п.
Е.
ДАН
КО}
А.
Г.
ПОПОВ}
Т.
я.
КОЖЕВНИКОВА
Высшая
математика
в
упражнениях
и
задачах
в
двух
частях
Часть
1
б-е
издание
Москва
«
ОНИКС
21
век»
«
Мир
и

упражнениях
и
задачах.
В
2
ч.
Ч.
1:
Учеб.
пособие
для
вузов
/
п.
Е.
Данко,
А.
Г
.
Попов,
Т
.
Я.
Кожевникова
.
-
б-е
изд.
-
М.:

И
Образование
»
)
Содержание
первой
части
охватывает
следующие
разделы
программы:
ана
литическую
геометрию,
основы
линейной алгебры
.
дИфференциаЛЬНQе
исчисле
·
нне
функций
одной
и
нескольких
переменных.
интегральное
исчисление
функ
ций

Попов
Александр
Георгиевич,
Кожевникова
Татьяна
Яковлевна
ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА
В
УПРАЖНЕНИЯХ
И
ЗАДАЧАХ
В
двух
частях
Часть
I
Редактор
А.
М.
Сухадский
УДК
516+517
ББК
22.lя73
Подписано
в
печать
с
готовых

953005 -
учебная
литература
000
"
Издательский
дом
«ОНИКС
21
Be~»
.
Изд.
лиц.
ИД
i{~
02795
от
11.09.2000. 105066.
Л10сква
.
ул
.
Доброслободская.
5а
.
Отдел
реализации:
тел.
(095) 310·75


д.
13.
стр.
1.
ТеЛ/факс
(095) 928·78-26.
E·mail
:
miг-оЬrаzоvаlliе@гаmbIег.гu
ИздаНl1е
осуществлено
при
учаСГИII
000
«Издательство
дет
»
ОЛО
.Санкт-Петербургская
типографИЯ
'
N2
б
•.
191144,
Санкт-Петербург,
ул.
Моисеенко,
10.
Телефои

Попов
А. Г

Кожевникова
Т.
Я

2003
©
000
«ИздательсКl.Й
ДОМ
«
ОНИКС
21
век
.)
.
Оформление
обложки.
2003
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
.
5
г
ЛQ8а
1.
Ана.lнтическая
геометрия

порядка
. . . . . , • . . . . . . . . . . 32
§ 5.
Опреде.лите.ли
второго
и
третьего
порядков
и
системы
линейных
уравнений
с
двумя
и
тремя
неизвестными
• , • • • • . • •
••
39
г
ЛО8а
IJ.
Элементы
векторной
алгебры
§ 1.

§ 1.
Плоскость
и
прямая
••
§ 2.
Поверхности
второго
порядк
а
.
Глава
IV.
Опреде.лители
и
матрн
цы
53
6з
§ 1.
Понятие
об
определителе
n-го
порядка
.
. . . . . . . . . .

70
§ 2.

. . . . . . . . . .

86
§
5.
Исследование
системы
т
линейных
уравнений
с
n
неизвестными
.
88
§
6.
Решение
системы
линейных
уравнений
методом
Гаусса
. .

,
91
§
7.
Применение


.
§ 4.
Линейные
преобразования
. . . . . . . . . . . . . .
§
5.
Евклидово
простр
а
нство
. . . . . . . . . . . . . . .
§ 6.
Ортогональный
базис
и
ортогональные
П;:Jе:Jбразования
§
7.
Квадратичные
формы
• • • . . . . . . . . .
г
лава
V
1.
Введение
в

бесконечно
малых.
.
Непрерывиость
функции
•
••
• I , • • • • •
"
. . .
103
109
111
115
124
128
131
136
137
140
142
147
149
3
Глава
V /1.
Дифференциальное
исчнсление
функций
одной

Вектор-функция
скалярного
аргумента
и
ее
производная
•

185
§ 6.
Сопровождающий
трехгранник
пространственной
кривой.
Кривиз,
на
и
кручение
• . . . . . . . . . . . .

. . . . • • • ,
••
188
Глава
V /11.
Дифференциальное
исчисление
фун.кциЙ
нескOJJЬКИХ
независи-

203
§ 4.
Экстремум
функции
двух
независимых·
переменных
• , ,
••
,.
204
Г
ЛCllJа
1
Х.
Неопределенный
интеграл
§ 1.
Непосредственное
интегрирование.
Замена
переменной
и
интегри.
рование
по
частям
. . . . . . . . . . . . . . . . .
20В
§ 2.

Вычисление
определенного
интеграла.
243
§ 2.
Несобственные
интегралы
. . . . . . 247
§
3.
Вычисление
площади
плоской
фигуры
.
251
§ 4.
Вычисление
длины
дуги
плоской
кривой
254
§
5.
Вычисление
объема
тела.

. . . . . . . 255

работы
и
давления
. . . . . . . . .
262
§
10.
Некоторые
сведения
о
гиперболических
функциях
266
Глава
Х
/.
Элементы
линейного
программирования
§
1.
Линейные
неравенства и
область
решений
системы
линеl\ных
не·
равенств
• . . . . . . . . . . . . . . . . .

авторы
стремились
раскрыть
содержание
основных
по
нятий
И
теорем
курса
на
специально
подобранных
упражнениях
и
задачах
.
В
каждом
параграфе
приводятся
необходимые
теоретические
сведения,
состоящие
из
определений
и
основных
математических

методы
их
решения.
На
все
задачи
для
самостоятельной
работы
даны
от
веты.
В
приложении
приводятся
таблицы,
необходимые
при
реше
нии
некоторых
задач
.
В
книге
используются
следующие
обозначения
:
начало

приемы
и
задачи
из
книг:
Фихтенгольц
Г.
М.
«Курс
дифференциального
и
интегрального
исчисления
»
,
т.
1 - 1 1
1;
Курант
Р. «
Курс
дифференциального
и
интегрального
исчисле
ния»,
т.
1,
11;
Гюнтер

»
;
Фролов
С.
В.,
Шостак
Р.
Я
.
«
Курс
высшей
математики»
.
Авторы
считают
своим
приятным
долгом
выразить
искреннюю
признательность
студентам
и
преподавателям
высших
учебных
заведений,
рецензентам
всех

прямой.
Деление
отрезка
в
данном
отношении.
Точку
М
координатной
оси
Ох,
имеющую
абсциссу
х,
принято
обозначать
через
М
(х)
.
Расстояние
d
между
точками
М
1
(Хl)
и
М
2

точка
С
этой
прямой
делит
отрезок
АВ
в
неке
тором
отношеиии
л,
где
/,=
± \
АС
1:1
СВ
1.
Если
отрезки
АС
Ii
СВ
напраВ.1ены
в
одну
стороиу,
то
л

и
В
и
отрицательно,
если
точка
С
лежит
на
прямой
вие
отрезка
АВ.
_
Если
точки
А
и
В
лежат
на оси
Ох,
то
координата
точки
С
(Х),
делящей
отрезок
между

Построить
на
прямой
точки
А
(3),
В
(-2),
С
(О),
D(V2'),
Е
(-3,5).
2.
Отрезок
АВ
четырьмя
точками
разделен
на
пять
равных
частей.
Определить
координату
ближайшей
к
А
точки
деления,

I+J,
1+1/4
-1,
т.
е.
С
(-1)

3.
Известны
точки
А
(1),
В
(5)-концы
отрезка
АВ;
вне
этого
отрезка
расположена
точка
С,
причем
.
ее
расстояние
от
точки
А

С
(7)

4.
Определить
расстояние
между
точками:
1)
М
(3)
и
N
(-5);
2)
Р
(-11/2)
и
Q
(-5;2).
6
5.
Найти
координаты
середины
отрезка,
если
известны
его
КQНЦЫ:

на
'
три
равные
части.
Определить
координаты
точек
деления,
если
А
(-1),
В
(5).
8.
Даны
точки
А
(-7),
В
(-3).
Вне
отрезка
АВ
расположены
точки
С
и
D,
причем

координаты
х
н
у,
обозначают
М
(х;
у).
Расстояние
d
между
точками
М
1
(Хl;
Уl)
и
М
2
(Xz;
У2)
определяется по
фор
муле
(1)
В
частности,
расстояние
d
точки

yJ
и
В
(Хз;
У2)
в
заданном
отношении
л
(см.
п.
1),
определяются
по
формулам
-
Хi+
Лх
2
-
Yl+"Y2
(3)
x=~; Y=~'
В
частности,
при
л=
1
получаются
формулы

(Уз-Уз)
+Х2
(Уз-Уд
+хз
(Yi-Y2)
1=
1
=2"'
(ХЗ-
Х
l)
(УЗ-Уl)
-
(ХЗ-
Х
l)
(Уз
-Уд
1·
(5)
Формулу
для
площади
треугольника
можно
записать
в
виде
1
s=2"

(4; 3),
В
(-2;5),
С
(5;
-2),
D
(-4;
-3),
Е
(-6;
О),
F
(О;
4).
10.
Определить
расстояние
между
точками
А
(3; 8)
и
В
(-5;
14).
6.
Воспользовавшись
формулой
(1),

АВ
1=
У(-1
+3)2+(3+3}2=
У
40,
I
ВС
/=
У(11
+
1)2+(-1_3)2=
У160.
/
АС
I =
У
(11
+3)2+
(-1
+3)2=
У200.
Так
как
IAB1
2
=40,
tBc12=160,
/ACI
2

.

12.
Известны
точки
А
(-2;
5),
В
(4;
17)
-
концы
отрезка
АВ.
На
этом
отрезке
находится
точка
С,
расстояние
которой
от
А
в
два
раза
больше
расстояния

т.
е.
С(2;
13)

13.
Точка
С
(2;
3)
служит
серединой
отрезка
АВ.
Определить
координаты
точки
А,
если
В
(7;
5).
6.
Здесь
х=2,
у=3,
Х2=7, У2=5,
откуда
2=(Xl+7)/2,
3=(Yl+5)/2.

Определить
координаты
точки
пересец:~ния
медиан
треу
гольника.
6.
Находим
координаТbI
точки
D-сереДИНbI
отрезка
АВ;
имеем
XD=(Xl+X2)/2,
YD=(Yl+Y2)/2.
Точка
М,
в
которой
пересекаются
медианы,
делиг
отрезок
CD
в
отнс.шенин
2:
!,

уз+
2
(Уl+У2)/2
Х
3 '
у=
3 •
Окончательно
получаем
-
Xl
+Х2+
Хз
-
Yl+Y2+
УЗ

Х
3 '
у=
з
. -
15.
Определить
площадь
треугольника
с
вершинами
А
(-2;

3)
и
В
(-10;
-2);
2)
C(V2;
-V7)
и
D(2V2;
О).
8
17.
Покаэать,
что
треугольник
с
вершинами
А
(4; 3),
В
(7;
6)
и
С
(2;
11)-прямоугольныЙ.
18.
Показать,
что

длину
медианы,
проведенной
из
вершины
А.
20.
Даны
концы
отрезка
АВ:
А
(-3;
7)
и
В
(5;
11).
Этот
отре:юк
rремя
точками
разделен
на
четыре
равные
части.
Определить
ко
ординаты

четвертой
вершины.
23'.
Даны
две
вершины
треугольника
А
(3;
8)
и
В
(10;
2)
и точка
пересечения
медиан
М
(1;
1).
Найти
координаты
третьей
вершины
треугольника.
24.
Даны
вершины
треугольника:
А

являются
серединами
сторон
треугольника.
Вычислить
п,тющадь
треуго.l'JЬника.
3.
Поnярные
координаты.
В
полярной
системе
координат
положение
точки
М
на
плоскости
определяется
ее
расстоянием
10М
I=p
от
полюса
О
(p-ntJлярныl1
радUУС-8еICnWР
точки)

имеет
полярные
координаты
р
>
о и
о ;
е
<
2л,
то
ей
же
отвечает
и
бесчисленное
множество
пар
полярных
координат
(р;
(}+2kл),
где
kEZ.
'
Если
начало
декартовой
прямоугольной
системы

x=pcosB.
y=psln6;
р=
у
х
2
+у2,
tg
в=у/х.
(1
)
(2)
26.
Построить
точки,
заданные
полярными
координатами:
А
(4;
л/4)
,
В
(2;
4л/3)
,
С
(3;
-л/б),
D

6.
На
основании
равенств
(2)
находим
р=
VI
2
+(_Y
з)2=2;
tg
о=-У3.
Очевидно,
что
точка
М
лежит
в
IV
четверти
и,
следовательно,
()
=
5л/3.
Итак,
М
(2;
5л/3)

= 2
у"2
cos
(331/4)
= - 2,
У
=
=
2У2
sln
(331/4)
=2.
'Итак,
А
(-2;
2)

29.
Найти
полярные
координаты
точек:
А
(2VЗ;
2),
В
(О;
-3),
С(-4;
4), D(V2,

точками
М
1
(Р1;
(1)
и
М
2
(Р2;
(2)'
•
Применить
к
треугольнику
OM
1
M
2
теорему
косинусов.
32.
Определить
расстояние
между
точками
М
(3;
л/4)
и
N

координаты
точек,
симметричных
точкам
(3;
л/б),
(5;
2л/3)
и
(2;
-л/б):
1)
относительно
полюса;
2)
относи
тельно
полярной
оси.
36.
Найти
полярные
координаты
точки,
симметричной
точке
М
(р;
8)
относительно

(<<текущей
точки»),
лежащей
на этой
линии.
Такое
уравне
ние
называется
уравнение"l
данной
линии.
Ес.~и
в
уравнение
данной
линии
подставить
координаты
любой
точки,
лежа
щей
на
·
этрй
линии,
то
уравнение
обращается

по оси
ординат.
Найти
уравнение
линии,
описываемой
серединой
этого
отреЗI<а,
если
длина
отрезка
равна
с.
6.
Пусть
м
(х;
у)-середина
отрезка.
Длина
отрезка
ом
(длина
медианы)
равна
половине
гипотенузы,
т.
е.

2
/4.
Это
и есть
уравнение
искомой
линии.
Геометрически
очевидно,
что
этоl\линией
является
ькружность
радиуса
с/2
с
центром
1\
начале
координат.
А
38.
Составить
уравнение
линии,
расстояние
каждой
точки
кото
рой

опреде.lllТСЯ
по
формуле
расстояни)!
между
двумя
точками:
10
Расстояние
точки
М
от
прямой
у=-1/4
найдется
из
простых
геометриче.
ских
соображений
(рис.
1):
1
IMNI=I
MKI+IKNI=Y+T
Так
как
по
условию
равенство

•
Линия,
определ
-
яемая
уравнением
у=х
2
,
называется
параболой
.

39.
Составить
уравнение
множества
точек,
произведение
расстоя
ний
которых
от
точек
F 1
(а;
О)
и
Р
2

'1
=
У
(х-=-а)2+
у
2,
'2=
у
(х+а)2+у2.
Из
условия
задачи
следует,
что
'1'а=а
2
.
Та·
ким
образом,
искомая
кривая
имеет
уравнение
- !I
У(х_а)2+у2.
У(х+а)2+
у
2=а
2

(х
2
_
у
2).
Найденная
кривая
назьmается
Ае.А4ltискатоЙ
•

Рис.
1
40.
Составить
уравнение
лемнискаты
в
полярных
координатах
и
построить
кривую.
6.
В
уравнении
(х
2
+у2)2=2а
2

sln
2
8)2
=
2а
2
(р2
cos
2
6-
р'
sin
2
6),
или
р2
=
2а
2
cos
26.
Это-уравнение
лемиискаты
в
поляриых
координатах.
Построим
кривую.
Разрешив
уравнение

6
на
- 6,
заключаем,
ЧТО
лемниската
рас
положена
симметрично
относительно
осей
Ох
и
Оу.
Исследуем
форму
лемнискаты
для
1
четверти,
т.
е.
для
случая
р
~
О,
О
~
6 <

за-
ключена
между
полярной осью
н
лучом
6='1t/4.
Если
6=0,
то
р=а
У"2.
с
ВОЗ-
растаннем
6
от О
до
п/4
величина
р
убывает
до
значения
р
=
о.
,
Приняв
во

f:
Пусть
точка
М
принадлежит
·
искомому
множеству;
тогда
1
МА
1 = 1
МВ
1.
По
формуле
ра
с
стояиия
между
двумя
точками находим
.
1
МА
1=
y(x-l)2+(y-
1)2, 1
МВ
1=

_2х+
1
+у2_2у+
1
=х2-6х+9+и2-6у+9,
откуда
после
приведеиия
·
подобных
членов
окоичательно
приходим
к
'уравнению
х+
у-4
=
О.
Итак,
искомым
множеством
является
прямая,
которая,
как
известно,
служит
серединным
перпендикуляром

момент
.
вращающиЙся
луч
совпадает
с
полярной
осью,
а
точка
М
-
(;
полюсом;
при
повороте
же
луча
на
угол
е
= 1
(один
радиан)
точка
М
удалилась
от
полюса
на

p/6=const
.
Но.
р=а
при
6=1;
следо-
·
.вательно,
p/
6=a
/
J,
Т
.
е.
р=а6.
Кривая
р=а6
называется
спиралью
Архимеда.
А.
"
43.
Окружность
'
диаметра
а катится
без

1
-первоначально.е
по.ло.жение
центра
катящеllся
окружноети;
А
-первоначальное
положение
точки,
описывающей
искомую
линию
(точка
А
диаметрально
противоположна
точке
В,
где
в
начальныА
момент
соприкасаются
окружноеТ

Н)
;
С
2

12
Jlожение
Q.
Точка
В
займет
положение
D,
причем,
поскольку
качеаие
происхо·
"'-"""
'-'

/

дит
без
скольжения,
BQ
=DQ,
QC
2
B
=QСзD.)
На
чертеже
показано
положение

силу
чего
четырехугольник
ОС
2
С
э
М
является
равнобедренной
трапецией
с
меньшим
основанием
I
С
2
С
з
l
=а;
CzC;
и
СзС~-перп~ндикуляры,
опущенные
из
точек
С
2
и

называется
кардиоидой.
Поскольку
при
замене
е
на
-
е
уравнение
кардиоиды
не меняется,
кардиоида
расположена
симметрично
относительно
полярной
оси.
Если
е
изменяется
от
О
до
n,
то
р
убывает
от 2а
до

х
= -
у?
47.
Составить уравнение
множества
точек,
сумма
квадратов
рас
стояний
которых
от
точек
А(2;
О)
и
В
(О;
2)
равна
квадрату
рас-
стояния
между
точками
А
и В.
'
48.

полюсе.
,50.
В
полярной
системе
координат
составить
уравнение
полу
прямой,
проходящей
через
полюс
и
образующей
с
полярной
осью
угол
а.
51.
В
полярной
системе
координат
составить
уравнение
окруж
ности
диаметра

ной
точки
этого
множества
через
некоторую
вспомогательную
величину
t
(ее
на
вывают
napй.AleтpOM)
,
т. е.
рассматривать
систему
уравнений
х
=
rp
(t),
У
=
Ф
(t).
Такое
представление
,
искомой

обычному
уравнению
линии
вида
f
(х,
у)
=0.
52.
Составить
параметрические
уравнения
окружности.
6.
Рассмотрим
окружность
радиуса
а
с
центром
в
начале
координат
(рис.
4).
Воэьмем
на
ней
произвольную
точку

у=а
sln t
являются
параметрическими
уравнениями
окружности
.
ИСКЛlPчив
.из
этих
уравнений
параметр
t,
получим
обычное
уравнение
окруж,
ности,
В
'
данном
,
случае
для
исключения
параметр-а
достаточно
каждое
из
ураа·

2
.
Последнее
уравнение
является
уравнением
окруж
ности
радиуса
а
с
центром
в
нача.~е
координат
.•
53.
Составить
параметрич~кие
уравнения
кривой,
описанной
фиксированной
точкой
окружности,
ка
т
ящейся
без
скольжения

точке
О
оси
.
За
фиксированную
точку
окружности
(перемеще
ние:vt
которой
образуется
искомая
кривая)
примем
ту
ее
точку,
которая
совпадает
с
точкой
О
при
с.о.ответствующем
положении
окружности.
За
паР8метр
t

окружности
займет
положение
М
(х;
у),
соответствующее
/'-
углу
t
пов
о
рота
радиуса
СМ
('
=
АСМ).
Так
как
качение происходит
без
CKOJ/b-
жения,
то
1
ОА
1 =
1\.1:4
=

РС
I=a-acos
t=a
(l-cos
t).
Таким
образом,
параметрические
уравнения
искомой
линии имеют
вид
х=а
(t-sJл
t),
y=a(l-cost).
Эта
линия
называется
Ц/lклоидой;
она
изображена
на
рис.
5
.•
54.
Какая
линия
определяется

параметрические
уравне
ния
определяют
ЛУЧ-биссектрису
1
координатиого
угла
.•
55.
Какая
линия
определяется
параметрическими
уравнениями
Х
= cos
t.,
У
= cos
2
t?
6.
Подстаl!ИВ
х
вместо
cos t
во
второе
уравнение,

линия
определяется
уравнениями
х
=
sin
t,
!J=cos~
t?
6.
Так
как
у=
l/sin
1,
то,
исключив
(,
получаем
уравнение
у=
I/x,
выра
жающее
обратиую
пропорциональную
зависимость
.
величин
х

6

57.
Какая
линия
определяется
уравнениями
x=2t,
y=4t?
58.
Кривая
задана
параметрическими
уравнениями
х
=
а
cos
t,
У
=
ь
sin t.
Найти
ее
уравнение
в
прямоугольной
СlIстеме
координат

ее
уравнение
в
прямоугольной
системе
координат.
60.
Какая
линия
определяется
уравнениями
х
=
cos
2
t,
У
= sin
2
t?
61.
Кривая,
определяемая
параметрическими
уравнениями
х
=
а
cos
3

по
часовой
стрелке
нить;
пусть
конец
нити
находится
в
точке
А
(а;
О).
Станем
развертывать
нить
(против
часовой
стрелки),
сматывая
ее
с
I<pyra
11
все
время
натягивая
за
конец.
Составить

натянутой
нитью
в
произвольном
положении
последней.
§
2.
ПРЯМАЯ
1.
Общее
уравнение
прямоА.
Всякое
урав~ение
первой
степени
относительно
х
и
у,
т. е.
уравнение
Вllда
(1)
(где
А,
8
и
С-постоянные

А
:j:
О;
В
:j:
О.
Прямая,
определяемая
урав,
неНllе~1
Ах+Ву=О,
проходит
через
начало
Jюординат.
2.
А=О;
8:f.
О;
C:j:
О.
Прямая,
опреде.'Iяемая
уравнением
Ву+С=О
(и.1И
у=Ь.
где
Ь= С/8).
парал.~ельна

поскольку
А
:;i::
О),
совпадает
с
осью
Оу.
5.
А
=С=О;
8:;i::
О.
Прямая,
опреде.'1яемая
уравнением
Ву=О
(или
у=О.
ПОСКОJlЬКУ
8
:;i::
О),
совпадает
с
осью
Ох.
2.
Уравнение
прямоА

с
угловЫАt
коэф
фUЦllеНnWАt,
поскольку
k, , tg
а.
где
а-угол,
образованный
прямой
с
ПО.'lожи
тельным
направлением
оси
Ох.
Свободный
член
уравнения
Ь
равен
ординате
точки
перес~чеНflЯ
прямой
с
осью
Оу.
15

а=-С/А,
Ь=-С/В)
.
Ero
называют
уравнением
прямой
в
отрезках;
в
нем
а
,шляется
абсциссой
точки
пересечения
прямой
с
осью
Ох,
а
Ь-ординатой
точки
пересечения
прямой
с
осью
Оу.
Поэтому
а и

множиmеАеМ)
,
причем
знак
перед
радикалом
выбрать
так,
чтобы
вы
полнялось
УCJJовие
f.tC
<
О,
то
получится уравнение
xcos
«p+ysin
«p-р=О.
(4)
Это
уравнение
называется
нормальным
уравнением
прямой.
Здесь
р-
длина

-3
и
образующей
с
положительным
направлением
оси
абсцисс
угол
а
=
'Л/б.
Л
Находим
угловой
коэффициент:
k=
tg
(л/6)
=
\/уз.
Воспользовавшись
уравнением
(2)
прямо~
с
угловым
коэффициентом,
получаем
у=

а
= 2/5,
Ь
= -1!1
о.
~
Воспользовавшись
уравнением
(3)
прямой
в
отрезках,
имеем
х
+
у
2/5
(_1/10)=1.
Это
уравнение
можно
переписать
в
виде
(5/2)x-IОу=l,
или
5х-20у-2==О
(общее
уравненне
прямой)

уравнение
прямой
с
угло
вым
коэффициентом:
у=(l2/5)
x-13.
Здесь
k=
12/5,
b=-13.
2)
Перенесем
свободный
член
общего
уравнения
в
правую
часть
и
разделим
обе
части
на
65;
имеем
(12/65)
х-

2
+(-5)2='1/13.
Умножив'
обе
части
общего
уравнения
на этот
мцожитель,
получаем
нормальное
уравнение
прямой
(12/13)
х-(5/13)
у-5=О.
Здесь
cos
ер
= 12/13,
вщ
«р
=

5/13,
р=
5

16
66.

Полагая
у
=
о,
получаем
х
=
-5,
т.
е.
прямая
пересекается
с
осью
абсцисс
в
точке
А
(-5;
о)
.
Остается
провести
прямую
через
точки
А
и
В
(рис.

о
гда
6+3у=О,
т.
е.
у=-2;
получим
точку
М
(3;
-2).
Остается
через
начало
координат
н
точку
М
провестн
прямую.
_
3)
Разрешив
уравнение
прямой
относительно
х,
получим
х=2
/

Уравнение
прямой
задано
в
виде
Рис.
1
(х+
2 V'S)/4 +
(у-2
V-5)/2
=
О.
Написать:
1)
общее
уравнение
этой
прямой;
2)
уравнение
с
угловым
коэqфи
циентом;
3)
уравнение
в
отрезках;
4)

20х
+-
2ly
=
О
записать
в
отрез
ках?
71.
Построить
прямые:
1)
4х-5у+15=0;
2)
2х-у=0;
3)
7х
-
10
=0;
4)
2у+3
=
О.
72.
Составить
уравнение
прямой,
отсекающей

треугольника,
образованного
прямой
с
осями
координат,
равна
8
кв.
ед.
74.
Составить
уравнение
прямой,
проходящей
через
начало
коор
динат
и
точку
А
(-2;
-3).
75.
Составить уравнение
прямой,
проходящей
через
точку

на
осях
координат
равные
отрезки,
если
длина
отрезка
прямой,
заключенного
между
осями
координат,
равна
5
V2'.
5.
Угол
между
прямымн.
Уравненне
JlI7RМОЙ,
проходящеА
через
две
точки
.
Острый
угол
/rU!жду

аид
ki.=-I/kf.'
11
Уравненце
nРЯАtOй,
имеющей
угловой
коэффuциент
k
/l
проходя
щей
череэ
mOllКY
М
(х
1
;
Yl),
записывается
в
виде
Y-Yf=k
(Х-Хl)'
(2)
Уравнение
прямой,
проходя
щей
через

(4)
Х2-
Х
l
Если
Хl
=Х2'
то
уравнение
прямой,
проходящей
через
точки
Mi
и
М
2
,
имеет
вид
Х=Хl
'
Если
Уl
=
У2,
то
урав
'
нение

81/82'
то
координаты
точки
пересечения
прямых
А
1
х+8
1
У+С
1
=0
И
А
2
х+
8
2
у+
С
2
=
о
находятся
п у
тем
СОIJместного
решения
уравнений

А
2
х+8
2
у+С
2
=0
имеют
уравнения
A
1
x+8
t
y+
С!
±
А
2
х+8
2
у+
С
2
О.
VAi+8:
VA~+8~
(2)
Если
пересекающиеся
прямые

ния,
будем
получать
раЗЛИЧljые
прямые,
принад.~ежащие
ПУЧКУ
nРЯАIЫХ,
центр
которого
есть
точка
пересечения
'Заданных
прямых.
78.
Определить
острый
угол
между
прямыми
у
=
-3х+
7
и
у=2х+
1.
6.
Полагая

параллельны.
(\.
Приведя
уравнение
каждой
прямой
к
виду
с
угловым
коэффициентом,
получаем
у=(2
/
3)х+7/6
и
у=(2
/
3)х-11/30.
Угловьiе
коэффициенты
этих
прямых
равны:
ki
= k
2
= 2/3,
т.
е.

Здесь
ki=3/5,
k
z
=-5/3.
Так
как
ki.=-I/k
2
,
то
прямые
перпендикулярны

81.
Составить
уравнение
прямой,
проходящей
через
точки
М
(-1;
3)
и
N (2; 5).
~
Полагая
Xl
=

проверить,
что
уравнение
составлеио
верно.
Для
этого
достаточно
показать,
что
координаты
точек
М
и
N
удовлетворяют
уравнению
прямой. Дей
ствительно,
равенства
2(-1)-3.3+11=0,
2.2-3.5+11=0
выполняются
тож
дественно.
А
82.
Составить
уравнение
прямой,

пе
ресекаются,
и
найти
координаты
точки
пересечения.
~
Так
как
3/2
t=
(-2)/5,
то
прямые
пересекаются.
Решив
систему
уравнений
{
3х-2у+l
=0,
2х+5у-12=О,
находим
х'=
1,
у=
2,
т. е.
прямые

определению
расстояния
между
точками
М
(Хо:
Уо)
и
N,
Где
N
-основание
перпендикуляра,
опущенного
из
точки
М
на
данную
-
пря
мую. Составим
уравнение
прямой
MN.
Так
как
углов:>А
коэффициент
заданной

определения
координат
точки
N
решим
систему
уравнений
Ах+Ву+С=О,
(х-хо)/А=(у-уо)/В.
Введем
вс~омогательную
неизвестиую
t:
(х-хо}/А
=
(у-уо)/В
=
е.
Тогда
x=xo+At,
у=уо+ве.
Подставив
эти
выражения
в
уравнение
данной
пря
мой,
получим

и
N:
d=
у
(х-хо)2+(у_уо)2=
= '
/(
А
Ахо+Вуо+С
)2+(8
Ахо+Вуо+С)2
= I
Ахо+8Уо+СI

v
А2+8
2
А2+В2
У
А2+В3
85.
Определить
расстояние
от
точки
М
(1;
2)
до
прямой

(3; 2),
С
(1;
-1),
D
(О;
-2).
Е
(4; 3). F (5;
2)
лежат
на
этой
прямой?
6.
Если
точка
лежит
на
прямой,
то
ее
координаты
должны
У.1рвлетворять
уравнению
прямой.
Имеем:
АЕ!,
так

так
как
4·5-3·2-7
т=
О

87.
Составить
уравнение
прямой.
проходящей
через
точку
М
(-2;
-5)
и
параллельной
прямой
3х+
4у+
2 =
О.
6.
Разрешив
последнее
уравнение
относительно'
у,
получим

В
(-2;
-8)
и
С
(-6
;-2).
Составить
уравнения
медиан
треугольника.
6.
Находим
координаты
середин
сторон
ВС,
АС
и
АВ:
х'=(-2-б)/2=-4,
у'.=(-8-2)/2=-5;
A
l
(-4;
-5);
х"=(2-6)/2=-2,
у"=(2-2)/2=О;
81
(~2;

т.
е.
7х-6у-2=0.
Находим
уравнение
медианы
В8
1
;
поскольку
точки
В
(-2;
-8)
и
81
(-2;
О)
имеют
одинаковые
абсциссы,
медиана
ВВ
1
параллельна
оси
ординат.
Ее
уравне
нне

6
По
формуле
(4)
п.
5
найдем
угловой
коэффициент
cTopoHы
А8;
имеем
k=(5-1)
/
(6-0)=4/б=2
/
3
.
В
силу
условия
перпендикулярности
угловоА
коэф
фициент
высоты,
проведенной
из
вершины
С,

.6,
Определим
координаты
точки
8.
Решая
систему
ура,!неН;l,iЙ
х+Зу-7
=
О
и
4х-у-2=0,
получим
x=l,
у=2"
т.
е.
8(1;
2).
Находим
длину
высоты
88i
как
расстояние
от
точки
8
до

от
произвольной
точки
одной
прямой
до
другой
прямой.
Полагая,
например,
в
уравнении
первой
прямой
х=о,
получае1>l
y=3YIO.
Таким
образом,
М(О;
3УIО)-точка,
лежащая
на
первой
прямой.
Определим
расстояние
точки
М
до

задачу
в
общем
виде.
Биссектрисы
углов,
образован
ных
двумя
прямыми,
являются,
как
известно,
множеством
точек,
равноудаленных
от
этих
прямых.
Если
уравнения
заданных
ПРЯ1>lЫХ
А
1
х+8
1
У+С
1
=0

фоРМУJIУ
для
определения
расстояния
от
точки
до
прямой):
__

I A
1
x+8
1
y+C
1
1
VAt+8i
I A
2
x+8
2
y+C
z
l
V
A;+B~
Поскодьку
М
(х;

для
одной
из
биссектрис
уравне
ние
A1x+B1y+Ci
VAi+B;
а
для
другой-уравнение
А
1
х+8
1
у+С!
VAi+Bl
А
2
Х+В
2
У+С
а
VA~+8~
I
А
2
х+8
2
У+С

задачу.
Заменив
Ai, 8}, Ci,
А
и
С
2
их
значениями
из
уравнений
заданных
прямых,
получим
х+у-:-5
±
7x-y-19
.
О,
т.
е.
5(х+у-5)
±
(7х-у-19)
=0.
Уl+1
У49+1
21
Уравнение
одной

; 1),
В
(10; 13),
С
(13; 6).
Составить
уравнение
биссектрисы
угла
А.
'
.6.
В
о
спользуемся
другим
(по
сравнеиию
с
решением
,
предыдущей
задачи)
спо·
собом
составления
уравнения
биссектрисы.
П
у

IABI=Y(IO-I)2+(I3-])2=]5,
I
ACI=Jf(l3-1)2+(6-1)2=13.
Следо·
вательно,
7.=
I
BD
1:
I DC
1=15
/
13.
Так
как
известно
отношение,
в
котором
точка
D
делит
отрезок
ВС,
то
координаты
точки
D
определятся
по

через
точки
А
н
D:
у-I
х-I
259/28-1
325/28-1'
т.
е.
7x-9у+2=О.
А
94.
даны
уравнения
высот
треугольника
АВС:
х+
у-2
=
О,
9х-3у-4=0
и
координаты
вершины
А
(2; 2).
Составить

ВВ!
И
х+у-2=О-уравнение
высоты
CC
l
•
Составим
уравнение
стороны
АС,
рассматривая
ее
как
прямую,
про-
ходs,uцую
через
точку
А
и
перпендикулярную
высоте
у
ВВ
х
.
Так
к
а

точку
и
имеющей
данный
угловой
коэффициент,
получим
уравнение
стороны
АС:
о
Рис.
9
у-2/3
3-2/3
у-2=(-1
/
3)
(х-2),
нли
х+3у-8=О.
Ана.'IОГИЧНО
получаем
kc
cx
=
-1,
kAB
=
1,

,
на
й
дем
к о
ординаты
пер·
шин
треугольника
:
В
(2/3; 2/3)
и
С
(-1;
З).
Остается
составить
ур
а
виение
стороны
ВС:
х-2
/
3
-1-2
/3 '
т.
е.

k.
Угло.
вой
коэффициент
заданной
прямой
равен
-2.
Так
как
угол
между
этими
пря-
22
МЫМII
равен
1tj4,
то
1t
I k+2/ I
k+2
r
tg
T
=
1-
2k
l'
т. е,

(-1/3)
(х-5),
т. е.
х+3у-8=0,
а
уравнение
другой
прямой
в
виде
у-I
=3
(х-5),
т. е.
3х-у
-14=0.
А
96.
Найти'
прямую,
принадлежащую
пучку
2х
+
3у
+ 5 +
л.
(х
+
+

2·\
+3·1
+5+л.
(1
+8.\
+6)
=0,
или
10+
15}
,
=0,
т
.
е
.
л.=-2
/
З
.
Подставив
значение
л
в
уравнение
п
у
чка,
получим
уравнение

принадлежит
пучку
3х-4у+
7
+л
(5х+2у+3)
=0,
т.
е.
(3+5л)
х+
(-
4+
21.)
у+(7
+3л)
=0.
Так
как
искомая
параллельна
оси
ординат,
то
коэффициент
при
у
должен
быть
равен

+ 5 =
О
(АВ),
3х
+
у
+ 1 =
=
о
(ВС)
и
х
+
у
+ 7 =
О
(АС).
Составить
уравнение
высоты
треуголь
ника,
опущенной
на
сторону
АС.
6.
Высота
принадлежит
пучку

угловой
К
ОЭ
ффициеи
т
искомой
высоты
ра
пен
1
и
для
определения
л
получаем
уравнение-(l+З,_)
/
(2+Л)=J.
Отсюда
J
+3л+2+л=0,
т.
е.
Л=-З
/
4.
Подста13ИВ
найденное
значение)"
в

а.
100.
даны
стороны
треугольника:
х
+
у
- 6 =
О,
3х
-
5у
+
14
=
О
и
5х-3у-14
=
О.
Составить
уравнения
его
высот.
101.
Составить
уравнения
биссектрис
углов

его
ст?ронам.
23
,
103.
С~тавить
уравнения
прямых,
проходящих
через
точку
М
(
2;
7)
и
обр
аз
ую
щих
с
прямой
АВ,
где
А
(-1;
7)
и
В
(8;

==
6.
10
5.
В
треугольнике
с
вершинами
А
(3/2; 1),
В(I;
5/3),
С(3;
3)
н
айти
дл
ину
ВЫС01Ы,
проведенной
из
вершины
С.
1
06
.
При
каком
значении
т

А
1
(-1;
-1),
В
1
(1;
9)
и
С
1
(9;
1).
Составить
уравнения
серединных
перпендикуляров
к
стор
о
нам
треуго
ль
ника.
108.
Найти
острый
угол,
образованный
с

б)
являются
противоположными
вер
шин
ам~
r
квадра
та.
Определить
координаты
двух
других
вершин
к
ва
др
ата
.
11
0.
На
оси
абсцисс
найти
точку,
расстояние
которой
от
прямой

Состав
ить
у
равн
е
ния
медианы,
проведенной
из
вершины
В,
и
вы
с
о
ты,
оп-ущ
е
нн
о й
из
вершины
С.
Вычислить
площадь
треугольника.
11
2.
Найт
и

(-4/5;
1).
114
.
Найти
прямую,
проходящую
через
точку
пересечения
пря
м
ы
х
х+2у+3=О,
2х+3у+4=0
и
параллеЛЬНУIЬ
прямой
5х+
+8у=
О.
11
5.
Найти
прямую,
проходящую
через
точку
пересечения

117.
Найти
прямую,
проходящую
через
точку
пересечения
пря
мы
х
х
+
2у+
1
=0,
2х+у+2=0
и
образующую
угол
1350
с
осью
абсцисс.
118.
Составить
уравнения
прямых,
проходящих
через
точку

ршину
В,
и
высоты,
проходящей
через
вершину
А.
120
.
Показать,
что
треугольник
со
сторонами
х
+
у
Vз
+ 1 =
О,
х
V
з
+
у+
1 =
О
и
x-у-lО

Найти
угол
межд
у
его
диагоналями
и
показать,
что
этот
параллелограмм
является
прямоугольником.
122.
Даны
стороны
треугольника:
x-у+2=0(АВ).
х=2(ВС),
24
х
+
у-
2 =
О
(АС).
Составить
уравнение
прямой,
проходящ

с
вершинами
А
(1
;1),
В
(2;
1 +
+
VЗ),
С
(3;
1)
равносторонний,
и
вычислить
его
пл
ощадь.
J 24.
Показать,
что
треугольник,
стороны
которого
заданьi
у
ра
внениями
с

координаты
двух
других
вершин
.
126.
Составить
уравнение
гипотенузы
прямоугольного
треуголь

ника,
проходящей
через
точку
М
(2; 3),
есл
и
катеты
тр
еугольн
и
ка
расположены
на
осях
координат,
а

является
отрезок
.
ПРЯМОЙ
4x+3y-12
=O.
концы
которого
лежат
на
осях координат.
§
З.
КРИВЫ
Е
ВТОРОГО
ПОР
ЯДКА
1.
ОКРУЖIIОСТЬ.
Окружность
-
это
множество
всех
точек
плоскости
,
равно
уда

В
'laСТНОСТИ,
если
центр
окружности
совпадает
с
нача.10М
координат,
ТО
пос
лед

нее
уравнение
примет
вид
Если
в
левой
части
уравнения
(1)
раскрыть
скобки.
то
получится
урав
н
ени

то
указанное
уравнение
определяет
точк
у
(-1
12;
-
т.
j
2
).
а
если
[2 +
т.
2
-4n
<
О,
то
оно
не
имеет
геометрического
смысла.
В
эт
ом

с
произве
ден
ие
м
х
на у
.
Взаимное
расположение
точки
М
(х\;
YI)
и
окружности
х
2
+у
2
=
г
2
опре
де
ляется
такими
условиями:
если
xi +

2
,
то
точка
М
лежит
внутри
окружности.
128.
Найти
координаты
центра
и
радиус
окружности
2
х
2
+
2
у
2
-
-8х+5у-4=О.
6.
Разделив
уравнение
на
2
и

двучлену
4
и
ко
вт
орому
(5/4)\1
(однов
реме
н
но
к
правой
части
прибавляется
сумма
этих
чисел):
(х2-4х+4)+
(уа
+~
У
+
25
) = 2+
4+
25
2
16
16'