0
LỜI NÓI ĐẦU
Cuốn CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC được viết dựa trên tinh thần
mong muốn có một cuốn tài liệu ôn thi hữu ích tổng hợp và đẩy đủ các phương pháp giải các
dạng toán trong cấu trúc đề thi TSĐH của Bộ giáo dục và đào tào đồng thời phát triển tư duy
giải toán của học sinh. Đây là tâm huyết của tác giả và là mong muốn thời học sinh của tác
giả. Mục tiêu của cuốn tài liệu là cung cấp các dạng toán thông qua các chuyên đề, mỗi dạng
toán sẽ được tác giả tóm lược phương pháp giải kèm theo hệ thống bài tập mẫu và bài tập đề
nghị hay và phong phú , mỗi bài toán đều chứa tính sáng tạo chắc chắn sẽ làm bạn đọc thấy
thú vị và đam mê. Vì thế không đòi hỏi các bạn phải nhớ phương pháp giải mỗi dạng toán mà
phát triển tư duy toán học của bạn đọc, với bài toán cụ thể bạn đọc sẽ tìm được cách giải
nào. Mong muốn đây sẽ là tài liệu hữu ích cho bạn đọc những ai thực sự đang ước mơ bước
chân vào cánh cửa giảng đường đại học. Cuốn tài liệu này được viết theo 15 chuyên đề:
Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan.
Chuyên đề 2: Điều kiện để phương trình – hệ phương trình có nghiệm.
Chuyên đề 3: Phương trình lượng giác.
Chuyên đề 4: Phương trình, bất phương trình vô tỷ.
Chuyên đề 5: Hệ phương trình.
Chuyên đề 6: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ, logarit.
Chuyên đề 7: Tích phân và ứng dụng.
Chuyên đề 8: Hình học không gian.
Chuyên đề 9: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức.
Chuyên đề 10: Hình học giải tích trong mặt phẳng.
Chuyên đề 11: Hình học giải tích trong không gian.
Chuyên đề 12: Ba đường Cônic.
Chuyên đề 13: Các bài toán về số phức.
Chuyên đề 14: Nhị thức Newton và ứng dụng.
Chuyên đề 15: Các bài toán đếm và số cách chọn tổ hợp.
Xin được bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới sự giúp đỡ và động viên tinh thần của thầy cô, bạn
bè và gia đình trong thời gian hoàn thiện cuốn sách.
Chuyên đề 9: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng
thức………………………………………………………………………… 590
Chuyên đề 10: Hình học giải tích trong mặt phẳng…………………………… 648
Chuyên đề 11: Ba đường Cônic…………………………………………… 678
Chuyên đề 12: Hình học giải tích trong không gian…………………………….690
Chuyên đề 13: Các bài toán vế số phức…………………………………… 732
Chuyên đề 14: Nhị thức NEWTON và ứng dụng………………………… 754
Chuyên đề 15: Các bài toán đếm và số cách chọn tổ hợp………………… 784
TÀI LIỆU THAM KHẢO:……………………………………………………………798
3
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
LIÊN QUAN Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
5
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Hàm đa thức bậc ba
Cho hàm số
3 2
2 1
y x x m x m
,
m
là tham số thực.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi
1
m
.
Trình bày:
Khi
1
m
ta có hàm số
3 2
2 1
y x x
.
; nghịch biến trên khoảng
4
0;
3
.
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại
0; 1
CÐ
x y
, đạt cực tiểu tại
4 5
;
3 27
CT
x y .
- Giới hạn:
lim ;
x
y
lim
x
y
Khi
1m
, ta có hàm số
4 2
4 1.y x x
+ Tập xác định D
+ Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
3
4 8 ; ' 0 0y x x y x hoặc
2x
HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
8
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Hàm số nghịch biến trên các khoảng
; 2
và
0; 2 ;
đồng biến trên các khoảng
2;0
và
2;
Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C của hàm số đã cho.
Trình bày:
HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
9
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam + Tập xác định:
1\D
+ Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
2
1
0,
tiệm cận đứng
1x
.
- Bảng biến thiên:
+ Đồ thị: 1
;0
2
0;1 . BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Phương pháp:
HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
10
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Ta thường biến đổi bất phương trình
'( ) 0
f x
thành hai vế một vế là hàm của
x
còn một vế chứa
tham số
m
.
Có hai dạng bất phương trình sau
;
( ) ( ), ; ( ) min ( )
x a b
f x g m x a b g m f x
.
;
( ) ( ), ; ( ) max ( )
x a b
f x g m x a b g m f x
.
Trong đó
' 1 2 3 2
y m x mx m
Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định khi và chỉ khi
2
1 0
1
' 0, 2
2 1 2 0
' 1 3 2 0
m
m
y x m
m m
m m m
\
D m
.
Ta có
2
2
4
'
m
y
x m
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi
2
' 0 4 0 2 2
y m m
.
Để hàm số nghịch biến trên khoảng
;1
thì ta phải có
+ Tập xác định
D
.
Ta có
2
' 3 6
y x x m
Hàm số đồng biến trên khoảng
;0
khi và chỉ khi
2
;0
' 0, ;0 ( ) 3 6 , ;0 min ( )
x
y x m f x x x x m f x
Ta có
y x m x m m x
.
Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số đồng biến trên khoảng
2;
.
Lời giải:
+ Tập xác định
D
.
Ta có
2
' 6 6 2 1 6 1
y x m x m m
có
2
khi và chỉ khi
1 2 1
m m
.
Bài 5. Cho hàm số
4 2
2 3 1
y x mx m
.
Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số đồng biến trên khoảng
1;2
.
Lời giải:
+ Tập xác định
.
D
Ta có
1;2
khi và chỉ khi
1 1
m m
.
Vậy giá trị cần tìm của
m
là
;1
.
HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
12
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 6.Cho hàm số
3 2
1 2 2 2
y x m x m x m
2
' 3 2 1 2 2 0, 0;y x m x m x
2
3 2 2 1 4 0, 0;x x m x x
2
0;
3 2 2
( ) , 0; min ( )
1 4
x
x x
f x m x m f x
x
suy ra
0;
1 73 3 73
min ( )
12 8
x
f x f
.
Vậy
3 73
8
m
là giá trị cần tìm.
Bài 7. Cho hàm số
3 2
1
2 2
3
y x x mx
.
' 4 0, ;1
y x x m x
2
;1
( ) 4 , ;1 max ( )
x
m f x x x x m f x
Ta có
;1
'( ) 4 2 0, ;1 max ( ) (1) 3
x
f x x x f x f
.
Vậy
3
m
là giá trị cần tìm.
Vậy hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 1 khi và chỉ khi phương trình
' 0
y
có 2
nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
1
x x
.
Điều này tương đương với
2
2
2
1 2
1 2 1 2
1
' 1 0
(*)
1
4 1
m
m
2
1
5
2
4 4 1
m
m
m
.
Vậy
5
2
m
là giá trị cần tìm.
Bài 9. Cho hàm số
2 2
' 3 2 1 2 3 2 .
y x m x m m
Hàm số đồng biến trên
2;
khi và chỉ khi
' 0, 2
y x
.
2 2
( ) 3 2 1 2 3 2 0, 2;f x x m x m m x
Vì tam thức
( )
f x
có
2
' 7 7 7 0,
1 2
; , ;x x
. Vậy hàm số đồng biến
trên đoạn
2;
khi và chỉ khi
22
2
5 0
5
3
2 ' 5 2 .
2
2 6 0
' 5
m
m
x m m
m m
m
3 2
1
1 3 2 1
3
y mx m x m x
Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số đồng biến trên
2;
.
Lời giải:
+ Tập xác định
D
.
Ta có
2
' 2 1 3 2
Ta có
2
2
2
2
2 6 3
'( ) 0 6 3 0 3 6 2
2 3
x x
f x x x x
x x
.
Lập bảng biến thiên của hàm số
( )
f x
trên
2;
Tìm các giá trị của tham số
m
để hàm số đồng biến trên tập xác định.
1.2. Cho hàm số
4
x m
y
x m
. Tìm các giá trị của tham số
m
để hàm số nghịch biến trên
khoảng
1;
1.3. Tìm các giá trị của tham số
m
để hàm số
3 2
1 4 3
y x m x x
nghịch biến trên tập
2;
.
1.6. Cho hàm số
3 2
3
y x x mx m
. Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài
bằng 1.
1.7. Cho hàm số
3 2
4 3
y x m x mx
. Tìm m để
a. Hàm số đồng biến trên
HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
15
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
b. Hàm số đồng biến trên
3 2
3 1 4
y x x m x m
nghịch biến trên khoảng
1,1
.
1.10. Tìm m để hàm số
3 2
1
3 2
3
m
y x mx m x
đồng biến trên
1.11. Tìm m để hàm số
3 2
1
2 1 1
3
y mx m x m x m
đồng biến trên khoảng
x
y
x m
. Tìm m để
a. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b. Hàm số đồng biến trên khoảng
0,
KHẢO SÁT SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PT, HPT Phương pháp:
Xét hàm số
( )
f x
liên tục trên miền
D
- Nếu
( )
f x
Bài 1. Chứng minh rằng phương trình
5 2
2 1 0
x x x
có đúng 1 nghiệm thực.
Lời giải:
HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
16
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Phương trình tương đương với :
2
5
1 0 0
x x x
. Với
2
0 1 1
x x
. Khi đó để
phương trình có nghiệm thì
5
1 1
f x
đơn điệu tăng trên
1,
. Do đó nếu có nghiệm thì phương trình đã cho sẽ
có nghiệm duy nhất.
Mặt khác ta lại có
(1) 3; (2) 23 (1) (2) 0
f f f f
. Vậy phương trình đã cho có nghiệm thực duy nhất.
Bài 2. Chứng minh rằng phương trình
.2 1
x
x
có nghiệm thực duy nhất trong khoảng
0,1
.
Lời giải :
Xét hàm số
( ) .2 1
x
0,1
.
Bài 3. Chứng minh rằng phương trình
2
1
x
e
x
x
có nghiệm thực duy nhất trên đoạn
1
,1
2
.
Lời giải :
Phương trình tương đương với :
2
1
x
e x x
Ta có
2
1 2 2 1 1
'( ) 1 0, ,1
1 1 2
x x
f x x
x x x x
. Nên
( )
f x
đơn điệu giảm trên doạn
1
,1
2
. Mặt khác ta có
1 1 3
(1) 1 2ln2 0; ln2 2ln 0
2 2 2
f f
Lời giải :
Điều kiện :
0
x
.
Lấy logarit tự nhiên hai vế của phương trình ta được :
1 ln ln 1 0
x x x x
.
Xét hàm số
( ) 1 ln ln 1
f x x x x x
trên khoảng
0,
.
.
Ta có
2
1
'( ) 0
g x
x
, nên hàm số
( )
g x
đơn điệu giảm trên khoảng
0,
.
Mặt khác ta có
2 1
lim ( ) lim ln 0
1 1
x x
x x
g x
x x x
x
x x
x
f f x x
x
Từ đó suy ra phương trình
( ) 0
f x
có nghiệm duy nhất
0
1,x
. Ta có đpcm. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
x x x x x x
có nghiệm thực duy nhất.
1.5. Chứng minh rằng phương trình :
*
2
1 1 1 1
0,
1 2
n
n
x x x x n
luôn có nghiệm thực duy nhất thuộc khoảng
0,1
.
1.6. Chứng minh rằng phương trình :
lg sin
x x
có đúng một nghiệm thực trên đoạn
3 5
,
2 2
. Chứng minh rằng phương trình :
2 1 2
1 3 2 2012 0
n n n
n x n x
.
1.9. Chứng minh rằng với mọi m thì phương trình sau luôn có nghiệm duy nhất
3 2 2 3
3 1 3 1 1 0
x m x m x m
.
1.10. Chứng minh rằng phương trình
3 2
3 1 0
x x
có ba nghiệm phân biệt
1.12. Chứng minh rằng với mọi m thì hệ sau luôn có nghiệm
2008 2008
2
( ) ( ) 0
4 1
f x f y
x m y
, trong đó
2 2
( ) 3 2 2 3
f x x x x x
BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong
( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
có nghiệm
0
x
.
Tương giao với hàm đa thức bậc ba:
(i). Xét phương trình:
3 2
0 (*), 0.
y ax bx cx d a
Khi đó phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đồ thị hàm số
( ) ( ) 0 (*)
f x g x
HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
19
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Khi đó phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm
phân biệt khác
1
x
.
2
1
0
4 0
( ) 0
a
p q
g x
i.2- Định lý Vi-ét
1 2 3
1 2 2 3 3 1
1 2 3
(1)
(2)
(3)
3
3 3 3
1 2 3 1 2 3 3 1 2 1 2 3
3
x x x x x x x x x x x x
i.3- Phương trình (*) có ba nghiệm lập thành cấp cố cộng khi
1 3 2
2
x x x
thay vào (1) suy ra
2
3
b
x
a
, lúc này thay ngược vào phương trình (*) ban đầu sẽ tìm ra giá trị của tham số cần tìm.
Tuy nhiên đây chưa phải là điều kiện cần và đủ do đó với mỗi giá trị của tham số tìm được cần
giải lại phương trình xem phương trình có ba nghiệm lập thành cấp số cộng hay không. Lúc đó
mới chấp nhận giá trị của tham số đó hay không.
i.4- Một cách tương tự phương trình (*) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân thì
2
1 3 2
x x x
, lúc
HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
20
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
ii.2- Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt biệt có hoành độ
, khi và chỉ khi
phương trình
' 0
y
có hai nghiệm phân biệt
1 2
x x
và thỏa mãn
1 2
( ) 0
( ). ( ) 0
y
y x y x
, khi đó phương trình trở thành
2
( ) 0 (1)
g t at bt c
i.1- Phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân
biệt đều dương
2
0
4 0
0
0
a
b ac
b
S
a
c
P
a
Lưu ý: Dạng toán này luôn cần thiết sử dụng đến định lí Vi-ét.
BÀI TẬP MẪU Bài 1. Cho hàm số
3 2
2 1
y x x m x m
(1),
m
là tham số thực
HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
21
Dang Thanh Nam
2
1 0 1
x x x m x
hoặc
2
0 (*)
x x m
Đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai
nghiệm phân biệt, khác 1.
Kí hiệu
2
1 2
( ) ; 1,
g x x x m x x
và
3
x
là các nghiệm của (*).
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi
2 2
2 3
0 1 4 0
1
(1) 0 0 1
4
1 2 3
3
m
là giá trị càn tìm.
Bài 2.Cho hàm số
4 2
1
y x mx m
(1)
Tìm
m
để đồ thị hàm số
(1)
cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
4 2
1 0
x mx m
Đặt
2
0
t x
, khi đó phương trình trở thành
3 1
y x x mx
(1)
(
m
là tham số
)
Tìm
m
để đường thẳng
: 1
d y
cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt
0;1 ,
A
,
B C
sao cho
các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại
B
và
C
vuông góc với nhau.
Đường thẳng
d
cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai
nghiệm phân biệt, khác 0.
9 4 0
9
, 0.
(0) 0
4
m
m m
g m
Khi đó hoành độ của
,
B C
là nghiệm của phương trình (*)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại
,
B C
lần lượt là
2 2
1 2
3 3 2 3 3 3 2 3 1
B B B C C C
x x m m x x x m m x
2
2 3 2 3 1 4 6 9 1(2)
B C B C B C
m x m x m m x x x x
Theo định lí Vi-ét ta có
3
B C
B C
x x
x x m
, khi đó (2) trở thành
2
9 65
4 9 1 0
Khi đó ' 0
y x m
Để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại đúng hai điểm khi và chỉ khi hoặc
0
CT
y
hoặc
CD
0
y
3
( ) 2 2 0 0 1
y m m m m m
3
( ) 2 2 0 0
y m m m m
Chỉ có
1
m
thỏa mãn điều kiện (*). Vậy giá trị cần tìm của m là
Phương trình hoành độ giao điểm:
4 2
2 1 2 1 0
x m x m
Đặt
2
0
t x
, khi đó phương trình trở thành
2
2 1 2 1 0 (*)
t m t m
Để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2
nghiệm đều dương
2
0
' 0
1
0 2 1 0 0 (2)
2
0
2 1 0
x x x x x x t t t t t
4
1 9 1 5 4 1
4
9
m
m m m m m m
m
thỏa mãn (2)
Vậy giá trị cần tìm của
m
là
4
;4
9
m
3 2 2
6 9 2 2 0 2 4 1 0
x x m x m x x x m
2
x
hoặc
2
4 1 0 (*)
x x m
Kí hiệu
2
( ) 4 1
g x x x m
. Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình (*) có hai
nghiệm phân biệt, khác 2
' 0 3 0
3
(2) 0 3 0
Lời giải:
HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
24
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Phương trình hoành độ giao điểm:
3 2
2 3 1 6 2 0
x m x mx
3 2 2
2 3 2 3 2 (*)
x x m x x
Nhận thấy
0, 2
x x
không là nghiệm của phương trình (*), khi đó phương trình (*) tương
đương với:
3 2
2
1 3,1 3
m
là những giá trị cần tìm.
Cách 2: Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại duy nhất một điểm thì xảy ra một trong hai khả
năng
1. Hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến.
2. Hàm số có cực đại, cực tiểu nhưng
CÐ
0
CT
y y
.
Bạn đọc tự làm theo hướng này và so sánh với kết quả trên. Bài 8. Cho hàm số
3
2
m
y x mx C
.
Tìm
m
để đồ thị
x
. Ta có
3
2
2 2
'( ) 0 1.
x
f x x
x
Ta có bảng biến thiên:
Copyright: Tài liệu đại học ©