Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
171

Chuyên đề 15:
HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LÔGARÍT

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT

TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ
1. Các đònh nghóa:

•
n
n thừa số
a a.a a
=
==
=




(n Z ,n 1,a R)
+
++
+
∈ ≥ ∈
∈ ≥ ∈∈ ≥ ∈
∈ ≥ ∈

1
a
a
−
−−
−
=
==
=

{
{{
{
}
}}
}
(n Z ,n 1,a R / 0 )
+
++
+
∈ ≥ ∈
∈ ≥ ∈∈ ≥ ∈
∈ ≥ ∈

•

m
n
m
n

2. Các tính chất :

•

m n m n
a .a a
+
++
+
=
==
=

•

m
m n
n
a
a
a
−
−−
−
=
==
=

•


Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
172

3. Hàm số mũ:
Dạng :
x
y a
=
==
=
( a > 0 , a
≠
1 )
•
Tập xác đònh :
D R
=
==
=

•
Tập giá trò :
T R
+

R

•

Đồ thò hàm số mũ : Minh họa:


)
' . ln . '
u u
a a a u
= (v
ớ
i u là m
ộ
t hàm s
ố
) a>1
y=a
x

y
x
1
0<a<1
y=a
x

y
x
1

1.5
2
2.5
3
3.5
x
y

y=2
x

y=
x






2
1

1
x
y
y
x
1
O
O

≠
>
0
1
0
N
a
a2. Các tính chất : •
a
log 1 0
=
==
=

•
a
log a 1
=
==
=

•
M
a

= −= −
= −
•

a a
log N .log N
α
αα
α
= α
= α= α
= α
Đặc biệt :
2
a a
log N 2.log N
=
==
=
3. Công thức đổi cơ số : •

a a b
log N log b.log N
=

log N log N
k
=
==
=
Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
174

4. Hàm số logarít:
Dạng
a
y log x
=
==
=
( a > 0 , a
≠
1 )

R

•

Đồ thò của hàm số lôgarít: Minh họa:

•
Đạ
o hàm c

ln '
u
u
u
=
(v
ớ
i u là m
ộ
t hàm s
ố
)

( )
1
log '
ln
a
x
x a
= và
( )
1
log '
ln
a
x
x a
=


y=log
a
x
1
x
y
O
f(x)=ln(x)/ln(1/2 )
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
yy=log
2
x
x


y=log
a
x
1
y
x
O
Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

175

5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:

1. Đònh lý 1: Với 0 < a
≠
1 thì : a
M
= a
N

⇔
M = N

2. Đònh lý 2: Với 0 < a <1 thì : a
M
< a
N

⇔

M < log
a
N
⇔
M < N (đồng biến) III. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
D
ạ
ng c
ơ
b
ả
n:
x
a m
=
(1)
•

m 0
≤
: ph
ươ
ng trình (1) vơ nghi
ệ
m
•


2 4
− +
=

3)
x x 2 x 1 x 1
1 1
3.4 .9 6.4 .9
3 2
+ + +
+ = −

Ví du 2ï :
Giải các phương trình sau
1)
x 10 x 5
x 10 x 15
16 0,125.8
+ +
+ ++ +
+ +
− −
− −− −
− −
=
==
=

2)
x 5 x 17

5.2 7. 10 2.5
= −

4)
x x
( 2 3 ) ( 2 3 ) 4
− + + =
− + + =− + + =
− + + =

5)
(
)
(
)
x x
5 2 6 5 2 6 10
+ + − =

6) 322
2
2
2
=−
−+− xxxx

7) 027.21812.48.3 =−−+
xxxx

8) 07.714.92.2

2)
xxx
27.2188 =+
(x=0)
3)
13
250125
+
=+
xxx
(x=0)
4)
12
21025
+
=+
xxx
(x=0)
5)
x x
( 3 8 ) ( 3 8 ) 6
+ + − =
(
)2
±
=
x
6)
xxx
8.21227 =+

− + − +
− +
+ = +

5)
( )
2
2 2
x 1
x x 1 x
4 2 2 1
+
+ −
+ = +
4. Phương pháp 4: Lấy lơgarít hai vế theo cùng một cơ số thích hợp nào đó
(Ph
ương pháp lơgarít hóa)
Ví dụ : Giải phương trình
1)
2
x 1 x x 2
3 .2 8.4
− −
=
2)
1
5 .8 500

Phương pháp chiều biến thiên hàm số
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1) 3
x
+ 4
x
= 5
x

2) 2
x
= 1+
x
2
3

3)
x
1
( ) 2x 1
3
= +
= += +
= +

4)
3 x 2
2 x 8x 14
−
= − + −

∀ ∈
»
:
m
a
log x m x a
= ⇔ =

1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng :
a a
log M log N
=
==
=
(đồng cơ số)

Ví dụ :
Giải các phương trình sau :
1)
2
2 1
2
1
log log (x x 1)
x
= − −

2)
[
]

3)
)3(log)4(log)1(log
2
1
2
2
1
2
2
xxx −=++−
(
141;11
+−=−=
xx
)
4)
( ) ( ) ( )
8
4 2
2
1 1
log x 3 log x 1 log 4x
2 4
+ + − =
(
)
x 3; x 3 2 3
= = − +
5)
( ) ( ) ( )

4 2 2 4
log log x log log x 2
+ =

4)
x 3 3
x
1
log 3 log x log 3 log x
2
+ = + +

5)
(
)
2
x 25
log 125x .log x 1
=

6)
x x x
16 64
log 2.log 2 log 2
=
7)
2
5x 5
5
log log x 1

4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất.

(thường là sử dụng công cụ đạo hàm) * Ta thường sử dụng các tính chất sau:
•
Tính chất 1:
Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có
không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x
0

∈
(a;b) sao cho
f(x
0
) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
•

Tính chất 2 :
Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong
khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) .
( do đó nếu tồn tại x
0

∈
(a;b) sao cho f(x
0
) = g(x
0

1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a
M
< a
N
(
, ,
≤ > ≥
)

Ví dụ
: Giải các bất phương trình sau :

3 6x
4x 11
2
x 6x 8
1) 2 1
1
2) 2
2
−
− −
+ +
>
 
>
 
 
−−
−
≥
≥≥
≥ 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.

Ví dụ
: Giải các bất phương trình sau :

x x
2x 1 x
1) 9 2.3 3
2) 5 5 4
+
< +
> +Ví dụ
: Giải các phương trình sau :
1)
2x x 2
2 3.(2 ) 32 0
+
++
+
− + <

+ >+ >
+ >

5)
52428
11
>+−+
++ xxx
( )20
≤
<
x
6)
11
21212.15
++
+−≥+
xxx
(
2
≤
x
)
Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

179

VI. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:

1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản :

2 4
log x 2log x 1 log 6 0
+ − + ≤

5)
1 3
2
x 1
log log 0
x 1
+
≥
−

Ví dụ :
Giải các bất phương trình sau :
1)
2
x
log (5x 8x 3) 2
− + >
− + >− + >
− + >

2)
− <
− <− <
− <
2 3
3

− ≤

6)
)12(log12log4)1444(log
2
555
++<−+
−xx

7)
(
)
(
)
x 2x 1 x
1 1
4 2
log 4 4 log 2 3.2
+
+ ≥ −
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số

Ví dụ
: Giải bất phương trình sau :
1)
2
2 2

2
3 2
log (3 2) 2.log 2 3 0
+
++
+
+ + − >
+ + − >+ + − >
+ + − >

2)
2
2x
x
log 64 log 16 3
+ ≥
+ ≥+ ≥
+ ≥

3)
2
3log
3)(log
2
2
2
>
+
+
x


=


6)





=+
=

4)(log)(log
)
3
1
()3(
22
2
yxyx
yxyx 2)






3)





=
+
+
=
+
y
yy
x
xx
x
22
24
452
1
23
8)





=+
=


5)



=+
=+
4loglog2
5)(log
24
22
2
yx
yx
4
xxx ++−=++
(
622;2 −== xx
)
3)
)2(loglog
37
+= xx
(x=49)
4)
)2(loglog
75
+= xx
(x=5)
5)
072.32.5
35
13
=+−
−
−
x
x
(x=1)
6)
3
28
12
2

2
log
2 =−
−
+
x
x
x
x
(
2,
2
1
== xx
)
9)
xxxx 26log)1(log
2
2
2
−=−+
(
2,
4
1
== xx
)
10)
x
x







<






112
2
1
2
1
36
( 1101
>
∨
<
<
∨
−
<
xxx )
4)
0128

(
2
1
5
2
<<−
x )
6)
xx
22
loglog2 >−
(
2
4
1
<≤
x )
7)
1)93(loglog
9
<−
x
x
(
10log
3
>
x )
8)
)13(log

x
xx
(-2 < x <-1) Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
182

Bài 3 :
Tìm tập xác đònh của các hàm số sau:
1.
2
1
2
3 2
log
2
x x
y
x
− −
=
+
2.
3 8
0,3
2
log ( 1)
2
2 8

xx ≠
sao cho
3
21
=+ xx
(m=4)
Bài 3:
Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu: 014)12(16).3( =++−++ mmm
xx

(
4
3
1 −<<− m )


(
)
1 1 1
2 2 2
log x 1 log x 1 log 7 x 1 (1)
− + + − − =Bài giải:
Điều kiện:
x 1 0 x 1
x 1 0 x 1 1 x 7
7 x 0 x 7
 
 
− > >
 
 
 
 
+ > ⇔ > − ⇔ < <
 
 
 
 
− > <
 
 
 


2x 1 49 14x x
x 14x 50 0
x 3

x 17
⇔ − + + − − =
 
⇔ − = −
 
 
 
⇔ − = −
⇔ − = − +
⇔ + − =

=

⇔

= −



So với điều kiện ta có nghiệm của pt(1) là
x 3
=Bài 2: Giải phương trình:
( ) ( ) ( )

  

 
+ > > −
 
 
 

Khi đó:

(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( )
( )( )
[ ]
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
1 1 1
4 4 4
1 1 1
4 4 4
1 1
4 4
2








So với điều kiện ta có nghiệm của pt(1) là
x 2 x 1 33
= ∨ = −

Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
184
Bài 3: Giải phương trình:
(
)
(
)
2
1
2 4
2
log x 2 log x 5 log 8 0 (1)
+ + − + =

( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2
2
2
1 log x 2 log x 5 log 8
log x 2 x 5 log 8
x 2 x 5 8
x 5
x 5
x 5
x 3 x 6
x 2 x 5 8 x 3x 18 0

2 x 5
2 x 5 2 x 5
3 17
x 2 5 x 8
x 3x 2 0
x
2
⇔ + + − =
⇔ + − =
⇔ + − =
>



 


⇔ ⇔ ⇔
− < <


 
− < < − < <
 


 






±

+ − =
− − =

=














Vậy nghiệm của phương trình (1) là
x 6
3 17
x
2

=


±

=


Bài 4: Giải phương trình:
1
2 2
2

(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2
2
1 log x 2 x 5 log 8
x 2 x 5 8
x 3 x 6
x 2 x 5 8 x 3x 18 0

3 17
x 2 x 5 8
x 3x 2 0
x
2
⇔ − + =
⇔ − + =

= − ∨ =


±

=



Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
185Bài 5: Giải phương trình:
( )
4 2
2x 1
1 1
log x 1 log x 2
log 4 2
+
− + = + +
(1) Bài giải:
Điều kiện:
x 1
x 1 0
1
2x 1 0
x
2

+ >
 
> − 




Khi đó:

( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
[ ]
( )
[ ]
( )( ) ( )
2 2 2
2 2
2
1 1 1 1
1 log x 1 log 2x 1 log x 2
2 2 2 2
log x 1 2x 1 log 2 x 2
x 1 2x 1 2 x 2
x 1
2x 3x 5 0
5
x
2
⇔ − + + = + +
⇔ − + = +


Điều kiện:
x 0
>

Khi đó:
(
)
2
2
2 2 2 2 2
2 1 log x
log 2x log 6 log 4x 1 log x log 6
4 x 2.3 4 x 2.3
+
+
− = ⇔ − =

Đặt
t
2
t log x x 2
= ⇒ =
, phương trình (2) trở thành:
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
186(
)

 
 
 
 
   
 
 
   
 
 
 
⇔ + − =
 
 
 
 
 
   
 
t
t
3 4
2 9
t 2
3 1
(loai)
2 2

 


x
4
=Bài 7: Giải phương trình:
( )
3 9x
3
4
2 log x .log 3 1
1 log x
− − =
−
(1) Bài giải:
Điều kiện:
3
x 0
x 0
1
9x 1 x
9
log x 1
x 3
>



3 3 3 3
2 log x 4 2 log x 4
1 1 1 (2)
log 9x 1 log x 2 log x 1 log x
− −
⇔ − = ⇔ − =
− + −

Đặt
3
t log x (t 2; t 1)
= ≠ − ≠
, phương trình (2) trở thành:

2
t 1
2 t 4
1 t 3t 4 0
t 4
2 t 1 t

= −
−

− = ⇔ − − = ⇔

=
+ −



)
x x+1
3 3
log 3 - 1 .log 3 - 3 = 6
(1) Bài giải:

Điều kiện:
− > ⇔ > ⇔ >
x x
3 1 0 3 1 x 0

Khi đó:
(
)
(
)
(
)
⇔ + − =
 
 
x x
3 3
1 log 3 - 1 . 1 log 3 1 6

Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
187

1 28 28
log 3 1 3 3 1 3 x log
27 27 27

•
Với
=
t 2
:
(
)
− = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
x x x
3 3
log 3 1 2 3 1 9 3 10 x log 10

Các nghiệm tìm được thỏa điều kiện.
Vậy pt(1) có hai nghiệm là
= =
3 3
28
x log ; x log 10
27Bài 9: Giải phương trình:
=
x 7
log 7x .log x 1
(1)

, pt trở thành:
>

>

 
 
+ = ⇔ ⇔ ⇔ =
 
 
 
+ − =
 
+ =
 



 

2
2
t 0
t 0
1 1
1 .t 1 t 1
1 1
t t 2 0
2 t
1 .t 1


Bài giải:
Điều kiện:

< − ∨ >


+ − >



>
− >



>

 
− ≠ ⇔ ≠ ⇔
  
≠
  

+ > > −
 
 
≠
+ ≠


]
(
)
( )
( )
− +
−
−
⇔ − + + − =
⇔ + + + =
+
2x 1 x 1
2x 1
2x 1
1 log 2x 1 x 1 2log 2x 1 4
1
1 log x 1 2 4
log x 1

Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
188

Đặt
(
)
−
= +
2x 1
t log x 1
, pt trở thành:

:
( ) ( )
−
=


+ = ⇔ + = − ⇔ − = ⇔

=


2
2
2x 1
x 0 (loai)
log x 1 2 x 1 2x 1 4x 5x 0
5
x
4

Vậy pt(1) có tập nghiệm là
{
}
=
5
S 2;
4Bài 11: Giải bất phương trình:

− +
⇔ ≥
− +
⇔ ≤
− +
⇔ ≤
<

⇔ 
− ≤ ≤ +


2
1 1
2 2
2
2
x 3x 2
1 log log 1
x
x 3x 2
1
x
x 4x 2
0
x
x 0

2 2 x 2 2



+ −
 
+ +
⇔ ⇔ > ⇔ > ⇔

 
>
+ +
+ +

 

> >
 
+ + 
2 2
2 2
2 2
6
x x x x
0 0
4 x 2
x x x 4
x 4 x 4
1 0
x 2
x 4 x 4
x x x x
log 0 1

2
x x x x
1 log log log 1 log 1
x 4 x 4
x x x x
log log 6 6
x 4 x 4
4 x 3
x 5x 24
0
x 8
x 4

So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là
− < < −


>


4 x 3
x 8

Bài 13: Giải bất phương trình:
(
)
(

x
2x 3 0 3
4
x
2

Khi đó:

(
)
(
)
(
)
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
⇔ − ≤ + +
⇔ − ≤ +
⇔ − ≤ +
⇔ − − ≤
⇔ − ≤ ≤
2
3 3
2
3 3
2
2
1 log 4x 3 2 log 2x 3
log 4x 3 log 9 2x 3


Ta có:
−
− − −
 
− ≤ ⇔ − − ≤
 
 
2
2 2 2
2x x
x 2x x 2x x 2x
1
9 2 3 9 2.3 3 0
3

Đặt
−
= >
2
x 2x
t 3 (t 0)
, bpt trở thành:
− − ≤ ⇔ − ≤ ≤
2
t 2t 3 0 1 t 3

Do
>
t 0

−
+ − < + +
x x 2
5 5 5
log 4 144 4 log 2 1 log 2 1
(1) Bài giải:
Ta có:

( )
( )
(
)
( )
( )
( )
−
−
−
 
⇔ + − < +
 
 
⇔ + < +
 
⇔ + < +
⇔ − + <
⇔ < < ⇔ < <

 
+
 
1
2
3
2x 3
log log 0
x 1Bài 2: Giải phương trình:

 
+ = −
 
 
x
3
1 6
3 log 9x
log x xBài 3: Giải phương trình:

(
)
(
)