
t
K
p
w x M t Y x Q Y x Y x
K K K
+
+µ α 
β = + ∆ β + β + β
 
β δ β β
 
Sử dụng điều kiện biên (2) tại
x l=
:
128
Hình 7-7.
( )

M t Y l Q Y l Y l
K K K
+
+µ α 
+ ∆ β + β = − β
 
β δ β β
 
Sau khi biến đổi và chú ý đến (7.32):
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
4 3 1
0
0
2 2 2
3 2 4
4 1
1
4 4
t
M
Y l Y l Y l
K
p p
M t Y l
Y l Y l Y l

0
Q
vào (7.33) nhận được phương trình chuyển vị
và nội lực theo chiều dài vỏ, ví dụ với mô men uốn và lực cắt:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 4 2
1 3
2 2
3
.
4 4
M
x M
Y l Y l Y l Y x
p p p
M x Y l Y x Y x
Y l
+ + +
 
β β β β
β = β β − + + β
 ÷
β β β β β β
 
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )

4lβ ≥
thì giá trị mô men uốn tại ngàm không thay đổi và giá trị
( )
2
M
Y lβ =
, nghĩa là nếu
4
l ≥
β
thì mô men uốn tại ngàm không phụ thuộc chiều dài vỏ
và có giá trị:
,
2
2
x max
p
M
+
=
β
(5)
129
Từ (7.34a), mô men uốn
( )
M x
tăng từ vị trí ngàm với
( ) ( )
2
0

2 2.1, 28
x max
p p r
M p r
+ +
+
δ
= = = δ
β
, ứng suất tương ứng:
,max
2
6
1,84
x
M
p r
+
σ = =
δ δ
.
Ứng suất lớn nhất trong vỏ ở vị trí ngàm và giảm dần theo khoảng cách từ vị trí
liên kết ngàm, với khoảng cách:
2
1,56x r≥ = δ
β
ứng suất do uốn không đáng kể, có
thể tính như trạng thái màng.
2. Trường hợp 2: Xét vỏ trụ tròn, hai đầu tựa khớp
chịu tải trọng phân bố trên một đơn vị chiều dài theo chu

' '
0 1 0 3 3
2 2
1 1
| / 2 |
I II
w x w Y x Q Y x FY x l
K K
β = β + β − β −β
β β
(7)
130
Hình 7-8.
( ) ( ) ( ) ( )
'
0 4 0 2 2
1 1
4 | / 2 |
x I II
M x K w Y x Q Y x FY x lβ = − β β + β − β −β
β β
(8)
( ) ( ) ( ) ( )
2 '
0 3 0 1 1
4 | / 2 |
x I II
Q x K w Y x Q Y x FY x lβ = − β β + β − β −β
(9)
Trong các công thức trên, ký hiệu

x l=
:
( )
0w l =
và
( )
0M l =
. Từ phương trình (7) và (9):
( ) ( ) ( )
'
0 2 0 4 4
3 3
1 1 1
/ 2w Y l Q Y l FY l
K K
β + β = β
β β β
( ) ( ) ( )
'
0 4 0 2 2
1 1
4 / 2K w Y l Q Y l FY l− β β + β = β
β β

rút ra:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
4 2 4 2
'
0

.
Mô men uốn có giá trị lớn nhất tại vị trí vành tăng cường,
2
l
x =
:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
4 4 2 2 2 4
2 2
4 2
8 / 2 / 2 / 2 4 / 2
/ 2
4
x F
Y l Y l Y l Y l Y l Y l
F F
M l Y
Y l Y l
β β β + β β − β
= =
β β + β β

131
Hàm
F
Y

, chiều dày vỏ
10mm
δ =
thì giới hạn giữa vỏ dài và vỏ ngắn là
3 300l r mm= δ =
. Như vậy, vỏ thường gặp trong
thực tế có thể xét như vỏ trụ dài.
Khi tính vỏ trụ dài cũng xuất phát từ phương trình (7.25) với nghiệm tổng
quát của phương trình vi phân thuần nhất có dạng:
( ) ( ) ( )
1 2 3 4
x x
w x e C sin x C cos x e C sin x C cos x
−β β
β = β + β + β + β
Ở khoảng cách lớn, chuyển vị
w
và góc xoay
'
w
tắt dần, bằng không nên hằng số
tích phân
3
C
,
4
C
bằng không. Do đó, nghiệm
w
có dạng:

với
p
+
xác định theo (7.23).
Giả sử tải trọng
p
+
là hằng số hoặc là hàm bậc nhất theo
x
, từ (7.36):
( ) ( )
2
1 2 1 2
x
dw dp r
e C C cos x C C sin x
dx dx E
+
−β
= β − β − + β + 
 
δ
(7.37a)
( )
2
2
2 1
2
2
x

1
t
d w
t
M K
dx
 
∆
= − + µ α
 
δ
 
(7.38a)
( ) ( )
( )
0
3
0
3
0 1
t
d t
d w
Q K
dx dx
 
∆
+µ α
 
= −

2 2 2
t
d t
Q M
C t
K K dx
 
∆
+ µ α
 
= + + ∆ −
β β β δ β
 
 
(7.39b)
thay (7.39) vào (7.36):
( ) ( )
( )
0
0
2 2
1
2 2
t
x
t
M
w x e cos x sin x
K
−β

+ β − +
β β δ δ
 
 
(7.40)
Ký hiệu:
( ) ( )
x
x e cos x sin x
−β
ϕ β = β + β

( ) ( )
x
x e cos x sin x
−β
ψ β = β − β
(7.41a,b)
( )
x
x e cos x
−β
ϑ β = β

( )
x
x e sin x
−β
ξ β = β
(7.41c,d)

( )
( )
( )
0
0
2
1
1
2
t
K
w x M t x
K
+µ α 
β = + ∆ ψ β +
 
β δ
 

( )
( )
( )
0
2
0
3
1
1
2
t

K K E dx
+
+µ α 
β = − + ∆ ϑ β − ϕ β +
 
β δ β δ
 
( ) ( )
( )
( ) ( )
0
0
0
1
1
t
x
K
Q
M x M x t x x
+ µ α
β = ϕ β + ∆ ϕ β − + ξ β 
 
δ β

( ) ( )
( )
( )
0
0 0

 
δ β
 
(7.43)
theo (7.24), mô men uốn theo phương vòng:
( ) ( )
0
"
1
t
t
M x K w
ϕ
 
∆
β = µ − +µ α
 
δ
 
(7.44)
Thay
w
từ phương trình (7.42a) vào (7.13), lực màng theo phương vòng:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0

 
 
 
+ − δα +µ
trong đó
p
+
xác định theo (7.23). (7.45)
Dưới đây sử dụng (7.42)
÷
(7.45) xét cho 02 trường hợp:
1. Trường hợp 1: Vỏ trụ tròn dài, ngàm tại đầu trái, chịu tải trọng
p
+
không đổi theo
chiều dài, hình 7-9. Tại
0x
=
vỏ liên kết ngàm nên
( ) ( )
'
0 0 0w w= =
, còn 02 thông số
ban đầu chưa biết là mô men uốn
0
M
và lực cắt
0
Q
.

+
+µ α 
+ ∆ + + =
 
β δ β δ
 
( )
0
0
0
2
1
1
0
2
t
K
Q
M t
K K
+µ α 
− + ∆ − =
 
β δ β
 
Giải hệ phương trình, chú ý đến (7.32):
135
0
p
Q

( ) ( )
2
'
p r
w x x
E
+
β = βξ β
δ
(7.47b)
( ) ( )
( )
0
2
1
2
t
x
K
p
M x x t
+
+µ α
β = ψ β − ∆
β δ
(7.47c)
( ) ( )
x
p
Q x x

 
(7.47f)
p
+
xác định theo (7.23).
Các biểu thức (3), (4) của vỏ ngắn (mục 7.1.4) khi
3lβ ≥
với
( )
2
M
Y lβ =
và
( )
4
T
Y lβ = −
thì có dạng như vỏ
dài theo (7.47).
2. Trường hợp 2: Xét vỏ trụ tròn dài chịu tải trọng
phân bố
F
theo chu vi vỏ như đã xét đối với vỏ ngắn,
hình 7-10. Gốc tọa độ tại vị trí tải trọng tác dụng.
Để xác định chuyển vị và nội lực của vỏ sẽ sử dụng
(7.42) và cần xác định 02 thông số ban đầu là
0
M
và
0

1
0
2
Q
M
K K
− − =
β β
, thay
0
2
F
Q = −
vào phương trình trên và sau khi biến đổi:
0
4
F
M =
β
. Thay các thông số ban đầu là
0
M
và
0
Q
vào (7.42), (7.44) và (7.45) nhận
được:
( ) ( ) ( )
( )
( )

M x x x xβ = ϕ β − ξ β = ξ β
β β
(7.48c)
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2
x
F F
Q x x x xβ = − ψ β +ξ β = − ϑ β
(7.48d)
( ) ( )
x
M x M x
ϕ
β = µ β
(7.48e)
( ) ( ) ( )
( )
( )
1 1
2
2 2
N x Fr x x Fr x
ϕ
β = β ψ β − ϑ β = − βϕ β
(7.48f)
Hiệu ứng uốn có đặc trưng cục bộ, tắt nhanh. Khi
2xβ ≥
hay

l l
r w∆ =
ở vỏ trái
và và chuyển vị
2 p
r w∆ =
ở vỏ phải.
Gia số chuyển vị giữa 2 vỏ
2 1
r r∆ = ∆ − ∆
là nguyên nhân gây nên biến dạng uốn
cục bộ ở vùng liên kết 2 vỏ. Để xác định chuyển vị và nội lực của vỏ, sử dụng phương
pháp lực với hệ cơ bản và ẩn số
cơ bản trên hình 7-11.
Hệ phương trình chính tắc
theo phương pháp lực có dạng:

11 1 12 2 1
0
p
X Xδ + δ + ∆ =21 1 22 2
0X Xδ + δ =
(7.49)
Khi xác định các hệ số
chính, hệ số phụ (
12 21
δ = δ

w
K
=
β
và
3
1
2
p
p p
w
K
=
β
nên:
11
3 3
1 1

2 2
l l p p
K K
δ = +
β β
Tương tự, với
0 2
1M X= =
:
12 21
2 2

trình xác định được các ẩn số cơ bản
1
X
và
2
X
. Sau đó sử dụng (7.42)
÷
(7.45) sẽ
xác định được chuyển vị và nội lực tại
điểm bất kỳ theo giá trị
xβ
, với vỏ trái
lấy
0 1
Q X=
,
0 2
M X=
, còn với vỏ phải
lấy
0 1
Q X= −
,
0 2
M X=
.
Giá trị mô men
x
M

N =
139
Hình 7-12.
(bảng 6-1) nên
1
1
2 2
pr
p p p
r
+
µ
 
= − = − µ
 ÷
 
. Như vậy, khi vỏ chịu tác dụng của áp lực
pháp tuyến
p
và có kể đến ảnh hưởng của lực dọc (có đáy ở 2 đầu vỏ trụ) thì có thể sử
dụng các công thức tính chuyển vị, nội lực khi chịu áp lực pháp tuyến
p
đã nêu trên,
nhân với hệ số
1
1
2
 
− µ
 ÷

1. Vỏ chịu áp lực pháp tuyến
p
, có kể ảnh hưởng của lực dọc trục
2
x
pr
N =
.
Nghiệm của bài toán này đã xét trong mục 7.2.1.
2. Vỏ chịu mô men uốn lệch tâm phân bố đều theo chu vi vỏ tại vị trí liên kết.
Sử dụng phương pháp lực với hệ cơ bản và các ẩn số cơ bản tương tự như trong
mục 7.2.1, chỉ khác các số hạng tự do.
Khi xác định
1e
∆
và
2e
∆
, mô men lệch tâm chỉ tác dụng
ở vỏ trái, hình 7-13, sử dụng (7.42):
140
Hình 7-13.

1
2
2
e
l l
M
K

x
M
tại
0x =
của vỏ trái và vỏ phải có bước nhảy bằng mô men
lệch tâm
M
, sau đó giảm dần về hai phía.
Ảnh hưởng của độ lệch tâm đến ứng suất uốn lớn hơn trường hợp liên kết 2
vỏ trụ tròn có cùng mặt trung bình.
7.2.3. Liên kết 2 vỏ có cùng mặt trung bình chịu tác dụng của nhiệt độ
Xét hiệu ứng biên khi liên kết 2 vỏ trụ chịu tác dụng của sự thay đổi nhiệt
141
độ với nhiệt độ phía trong vỏ
0
1
t
và phía ngoài vỏ
0
2
t
với
giả thiết nhiệt độ thay đổi tuyến tính theo chiều
dày vỏ và
0 0
1 2
t t>
, hình 7-14. Bài toán được giải
tương tự như trong mục 7.2.1 chỉ khác số hạng
tự do

X
nên mang
dấu âm và do sự thay đổi nhiệt độ nên
p
+
xác định theo công thức (7.23). Do đó:
( ) ( )
0 0
0 0
1
2 2
1 1
0
2 2
t t
t t s t s
l l p p
t t
r t r t
+ µ α ∆ +µ α ∆
∆ = + α − − α =
β δ β δ
(7.53)
Giá trị chuyển vị
2t
∆
được xác định theo (7.42b) với chú ý là nhiệt độ
0
s
t

Q X= −
,
0 2
M X=
.
Giá trị mô men
x
M
tại
0x =
của vỏ trái và vỏ phải bằng nhau, sau đó giảm dần
về hai phía và có giá trị không đổi.
142
Hình 7-14.
Khi 2 vỏ có cùng bán kính, hiệu ứng biên chỉ xuất hiện khi có sự thay đổi nhiệt
độ
0
t∆
ở phía trong và phía ngoài vỏ. Ở cách xa vị trí liên kết, mô men uốn
có giá trị không đổi và không phụ thuộc bán kính và chiều dày vỏ.
- Vỏ trái:
( )
( )
2
0 0
1
1
12 1
l
x l t t

x
M E t
ϕ
α ∆
σ = σ = ± =
δ −µ
m
. Giá trị ứng suất của vỏ trái
và vỏ phải ở cách xa vị trí liên kết, không phụ thuộc bán
kính và chiều dày vỏ.
7.2.4. Vỏ trụ có vành tăng cường
Vỏ trụ có vành tăng cường là kết cấu thường
được sử dụng trong thực tế như khi vỏ chịu tác dụng của
tải trọng cục bộ tại gối tựa hoặc khi vỏ có thể bị mất ổn
định.
Trong mục này sẽ tính hiệu ứng uốn ở vùng có
vành tăng cứng tại vị trí liên kết vỏ trái và vỏ phải
chịu tác dụng của tải trọng
p
+
. Vỏ trái và vỏ phải có bán
kính
r
, chiều dày vỏ trái
l
δ
, chiều dày vỏ phải
p
δ
.