Tên đề tài :
“PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN VÀ NHỮNG SAI LẦM
THƯỜNG GẶP KHI TÍNH TÍCH PHÂN”
PHẦN A : ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong đề thi tốt nghiệp Bổ túc trung học phổ thổng (BTTHPT),Trung học
phổ thông (THPT) , Đại học , cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các
năm bài toán tích phân hầu như không thể thiếu nhưng đối với học sinh
THPT , BTTHPT bài toán tích phân là một trong những bài toán khó vì nó
cần đến sự linh hoạt của định nghĩa,tính chất và các phương pháp tính tích
phân.Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc
đó là : tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định
nghĩa của tích phân hoặc các phương pháp tính tích phân như đổi biến hoặc
từng phần.
Khi học sinh dùng phương pháp từng phần gặp nhiều khó khăn trong quá
trình tính như Đặt u bằng đại lượng nào? dv bằng đại lượng nào học sinh rất
mơ hồ trong cách đặt và dạng bài tập nào là phải dùng tích phân từng phần.
Hoặc là trong quá trình tính tích phân học sinh cứ việc tính mà không để ý
đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó
trên đoạn lấy tích phân hay không?phép đổi biến đã đổi cận hay chưa?phép
đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không?phép biến đổi
hàm số có tương đương không?
Vì vậy trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc phải những sai lầm
dẫn đến lời giải sai.
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhận thấy rõ điều này của học sinh vì
vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến : Phương pháp tính tích phân từng phần
và một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân.Nhằm giúp học
sinh khắc phục được những điểm yếu nêu trên từ đó đạt được kết quả cao khi
giải toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trong học tập nói chung.
Qua đề tài này tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề
này , tự phân loại được một số dạnh toán tích phân , nêu lên một số phương

từ cái sai đến cái gần đứng rồi mới đến cái đúng”,các nguyên tắc dạy học và đặc
điểm quá trình nhận thức của học sinh.
II . NỘI DUNG CỤ THỂ.
1. Tích phân bằng phương pháp từng phần
Công thức từng phần :
∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduvuudv .
Phương pháp :
B1/ Đặt một biểu thức nào đó dưới dấu tích phân bằng u tính d
u
. Phần còn
lại là d
v
, tìm v.
B2/ Dùng công thức tính tích phân từng phần.
B3/ Tính và suy ra kết quả.
Chú ý. Lý thuyết là vậy,nhưng trong thực tế học sinh gặp rất nhiều khó khăn
trong việc tính toán,học sinh rất mỏ hồ về cách đặt u và d
v
.học sinh chưa phân
biệt được trong bài toán cụ thể nên đặt u bằng biểu thức nào, d
v
bằng biểu thức

=
=
dxxgdv
xfu
).(
)(

Nếu bậc của
)(xf
là 2;3;4 thì ta tính từng phần 2;3;4 lần theo cách đặt trên.
Loại 2 :
∫
b
a
dxxgxf ).(ln).(
Trong đó : -
)(xf
là một hàm đa thức
Đặt :



=
=
dxxfdv
xgu
).(
)(ln
Ví dụ : tính các tích phân sau:
a/ I =

dxxdv
xu
.cos



=
=
⇔
xv
dxdu
sin
vậy : I =
1
2
cos
2
.sinsin.
2
0
2
0
2
0
−=+=−
∫
ππ
π
π
π

0
2
−=−+−=+−−
∫
π
π
π
π
dxxxxx
c/ Đặt :





=
=
⇔



=
=
x
x
ev
dxdu
dxedv
xu
3

33
1
0
31
0
3
+=+−=−=−
∫
eeeeedxeex
xxx
Ví dụ 2 ; tính các tích phân sau
a/ I =
∫
e
dxxx
1
.ln.
b/ J =
∫
+
1
0
2
).1ln(. dxxx
giải
a/ Đặt :





42
.
4
1
2
.
2
1
ln.
2
2
22
1
2
2
1
1
2
+=+−=−=−
∫
e
ee
x
e
dxxx
x
e
e
e
b/ Đặt :

du
dxxdv
xu
Vậy : J =
dx
x
x
xdx
x
x
x
x
).
1
(2ln
2
1
.
1
)1ln(.
2
1
0
2
1
0
2
3
1
0

1
0
22
∫
+
b/ J =
∫
3
4
2
sin
.
π
π
x
dxx
c/ K =
dxxx .cos.)13(
2
0
∫
+
π
Bài 2: tính các tích phân sau
a/ I =
∫
e
dxx
1
.ln

3
=+=
+
−
−
∫
x
x
dx
• Nguyên nhân sai lầm: hàm số
2
1
+
=
x
y
không xác định tại
]1;3[2 −∈−=x
suy ra
không liên tục trên [-3;1] nên không sử dụng được công thức newton – leibnitz
như cách giải trên.
• Lời giải đúng : hàm số
2
1
+
=
x
y
không xác định tại
]1;3[2 −∈−=x

∫
−
3./ K =
∫
2
0
6
sin
π
x
dx
Ví dụ 2. Tính tích phân : I =
∫
−
2
0
cos2
sin
π
x
xdx
• Sai lầm thường gặp : Đặt :
xu cos2 −=
x
du
dxdxxdu
sin
.sin =⇒=⇔
Đổi cận :
2

2
;10 =⇒==⇒= uxux
π
Vậy : I =
2lnln
2
1
2
1
==
∫
u
u
du
Chú ý : Khi làm bài tập về tích phân đổi biến cần chú ý
- Đổi cận.
- sau khi đổi cận ta làm hoàn toàn trên biến mới và cận mới mà không còn biến cũ
suất hiện trong phép tính tích phân khi ta đã đổi cận.
Ví dụ 3 : Tính tích phân sau : I =
∫
+
π
0
sin1 x
dx
* Sai lầm thường gặp : Đặt :
dx
x
dx
x

sin1
1
t
t
x
+
+
=
+
Do đó ta có :
( ) ( )
c
t
tdt
t
dt
t
dt
t
t
x
dx
+
+
−=++=
+
=
+
+
+

+
+
+
−
=
+
−=
+
∫
π
π
π
x
x
dx
Do tan
2
π
không tồn tại nên tích phân trên không xác định.
• Nguyên nhân sai lầm :
Đặt :
2
tan
x
t =
, vì
];0[
π
∈x
tại

42
(cos
)
42
(
)
42
(cos2)
42
(2cos1)
2
cos(1
sin1
x
x
d
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
=
2
4
tan
4
tan

cos1 x
dx
Ví dụ 4 : Tính tích phân sau
a.) I =
dxx.sin1
2
0
∫
+
π
b.) J =
dxxx .12
2
0
2
∫
+−
Sai lầm thường gặp :
I =
dxx.sin1
2
0
∫
+
π
=
2
.
2
cos

+
ππ
= 2
( ) ( )
40sin0cos2sincos2
2
sin
2
cos
2
0
=+−−+−=






+−
ππ
π
xx
Nguyên nhân sai lầm :
2
.
2
cos
2
sin2.
2

AA =
2
do đó
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
xxxx
+=






+
Lời giải đúng :
I =
dxx.sin1
2
0
∫
+
π
=






+=






+
∫∫
42
.
42
sin22.
42
sin2
2
0
2
0
πππ
ππ
x
d
x
dx

∫∫
42
.
42
sin22
42
.
42
sin22
2
2
3
2
3
0
ππππ
π
π
π
x
d
xx
d
x
=
24
42
cos22
42
cos22

0
2
1
)1(.1.1.1.12
2
0
2
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
=
−
=−−=−=−=+−
∫∫∫∫
x
xdxdxxdxxdxxx
* Nguyên nhân sai lầm :
Phép biến đổi
( )
11
2
−=− xx
, với

1
2
1
2
1
0
2
=+=
−
+
−
−
xx
7
Chú ý : + đối với giá trị tuyệt đối
( )
)()(
2
2
xfxf
n
n
=
, với
Nnn ∈≥ ,1
+
( )
dxxfdxxf
b
a

22
∫
−+
π
π
Ví dụ 5.Tính tích phân : I =
dx
x
x
.
1
1
1
1
4
2
∫
−
+
−
• Sai lầm thường gặp :
I =
dx
x
x
x
x
x
x
.



−
=
+
−
Đặt : t =
dx
x
dt
x
x .
1
1
1
2






−=⇒+
Đổi cận :
21
−=⇒−=
tx
;
21
=⇒=



−
−
+
−=
−
∫∫
ttdt
tt
t
dt
=
2
2
2
2
ln
22
1
−
−
+
−
t
t
= -
22
1
ln

cho
2
x
là sai vì trong [-1;1] chứa
0=x
nên ta không thể chia cả tử và mẫu cho
2
x
được.
• Lời giải đúng :
8
Ta thấy
12
12
ln
22
1
)(
2
2
++
+−
=
xx
xx
xF
có đạo hàm

4
2

=
Do đó : I =
223
223
ln
22
1
12
12
ln
22
1
.
1
1
1
1
2
2
1
1
4
2
+
−
=
++
+−
=
+

Đối tượng
Giỏi Khá TB Yếu
12B 0% 2% 38% 60%
Kiểm tra trên lớp 12B(41 học sinh) áp dụng sáng kiến.Cho kết quả như sau:
Xếp loại Giỏi Khá TB Yếu
9
Đối tượng
12B
55% 35% 10% 0%

Sau khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm học sinh học tập rất tích cực và hứng
thú,đặc biệt là các bài toán về tích phân từng phần các em rất thành thạo phân
loại bài tập, cách đặt u,dv. Và các em cũng rất thận trọng trong quá trình tính
tích phân,các em hiểu rỏ bản chất của vấn đề chứ không rập khuôn một cách
máy móc như trước,đó là việc phát huy tính tích cụa,chủ động,sáng tạo của
học sinh.
PHẦN C: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
I. KẾT LUẬN
10
Nguyên cứu , phân tích phương pháp tính tích phân từng phần và những
sai lầm khi tính tích phân của học sinh có ý nghĩa rất quan trọng trong quá
trình dạy và học vì khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này sẽ giúp học
sinh nhìn thấy được những điểm yếu và những hiểu biết thật thấu đáo của
mình về vấn đề này từ đó phát huy ở học sinh tư duy độc lập , năng lực
suy luận , tích cực chủ động củng cố trau dồi thêm kiến thức về tích phân
từ đó làm chủ được kiến thức , đạy được kết quả cao trong quá trình học
tập và các kỳ thi tuyển sinh vào các trường đại học , cao đẳng .
II. KIẾN NGHỊ
Hiện nay Trung Tâm GDTX Tĩnh Gia đã có một số cuốn sách tham khảo,
nhưng chưa phong phú đặc biệt chưa có một cuốn sách nào viết về sai lầm

III. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiêm 9
1. Kết quả thực tế 9
2. Kết quả thực nghiệm 9
PHẦN C: KẾT LUẬN VÀ KIẾNNGHỊ 11
I. Kết luận 11
II. Kiến nghị 11
Tài liệu tham khảo 12
13