HÌNH HỌC
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I) PHÉP CỘNG – TRỪ CÁC VÉC TƠ
1) Một số quy tắc – Tính chất áp dụng trong phép công trừ các véc tơ
 Quy tắc ba điểm : với ba điểm A, B, C bất kỳ ta có :
*
AB BC AC
 
  

*
ACBABC 

 Quy tắc hình bình hành : ABCD là hbh ta có :
AB AD AC
 
  

 Trung điểm của đoạn thẳng :
I là trung điểm của đoạn AB , với điểm M tuỳ ý ta luôn có :
*
0 IBIA

*
IM
MB
MA
2




0

+
a

=
a

(Tính chất của véc tơ – không )

a

+
b

=
b

+
a

(Tính chất giao hoán )
 (
a

+
b

) +
c

a


2) Tính chất : Với mọi véc tơ
a

và mọi số thực k. l ta có :
 k(l
a

) = (k.l)
a


 (k + l)
a

= k
a

+ l
a


 k(
a

+
b


b

cùng phương (
a


0

) thì
có một số thực k duy nhất sao cho
b

= k
a


4) Ba điểm thẳng hàng :
Ba điểm A , B , C thẳng hàng  ACkABk  :
5) Phân tích 1 véc tơ theo hai véc tơ không cùng phương :
Cho
a

và
b

không cùng phương . luôn có duy nhất cặp số thực k , l sao cho
blakx III) HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐÊCAC VUÔNG GÓC

yy
xx
vu


u

+
v

= (x + x’ ; y + y’)

u

-
v

= (x – x’ ; y – y’)
 k
u

= (kx ; ky)
2) Tọa độ của một điểm :
 Định nghĩa: M(x ; y) 
OM

= x
i

+ y

A B
I
x x
x
y y
y












 Toạ độ trọng tâm G của ABC :












0
x
y
( y
0
 0 )
y
M(x
0
; y
0
) B
y
0


A’ x
0
O A
x

2) TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC MỘT SỐ GÓC THƯỜNG DÙNG :
Độ
HSLG
0
o
30
o
45
o

2

0
Cos 1
3
2

2
2

1
2

0
1
2


2
2


3
2


-1
Tg 0
1
3



3) CÁC HỆ THỨC GIỮA CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC
Tỉ số lượng giác của hai góc bù nhau : (180
o
- ) và 
 sin(180
o
- ) = sin  cos(180
o
- ) = - cos
 tg(180
o
- ) = - tg  cotg(180
o
- ) = - cotg
Bi tập:
A. Vecto cùng phương, hai vecto bằng nhau:

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A,
B, C , D , O
a) Bằng vectơ
AB

;
OB


b) Có độ dài bằng 
OB

  
   
;
c)
MN PQ MQ PN
  
   
;
Bài 2: Cho ngũ giác ABCDE. Chứng minh rằng:
a)
0
AD BA BC ED EC
    
     
;
b)
AD BC EC BD AE
   
    

Bài 3: Cho 6 điểm M, N, P, Q, R, S. Chứng minh:
a) PNMQPQMN  . b) RQNPMSRSNQMP  .
Bài 4: Cho 7 ñieåm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chứng minh rằng :
a)
AB

+
CD

+


+
CD

+
EF

+
GA

=
CB

+
ED

+
GF


d)
AB

-
AF

+
CD

-

+
OD

+
OE

+
OF

=
0


b)
OA

+
OC

+
OE

=
0


c)
AB

+

CARS
Chứng minh rằng :
RF

+
IQ

+
PS

=
0


Bài 9: cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AC và BD. Gọi E là
trung điểm I J . CMR:
0
EA EB EC ED
   
    
.
Bài 10: Cho tam giác ABC với M, N, P là trung điểm AB, BC, CA. CMR:
a)
0
AN BP CM
  
   
; b)
AN AM AP
 

 
  

c) Với P sao cho
3
PA PB

 
. CMR với I bất ḱ :
3 2
IA IB IP
  
  

Bài 13: ( Hệ thức trọng tâm) Cho tam giác ABC có trọng tâm G:
a) CMR:
0
GA GB GC
  
   
. Với I bất ḱ :
3
IA IB IC IG
  
   
.
b) M thuộc đoạn AG và MG =
1
4
GA . CMR

Bài 1: Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh 2a. Tính độ dài các vectơ
., CBCABCBA 
Bài 2: cho h́nh thoi ABCD cạnh a.

0
60
BAD 
, gọi O là giao điểm của 2
đường chéo. Tính:
|
AB AD

 
| ;
BA BC

 
;
OB DC

 
.
Bài 3: Cho h́nh vuông ABCD cạnh a. Tính:

AC BD

 
;
AB BC CD DA
  

b) Lấy N thuộc BC sao cho BN = 2 NC v J thuộc EF sao cho 2EJ = 3JF.
CMR A, J, N thẳng hng.
c) Lấy điểm K là trung điểm EF. Tìm P thuộc BC sao cho A, K, P thẳng
hng.
Bài 3. Cho tam giác ABC và M, N, P là các điểm thoả mn :
3
MB MC O
 
  
,
3
AN NC

 
,
PB PA O
 
  
. CMR : M, N, P thẳng hng.
(
1 1 1
,
2 2 4
MP CB CA MN CB CA
   
     
).
Bài 4. Cho tam giác ABC và L, M, N thoả mn
2 ,
LB LC

. Xác định k để C, E, J
thẳng hng.
Bài 6. Cho tam giác ABC. I, J thoả mn :
2 , 3 2 =
IA IB JA JC O
 
    
. CMR :
Đường thẳng IJ đi qua G.
Bài 7: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm AM và
K là một điểm trên cạnh AC sao cho AK =
3
1
AC. Chứng minh ba điểm B,
I, K thẳng hàng
Bài 8: Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi các hệ thức
OACNAABOMABC  3; . Chứng minh MN // AC.
E. Phân tích vecto theo các vecto khác phương. Xác định vị trí một
điểm thoả mn một đẳng thức Vectơ:
Bài 1: Cho 3 điểm A, B, C. Tìm vị trí điểm M sao cho :
a)
MB MC AB
 
  
b)
2
MA MB MC O
  
   


2
AC
.
Tính
DE
và
DG
theo
AB
và
AC
. Suy ra 3 điểm D,G,E thẳng hàng
F. Hệ trục tọa độ
1.Trong mpOxy cho 4 điểm A (1 ;–2) B(0 ; 3) C(–3; 4) D(–1 ; 8) . Bộ ba
trong 4 điểm trên bộ nào thẳng hàng ĐS: A ; B ;D
2.Trong mpOxy cho 3 điểm A(1 ;–2) B(3 ; –1) C(–3 ; 5)
a.Chứng minh ABC l một tam gic .
b.Tìm tọa độ trọng tâm của tam gia1cABC .
c)Gọi I(0 ; 2) .Chứng minh A ; G; M thẳng hng.
d) Gọi D(-5;4) .Chứng minh ABCD l hình bình hnh.
3.Cho cc vecto
   
64
2
1
102 ;;; 





ĐS: I );(D; 50
2
3
2
3








9.Trong mpOxy cho 3 điểm M(-4 ; 1) N(2;4) P(2 ; –2) lần lượt là trung
điểm của 3 cạnh BC ; CA và AB của tam giác ABC.
a.Tìm A ; B ;C ĐS: A(8;1) B(-4;-5) C(-4;7)
b.Chứng minh 2 tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.
10.Cho tam giác ABC với A(–3;6) B(9;–10) C(-5;4) .
a.Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC . ĐS:
b.Tìm D sao cho BGCD là hình bình hành.
11.Cho 4 điểm A(-2 ; -3) B(3;7) C(0;3) và D(-4 ; -5) .
a.Chứng minh AB //CD b. Tìm giao điểm I của AD và BC ĐS (-12;-13)
Hướng dẫn:
I độ tọa tìm hệGiải - trình phương hệ raSuy-
BC phươngcùng BI vàAD phươngcùng AIBC;AD;BI;AITính 