Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số

Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007

1Vấn ñề 01 Miền xác ñịnh hàm số

1. ðịnh nghĩa :

Miền xác ñịnh (MXð) của hàm số
(
)
y
f x
=
là tập hợp các giá trị biến số
x
∈
ℝ
, sao cho
ta tính ñược giá trị
(
)
f x
.
2. Nhắc lại kiến thức.( ) ( )


( )
(
)
( ) ( )
k x
A x B x
f x
=
±
;
(
)
f x
xác ñịnh khi
( )
( )
( )
( )
A x 0
B x 0
A x B x 0

≥


≥


± ≠

Ví dụ 1
: Tìm miền xác ñịnh của các hàm số :
1.
( )
2
x 3
6
f x
x x
+
=
+ −
3.
( )
2 2
8
4 3 2
x
f x
x x x
+
=
− − + +

2.
( )
2


(
)
(
)
3 2 0
x x
+ − ≠

⇔

3
2
x
x
≠ −


≠


Vậy
{
}
D \ 3;2
= −
ℝ

2. Hàm số xác ñịnh khi
2


Vậy
{
}
D \ 2
= −
ℝ

3. Hàm số xác ñịnh khi
2
2
2 2
4 0
3 2 0
4 3 2 0
x
x x
x x x

− ≥

+ + ≠


− − + + ≠


⇔

2


∪

Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số

Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007

2 4. Hàm số xác ñịnh khi
3
0
2
2 0
x
x
x
 +
≥

−


− ≠


⇔

( )












⇔
0
3 2
0
2 3
x
x
x
x
 ≥



− ≤ <



≤


x x
+
= =
+ +
là
A.
{
}
D \ 3
=
ℝ
C.
D
=
ℝ

B.
D 1
=
D.
{
}
D \ 3
= −
ℝ

Câu 2. Miền xác ñịnh của hàm số
(
)
1 5

3 2
4
x x
y f x x x
x
+ −
= = − − +
−

A.
]
(
D -2,1
=
C.
]
(
D -2,2
=

B.
(
)
D 2,1
= −
D.
(
)
D -2,2
=

= −
ℝ

Câu 5. Tập hợp xác ñịnh của hàm số
( )
2
2 2
4 3
1 4 3
x x
y f x
x x x
− +
= =
− + − +
là
A.
D
=
ℝ
C.
{
}
D \ 1,1,3
= −
ℝ

B.
{
}

= +∞



B.
{
}
D \ 2;2
= −
ℝ
D.
(
)
D 2;2
= −

Câu 7. Tập hợp xác ñịnh của hàm số
( )
2
2
2 3
4 3
x
y f x x x
x x
= = + + −
− +
là :
Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số


Câu 8. Miền xác ñịnh của hàm số
( )
2 2
1 1
y f x x x x x
= = + + + − +
là ?
A.
D
=
ℝ
C.
1
D \
2
 
=
 
 
ℝ

B.
1
D \
2
 
= −
 
 
ℝ

2 3
   
= −
 
 
   

B.
2
D \
3
 
=
 
 
ℝ
D. Một kết quả khác
Câu 10. Miền xác ñịnh của hàm số
( )
3
3 2
3
y f x x x
= = −
là ?
A.
D
=
ℝ
C.

4
log
f x x
= −
4.
( )
4
ln
1
x
f x
x
 
−
=
 
 
− +
 

2.
( )
7 2
ln
1
x
f x
x
−
 

log 9 3.6 2.4
x x x
f x = − +Giải

1. Hàm số xác ñịnh khi
2 2
4 0 4 2
x x x
− > ⇔ > ⇔ ≥

Vậy
(
)
(
)
D ; 2 2;
= −∞ − +∞
∪

2. Hàm số xác ñịnh khi
7 2
0
1
x
x
−
>

3. Hàm số xác ñịnh khi
2
0
ln 3ln 4 0
x
x x
>


− − >


4
0
1
ln 1
e
e
ln 4
x
o x
x
x
x
>
⇔
 
< <



1 0
x
x
x
x
x
− < < −
−

⇔ < < ⇔

< <
− + >


Vậy
(
)
(
)
D 2; 1 1;2
= − −
∪

5. Hàm số xác ñịnh khi
2
2
2 0
0 1
0 2

)
(
)
D 0;1 1;2
=
∪

6. Hàm số xác ñịnh khi
2
3 3
9 3.6 2.4 0 3. 2 0
2 2
x x
x x x
   
− + > ⇔ − + >
   
   3
2
3
0 1
0
2

log 2
3
2

(
)
3
2
D ;0 log 2;
= −∞ +∞
∪Trắc nghiệm
: Thời gian 15 phút

Câu 1. Miền xác ñịnh của hàm số
(
)
(
)
ln ln
f x x
=
là ?
A.
(
)
(
)
; 1 1;
−∞ − +∞
∪
C.

D
=
ℝ
C.
[
]
D \ 3, 4
=
ℝ

B.
(
)
(
)
,3 4,x
∈ −∞ +∞
∪
D. Cả B và C ñúng
Câu 3. Miền xác ñịnh của hàm số
( )
2
2
log
3
x
f x
x
+
 


Câu 4. Miền xác ñịnh của hàm số
( )
2
2
2
3 log
log
2 log
x
f x
x
 
−
=
 
+
 
là ?
Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số

Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007

5

A.
1
;4
8
 

−
= − + +
là
A.
(
)
1;2
C.
(
)
1;3

B.
(
)
2;3
D.
(
)
{
}
1;3 \ 2

Câu 6. Tập hợp xác ñịnh của hàm số
( )
2
1
ln 2
ln 4
f x x

= − +
là
A.
{
}
2
C.
(
)
;2
−∞

B.
{
}
\ 2
ℝ
D. Một kết quả khác
Câu 8. Tập hợp xác ñịnh của hàm số
(
)
(
)
2
ln ln 4ln 3
f x x x
= − + −
là
A.
(

C.
(
)
(
)
; 2 1;
−∞ − − +∞
∪

B.
(
]
(
)
; 2 1;
−∞ − − +∞
∪
D.
(
)
2; 1
− −

Câu 10. Hàm số
( )
(
)
2
3
log 7 12


ðáp Án
: 1. A 2. D 3. C 4. B 5. D
6. A 7. C 8. B 9. C 10. D

Ví dụ 3
: Tìm miền xác ñịnh của các hàm số :
1.
( )
( )
2
2
3 5
4
ln 9
x
f x x
x
+
= − +
−
4.
( )
2
tan 1
3
x

3
sin log 4
f x x= − +

3.
( )
4 3.2 2
2
x x
f x
− +
=
6.
( )
2
sin
4cos 3
x
f x
x
=
−

Giải
2. Hàm số xác ñịnh khi
2
2
2
3
2


− > ⇔ ≥ ⇔
 

< −


 

− ≠
≠ ±




≠ −




Vậy
( ) ( )
{
}
D ; 3 3; \ 10; 10
= −∞ − +∞ −
∪

2. Hàm số xác ñịnh khi
2

ln 4 2ln 2
0
ln 3
x
x
x
≤ =


<




>

ln3 2ln 2
0
x
x
< ≤

⇔

<





≥
≥



Vậy
(
)
(
)
;0 1;x
∈ −∞ ∪ +∞

4. Hàm số xác ñịnh khi tanx xác ñịnh
cos 0
2
x x k
π
π
≠ ⇔ ≠ +

Vậy
D \ ;
2
k k
π
π
 

1
2cos2 1 0 cos 2
2
x x
⇔ − ≠ ⇔ ≠
hay
2
cos cos
3
x
π
≠

6
x k
π
π
⇔ ≠ ± +

Vậy
D \ ; ;
6 6
k k k
π π
π π
 
= − + + ∈
 
 
ℝ ℤ

)
; 2
−∞ −
C.
(
)
2;
+∞

B.
[
]
2;1
−
D.
(
)
(
]
(
)
; 2 2;1 2;
−∞ − − +∞
∪ ∪

Câu 2. T

ập hợp các giá trị x làm cho hàm số
( )
2

=
c xác ñịnh khi và chỉ khi :
A.
k
π
x
≠
C.
π
k
2
x ≠

B.
[
]
\ 1;1
x ∈ −
ℝ
D. k
π
x
=

Câu 4. Tập hợp xác ñịnh của hàm số
( )
(
)
(
)

= −∞ − +∞
∪

Câu 5. Hàm số
( )
( )
2
5
9
ln 3 27
x
f x x= − + +
− +
xác ñịnh khi và chỉ khi :
A.
[
]
3;3
−
C.
[
]
3
3;3 \ log 28
−

B.
[
)
3;3

ℤ
D.
2; 0; 1
x x x
= − = =

Câu 7. Hàm số nào sau ñây có tập hợp xác ñịnh là R ?
A.
(
)
e
x
f x
−
=
C.
( )
1
2
x
k x
−
 
=
 
 

B.
( )
e 2

>
D.
x
∀ ∈
ℝðáp Án
: 1. D 2. D 3. A 4. B
5. B 6. A 7. D 8. B

Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số

Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007

8Ví dụ 4. ðịnh m ñể hàm số sau xác ñịnh với
x
∀

1.
( )
2
2 2
3
3 m
x
f x

1. Hàm số xác ñịnh
2 2 2 2
R x 3 m 0, R pt : x 3 m 0
x x x x
∀ ∈ ⇔ − + ≠ ∀ ∈ ⇔ − + =
vô nghiệm

0
x
⇔ ∆ <
2
3
9 4m 0 m>
2
⇔ − < ⇔
hoặc
3
m
2
< −

2. Hàm số xác ñịnh
2
R 3x mx 3 0, R <0
x x
∀ ∈ ⇔ + + > ∀ ∈ ⇔ ∆

2
m 36 0 -6 m 3
⇔ − < ⇔ < <

m m 6 0
> −

⇔

∆ = − − + ≤
m 2
m 3 m 2
> −

⇔

≤ − ≥

hoaëc

m 2
⇔ ≥
.

Trắc nghiệm
: thời gian 10 phút

Câu 1 . Với giá trị nào của m thì hàm số
( )
2
2m 3m 2

x x
+
=
+ + −
xác ñịnh với
(
)
x R
∀ ∈
?
A.
1 m 2
≤ ≤
C.
1 m 2
< <

B.
m 1
=
hoặc
m = 2
D.
m 1
≤
hoặc
≥
m 2

Câu 3 . Hàm số

D.
m -5
≤
hoặc
-1
≥
m

Câu 4 . N

ếu hàm số
( )
2
m m
y f x Cos x x
= = − +
có tập xác ñịnh là R thì m phải thoả ñiều
kiện nào ?
A.
m 0
≤
hoặc
≥
m 4
C.
0 m 4
≤ ≤

B.
0 m 4

C.
m>1
hoặc
m < 2

B.
1 m 1
≤ ≤
D.
m 1
≥
hoặc
m
≤
2 ðáp Án
: 1. A 2. C 3. B 4. C 5. A
ðề Kiểm Tra 01
Thời gian làm bài
: 45 phút
Câu 1. Hàm số
( )
2
1 1
3 4


Câu 2. Hàm số
( )
2
2
4
3 2
4
x
x
f x
x
x
−
= +
−
−
có tập hợp xác ñịnh là :
A.
3
;
2
 
−∞
 
 
C.
3
2;
2

C.
[
]
)
{
1;2 \ 1;1
− −

B.
{
}
\ 1,2
−
ℝ
D.
(
)
1,2
−

Câu 4. Miền xác ñịnh của hàm số
( )
2
4
1
x
y f x
x x
= =
+ +

f x
x x
−
=
+ − −
là
A
D
=
ℝ
C.
{
}
D \ 1
= −
ℝ

B.
{
}
D \ 0
=
ℝ
D.
{
}
D \ 1,1
= −
ℝ


∪
D. ðáp số khác
Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số

Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007

10

Câu 7. Hàm số
( )
8
2
4
2 4
f x x x
= − + −
có tập hợp xác ñịnh là :
A.
(
)
2;
+∞
C.
{
}
2

B.
2 2
x


 
D. ðáp số khác
Câu 9. Hàm số
( )
4 3
x x
f x e e
−
= − −
có tập hợp xác ñịnh là :
A.
[
]
0;ln 3
C.
[
]
\ 0;ln3
ℝ

B.
[
]
0;3
D.
[
]
\ 0;3
ℝ

D.
(
)
(
)
;1 2;
−∞ +∞
∪

Câu 11. Hàm số nào sau ñây xác ñịnh
(
)
x
∀ ∈
ℝ
?
A.
(
)
2
2 .
x
f x x e
−
=
C. Cả 2 câu A và B
B.
(
)
2

C.
{
}
1;0;1; 2
−

B.
{
}
1, 2
D. ðáp số khác
Câu 13. Miền xác ñịnh của hàm số
( ) ( )
2
9
3
x
x
f x x
−
= −
là
A
(
)
3;
+∞
C.
{
}

C.
(
)
2
e ;
+∞

B.
(
)
2
e;e
D.
(
)
(
)
2 2
e;e e ;
+∞
∪

Câu 15. ð

ể tìm

tập xác ñịnh của hàm số
( )
2
f x x

A. Chỉ (1) C. Chỉ (3)
B. Chì (2) D. Chỉ (1) và (3)
Câu 16. Hàm số
(
)
(
)
2
2
log 6
x
f x x x
−
= + −
có tập hợp xác ñịnh là :
A.
(
)
(
)
; 3 2;
−∞ − +∞
∪
C.
(
)
3;2
−

B.

B.
( )
3 1
x
g x
= +
D. Cả 3 hàm số trên
Câu 18. Hàm số
(
)
(
)
(
)
2
ln 4 .ln 4
f x x x
= − −
có tập hợp xác ñịnh là :
A.
(
)
; 2
−∞ −
C.
(
)
2;4

B.


B.
[
)
2;
+∞
D. Một kết quả khác

Câu 20. Miền xác ñịnh của hàm số
( )
2 1
4
x
y f x
x x
−
= =
−
là tập hợp nào sau ñây ?
A
\ 4
ℝ
C.
(
)
2;
+∞

B.
(

)
2;
− +∞

Câu 22. Tập hợp xác ñịnh của hàm số
(
)
3 1 2
y f x x x
= = − − −
là
A.
1
;3
2
 
 
 
C.
ℝ

B.
[
)
1
; 3;
2
 
−∞ +∞
 

[
)
;1 2;
−∞ +∞
∪
D.
(
)
(
)
{
}
;1 2; \ 1;0
−∞ +∞ −
∪

Câu 24. Tập hợp các giá trị x làm cho hàm số
( )
( )
3
1 2
y f x
x x
= =
+ +
không xác ñịnh là :
Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số

Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007


)
2
log 5 25
x
f x = −
là
A.
(
)
1;
+∞
C.
(
)
2;
+∞

B.
(
)
25;
+∞
D.
(
)
1;2

Câu 26. Miền xác ñịnh của hàm số
(
)

\ 2;3
−
ℝ

Câu 27. Tập hợp các giá tr

ị nào c

ủa m thì hàm số
( )
2
m m
f x x x
= − +
xác ñịnh với mọi x?
A.
0 m 1
< <
C.
0 m 4
< ≤

B.
0 m 4
≤ <
D.
0 m 4
≤ ≤

Câu 28. Hàm số

2 1 2 5
x
x x
f x =
− +
là
A.
ℝ
C.
{
}
2
\ log 5
ℝ

B.
{
}
\ 0
ℝ
D.
{
}
2
\ 0;log 5
ℝ

Câu 30. Tập xác ñịnh của hàm số
( )
2 4
Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số

Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007

13
Vấn ñề 02 ðạo hàm


0
0 0 0
'
0
0
lim lim lim
x o x o x x
f x x f x f x f x
y
f x
x x x x
+ + +
+
∆ → ∆ → →
+ ∆ − −
∆
= = =
∆ ∆ −

+
(
)
f x
có ñạo hàm bên trái
0
x
:

( )
(

có ñạo hàm tại
0
x
:

( )
(
)
(
)
(
)
(
)
0
0 0 0
'
0
0
lim lim lim
x o
x o x x
f x x f x f x f x
y
f x
x x x x
−
∆ →
∆ → →
+ ∆ − −

(
)
(
)
'
lim lim
x o x o
f x x f x
y
f x
x x
∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
= =
∆ ∆3. ðạo hàm bằng công thức (học sinh xem Sgk) Ví dụ 1: cho hàm số
(
)
2
f x x
=

1. Tính số gia của hàm số
(

x x
+ ∆ =

Giải

1.
(
)
(
)
0 0
y -
f x x f x
∆ = + ∆
(
)
(
)
1 1
f x f
= − + ∆ − −
( ) ( )
2 2
1 1
x
= − + ∆ − −(
)

)
2 2
2 1 2 1 3
f f
− = − = Ví dụ 2
: Dùng ñịnh nghĩa tính ñạo hàm của hàm số
(
)
2
2
f x x x
= +
tại ñiểm
0
0
x
=
.
Giải

( )
( ) ( )
(
)
( )
2
'

− +∞

Giải ( )
( ) ( )
( )
'
0
0
1 1
lim lim lim
x o x o x
x x x
f x x f x
y
f x
x x x
∆ → ∆ → ∆ →
+ + ∆ − +
+ ∆ −
∆
= = =
∆ ∆ ∆( )
( )
( )

1
x
=
3.
(
)
tan
f x x
=
tại ñiểm
0
4
x
π
=

2.
( )
2
2
f x x
= +
tại ñiểm
0
1
x
= −
4.
(
)

1 2 1 2
2
x x x x
f x
x x
′
− − −
=
−( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
' '
2 2
2 2
4 1 4.1 1
1 3
2 2.1 1
x
f x f
x x
− − − −
= ⇒ = = −

2
1 1 1
2
1
cos 4
cos
2
4
f x f
x
π
π
 
= ⇒ = = =
 
 
 
 
 

4.
(
)
(
)
(
)
'
sin cos cos sin 1 sin 1 cos
f x x x x x x x x x x x

neáu
ñịnh b và c ñể hàm số có ñạo
hàm tại
0
1
x
=

Giải

+ Hàm số liên tục tại
0
1
x
=

(
)
(
)
1 1
lim lim
x x
f x f x
+ −
→ →
⇔ =(

+
( )
(
)
(
)
( )
2
1 1 1
1
1
1 1 lim lim lim 1 2
1 1
x x x
f x f
x
x f x
x x
− − −
−
→ → →
−
−
′
< = = = + =
− −

+
( )
( ) ( )

1 1
1 b 1
lim lim b 1 b 2
1
x x
x x
x
x
+ +
→ →
− − + −
= = − + = −
−

Hàm số có ñạo hàm tại
0
1
x
=
nên
(
)
(
)
1 1 2 b 2 b 4 c 2
f f
− +
′ ′
= ⇔ = − ⇔ = ⇒ = −


∆
của hàm số:

( ) ( )
2
y 0 - 0 0 2sin
2
x
f x f Cos x Cos
∆
∆ = + ∆ = ∆ − = −

Bước 2: Lập
2 2
2sin sin
2 2
2
x x
y
x
x x
∆ ∆
∆
= − = −
∆
∆ ∆

Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số

Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007

lim . lim sin 0
2
2
x x
x
x
x
∆ → ∆ →
∆
 
 
∆
− =
 
∆
 
 

Vậy
(
)
0 0
f
′
=

Trong lý luận trên,nếu thiếu sót thì thiếu sót từ giai ñoạn nào ?
A. Bước 1 C. Bước 3
B. Bước 2 D. Bước 1,2,3
Câu 2. Hàm số nào trong 3 hàm số sau có ñạo hàm tại


B. Chỉ
(
)
g x
D. Chỉ
(
)
g x
và
(
)
h x

Câu 3. Cho hàm số
( )
2
m
1
x
f x
x
+
=
+
.Nếu
(
)
(
)


=
+


=

eáu
eáu
. Xét các mệnh ñề sau:
I.
(
)
f x
xác ñịnh trên
{
}
\ 1
−
ℝ

II.
(
)
f x
liên tục tại
0
0
x
=

A.
1
2
C.
3
2

B.
3
2
D. ðáp số khác
Câu 6. ðạo hàm của hàm số
(
)
10
.10
x
f x x=
là?
A.
(
)
(
)
9
10 ln10
f x x x
′
= +
C.

′
= +

Câu 7. Hàm số
(
)
(
)
(
)
2 2
2
f x x x x x
= + − +
có ñạo hàm trên
D
=
ℝ
là:
A.
(
)
3
4 6 2
f x x x
′
= − −
C.
( ) ( )
2

?

(
)
sin
f x x
=
;
(
)
g x x Cosx
= +
;
(
)
h x Cotx
=

A. Chỉ
(
)
f x
C. Chỉ
(
)
h x

B. Chỉ
(
)


Câu 10. Hàm số
(
)
3
ln
f x x x
=
có
(
)
1
f
′
là?
A.
1
C.
4

B.
3
D.
∞ðáp Án
: 1. A 2. D 3. C 4. B 5. D
6. C 7. D 8. D 9. A 10. D


1/ Tìm m, n ñể
(
)
0 1
f
′
=
?
2/ Tìm m, n ñể
(
)
0
f
′
không tồn tại ?
Giải

( )
(
)
(
)
2
0 0
0
m n n
0 lim lim
x x
f x f
x x

=

1 1
1 n ; m
4
2 n
⇔ = ⇔ = ∀

2/
(
)
0
f
′
không tồn tại
( )
1
0
2 n
f
′
⇔
không xác ñịnh
n 0 ; m
⇔ ≤ ∀
.

Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số

Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007

)
1
f x x
= −( )
(
)
(
)
1 1
11
1 lim lim 1
1 1
x x
xf x f
f
x x
+ +
+
→ →
−−
′
= = =
− −( )
(

≠
nên
(
)
1
f
′
không tồn tại.
*
( )
1
h
1
x
x
x
−
=
+

Tương tự như trên ta ñược :
( ) ( )
1 1
1 1
2 2
f f
+ −
′ ′
= ≠ = −





=
neáu
neáu =0

1/ Chứng minh rằng hàm số
(
)
f x
liên tục tại
0
x
=
.
2/ Tính ñạo hàm (nếu có) của hàm số tại
0
x
=
.
Giải

1/
( )
1
0
2
f
=

(
)
(
)
0
0 lim
x
f f x
→
=
nên hàm số liên tục tại
0
x
=
.
2/
( )
( ) ( )
2
0 0 0
1 1 1
0
2 2 1
2
0 lim lim lim
0 2
x x x
x
f x f
x x

x x x x
x x x
→
   
− − − − + −
   
=
 
− + −
 ( )
0
1 1
lim
8
2 2 2 1
x
x x
→
= =
 
− + −
 Ví dụ 4
: Cho hàm số
( )

?
Giải

. ðặt
t
π
x
= −
; nếu
π
x
→
thì
t
π 0
x
= − →
.
. Hàm số cho viết lại
( )
(
)
2
2 sin
1 cos t
; t 0

t t
0 ; t 0
t

−2
2
2
0 0
sin
t t
sin
1 1
2 2
2.lim .lim
t
t
2 2
4.
2
4
t t→ →
 
 
= = =
 
 

Ví dụ 5
: Cho hàm số
( )
2

Giải

* Xét tính liên tục tại
1
x
=(
)
1 0
f
=( )
2
1 1
sin
π
lim lim
1
x x
x
f x
x
→ →
=
−


→ → →
+ +
= =( )
2
2 2
2
0
sin πt
lim .
π t=1.π .0 0
πt
t→
= =(
)
(
)
1
1 lim 0
x
f f x
→
= =

Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số

1
1
x x
f x f
x
f
x
x
→ →
−
′
= =
−
−

ðặt
t 1
x
= −
; Khi ñó
1
x
→
thì
t 0
→
và
t 1
x
= +

1
π
f
′
=
.
Chú ý
: Bài toán này có thể giải.
Cho
x
∆
1 số gia của biến số
1
x
=
.
*
0.
x
∆ >

(
)
(
)
2
0 0
1 1
lim lim
π

∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
= =
∆ ∆
.
Vì
2
0 0
lim lim
π
x x
y y
x x
+ −
∆ → ∆ →
∆ ∆
= =
∆ ∆
nên
0
lim
x
y
x
∆ →
∆
∆
xác ñịnh .
Vậy hàm số có ñạo hàm tại

liên tục tại
3
x
= −
; Nhưng không có ñạo hàm tại ñiểm ñó .
Giải ( )
( )
( )
2
2 3
3
3 1
2
2 3
3
3 1
x x
x
x
x x
x
x
f x

− +

≥−

3 3
2 3
9
3 lim lim
3 1 10
x x
x x
f f x
x
+ +
+
∆ →− ∆ →−
=
− +
− = =
−
.
*
3.
x
≤ −

( )
( )
(
)
2
3 3
2 3
9

≥ −

( )
( ) ( )
(
)
2
3 3
2 3
9
3 1 10
3
3
53
3 lim lim
3 100
x x
x x
x
x
f x f
f
x
+ +
+
∆ →− ∆ →−
− +
−
−
=

3 100
x x
x x
x
x
f x f
f
x
− +
−
∆ →− ∆ →−
+
−
−
=
+
+
−
′
− = =
+
.
Vì
(
)
(
)
3 3
f f
+ −
ðạo hàm cấp cao.
Ví dụ 1
: Tính ñạo hàm cấp n của hàm số
( )
1
1
f x
x
=
+

Giải

+
D
=
ℝ

+
( ) ( ) ( )( )
(
)
( )
1 2
2

′′
= − + = − + =
 
+

Dự ñoán
( )
( )
( )
( )
n
n
n+1
1 .n!
1
x
f
x
−
=
+
;
n N
+
∈
(1).
+ Ta chứng minh ñiều dự ñoán là ñúng .
. Với
n 1
=

f
x
+
−
=
+

. Ta cần chứng minh (1) cũng ñúng với
n k 1
= +
.
Thật vậy
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( )
k k 1 k k 2
k 1 k
1 .k!. 1 1 .k!. k 1 1
x x
f f x x
− + − +
+
′
′
 
= = − + = − − − +
 

x
f x x
= =
. Chứng minh :
y 2y 2y 0
′′ ′
− + =
. Với
y ,y
′ ′′
là ñạo hàm
cấp 1, cấp 2 .
Giải

y =e .cos e sin y e sin .
x x x
x x x
′
− = −

(
)
y y e .sin e cos y y e .sin
x x x
x x x
′′ ′ ′
= − + = − −(

Câu 1. ðạo hàm cấp n của hàm số
y sin
x
=
là biếu thức nào sau ñây ?
n N
+
∈

A.
(
)
cos n
π
x +
C.
(
)
sin n
π
x +

B.
π
cos n
2
x
 
+
 

′′ ′
=

B.
y 2y 2y 0
′′ ′
− + =
D.
y 2y -2y 0
′′ ′
− =

Câu 3. Cho hàm số
y e cos
x
x
=
, gọi
y
′
và
y
′′
lần lượt là ñạo hàm cấp 1 và 2. Hệ thức nào sau
ñây ñúng ?
A.
y +y y 0
′′ ′
+ =
C.

y y 1 .y
′ ′′
= −
C.
(
)
y y 1 .y
′ ′′
= −

B.
(
)
2
2y y 1 .y
′ ′′
= −
D.
(
)
2
2y y 1 .y
′′ ′
= −

Câu 5. ðạo hàm cấp n của hàm số
(
)
y ln 0;n N
x x

−
D.
( )
n
n-1
1 .n!
x
−

Câu 6. Cho hàm số
(
)
y 0 1
x
x x
= < ≠
.ðạo hàm của hàm số là biếu thức nào sau ñây ?
A.
1
x
x
−
C.
(
)
ln 1
x
x x
+


C.
(
)
sin n
π
x
+

B.
π
sin n
2
x
 
+
 
 
D. Một kết quả khác.
Câu 8. ðạo hàm cấp n của hàm số
1
y
1
x
=
+
là hệ thức nào sau ñây ?
A.
( )
( )
n

D. Một kết quả khác

ðáp Án
: 1. D 2. B 3. D 4. B
5. C 6. C 7. A 8. B
Vấn ñề 03 Tính ñơn ñiệu
Lý thuyết :

………………………………………………………………………………………….Ví dụ 1
: Cho hàm số
( )
3 2
1 1
3 2
y f x x x
= = −
. Xác ñịnh khảng ñơn ñiệu hàm số.
Giải
.
D
=

x
≥Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số

Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007

24

Ví dụ 2 : Cho hàm số
( ) ( ) ( )
3 2
1 m
y m, 2 2 m 2 2 m 5
3
f x x x x
−
= = − − + − +

ðịnh m ñể hàm số luôn luôn nghịch biến.
Giải
.
D
=
ℝ

.
(
)

1 m
m 1
m 2;3
2 m 3
m 5m 6 0
≤
>


⇔ ⇔ ⇔ ∈
 
≤ ≤
− + ≤


.

Ví dụ 3
: ðịnh m ñể hàm số
2
m 5m 3
1
x
y
x
+ − +
=
−
luôn luôn ñồng biến trên mỗi khảng
(

=
−

. Hàm số luôn luôn ñồng biến trên mỗi khoảng
(
)
;1
−∞
và
(
)
1;
+∞

Khi
(
)
y 0 x ;1
′
> ∀ ∈ −∞
và
(
)
1;
+∞2
m 5m 4 0 1 m 4
⇔ − + − > ⇔ < <

π
2 2 2 2 1 2 =-4sin x<0 ; 0;
2
f x Cos x Cos x x
 
′
= − = − − ∀ ∈
 
 

Do ñó hàm số nghịch biến
π
0;
2
x
 
∀ ∈
 
 
.

π
2
0

x

Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số

Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007

 
.

Ví dụ 5
:
1. Giải phương trình :
(
)
ln 3 4
x x
− = −
.
2. Giải bất phương trình :
2
5 4
x
x
−
< +
.
Giải

1/ .
(
)
D 3;
= +∞
.
. Xét
(

3
x
∀ >(
)
1 0.
g x x
′
= − < ∀ →
Hàm số
(
)
g x
luôn nghịch biến
x
∀
.
. Do ñó 2 ñồ thị cắt nhau tại ñiểm duy nhất và
(
)
(
)
4 4 0
f g
= =
.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
4

x
∀ ∈
ℝ
.

(
)
1 0
g x
′
= >

→
Hàm số
(
)
g x
ñồng biến
x
∀ ∈
ℝ
.
Vậy 2 ñồ thị cắt nhau tại ñiểm duy nhất.
Nhận xét
(
)
(
)
1 1 5
f g

Bài Giải (
)
(
)
2 2
3 6 3m 3 2 m
f x x x x x
′
= − + = − +

1. Hàm số ñồng biến trên tập xác ñịnh
ℝ
khi :
x
∀ ∈
ℝ
sao cho
(
)
0
f x
′
≥1 m 0 m 1
′