A. Bài toán đếm
A. Bài toán đếm
I. Đếm các số thoả mãn các tính chất nào đó hình thành từ
tập X
Bài 1 (ĐHLN - 97): Cho các chữ số 0;2;4;5;6;8;9. Hỏi từ đó có thể lập đợc bao nhiêu số:
a) Có 3 chữ số khác nhau
b) Có 4 chữ số khác nhau và có chữ số 5
Bài 2 (ĐHQG - 97): Từ 0;1;3;5;7 có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không
chia hết cho 5
Bài 3 (HVNH - 99): Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và bốn chữ số còn lại là
2,3,4,5. Hỏi có bao nhiêu số nh thế nếu:
a) Năm chữ số 1 đợc xếp kề nhau
b) Các chữ số đợc xếp tuỳ ý
Bài 4 (ĐHCSND - 2000): Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9
Bài 5 (ĐHSP Vinh - 2000): Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó
chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trớc.
Bài 6 (ĐHSP Vinh - 99): Cho 8 chữ số 0;1;2; ;7. Từ 8 chữ số trên lập đợc bao nhiêu số mỗi số
gồm 4 chữ sô đôi một khác nhau và không chia hết cho 10.
Bài 7 (ĐHSP Vinh - 2000): Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của
mỗi số là số chẵn
Bài 8 (ĐH Huế - 2000): Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi từ đó có thể lập đợc bao nhiêu số
a) Chẵn có 4 chữ số khác nhau
b) Chia hết cho 5, có 3 chữ số và 4 chữ số khác nhau
c) Chia hết cho 9, có 3 chữ số và 4 chữ số khác nhau
Bài 9 (CĐSP HN - 99): Có 5 miếng bìa ghi một trong 5 chữ số 0;1;2;3;4. Lấy 3 miếng từ 5 miếng
bìa đặt lần lợt cạnh nhau từ trái sang phải đợc số gồm 3 chữ số. Có thể lập đợc bao nhiêu số có
nghĩa gồm 5 chữ số và trong đó có bao nhiêu số chẵn
Bài 10 (ĐHVL - 2000): Cho 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi từ tập 6 chữ số đó lập đợc bao nhiêu số:
a) Mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 5
b) Mỗi số có 5 chữ số khác nhau
Bài 11 (ĐHNT - 2001): Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập đợc bao nhiêu số gồm có 6 chữ số.

đó hãy tính tổng các số đó
Bài 19: Cho X =
{ }
0;1;2;3;4
. Hỏi từ tập X có thể lập đợc bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau, khi
đó hãy tính tổng các số đó
Bài 20: Có thể lập đợc bao nhiêu số có 8 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 3 lần, chữ số 3 xuất hiện
2 lần và các chữ số 4, 5, 6 xuất hiện mỗi chữ số 1 lần
Bài 21: Có thể lập đợc bao nhiêu số có 8 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 3 lần, chữ số 3 xuất hiện
2 lần và các chữ số 0, 5, 6 xuất hiện mỗi chữ số 1 lần
Bài 22 (HVNHTPHCM - 1999): Xét những số gồm 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và bốn chữ số
còn lại là 2,3,4,5. Hỏi có bao nhiêu số nh thế nếu:
a) Năm chữ số 1 đợc xếp cạnh nhau
b) Các chữ số đợc xếp tuỳ ý
Bài 23 (HVBCVT - 1999): Hỏi từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập đợc bao nhiêu số có 6 chữ
số khác nhau sao cho trong đó có mặt chữ số 0 và 1
Bài 24 (ĐH Huế - 2000): Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5. Từ các chữ số đã cho ta có thể lập đợc:
a) Bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau
b) Bao nhiêu số chia hết cho 5 và có 3 chữ số khác nhau
c) Bao nhiêu số chia hết cho 9 và có 3 chữ số khác nhau
Thầy giáo: Đặng Công Sơn
1
Bài 25 (ĐHĐà Lạt - 2000): Từ 3 chữ số 0; 1; 2 có thể tạo đợc bao nhiêu số có 5 chữ số trong đó có
đủ 3 chữ số trên
Bài 26: Có 5 thẻ đen và 5 thẻ trắng, đánh dấu mỗi loại theo các số 1,2,3,4,5. Có bao nhiêu cách sắp
xếp tất cả các thẻ này thành một hàng sao cho hai thẻ cùng màu không nằm liền nhau
Bài 27 (ĐHSPII - 2000): Có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 trong
đó chữ số 1 và 6 đều có mặt 2 lần, các chữ số khác đều có mặt đúng một lần
Bài 28 (ĐHSP Vinh - 2000): Tìm tất cả các số tự nhiên sao cho trong đó trong mi số đó chữ số
đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trớc nó

Bi 40: T 6 ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5 cú th lp c bao nhiờu s cú 5 ch s khỏc nhau sao cho luụn
cú mt ch s 1 v 2 nhng hai ch s ny luụn khụng ng cnh nhau
Bi 41: Hi cú bao nhiờu s t nhiờn cú 7 ch s sao cho luụn cú mt 3 ch s 1, 2, 3 nhng trong
3 ch s ny khụng cú 2 ch s no ng cnh nhau
Bi 42: Cho tp
{ }
X 0;2;3;4;5;6;7=
. Hi t tp X cú th lp c bao nhiờu s cú 5 ch s khỏc
nhau m khụng ln hn 47035
II. Đếm số phơng án
I.1. Bài tập
Bài 1: Từ nhà đến trờng có 4 con đờng đi khác nhau. Nam muốn đi theo một đờng và về theo một
con đờng. Số cách chọn đờng đi và về của Nam là bao nhiêu
Bài 2: ở một phờng, từ A đến B có 10 đờng đi. Một ngời đi từ A đến B rồi trở về bằng con đờng
khác
a) Ngi ú cú bao nhiờu cỏch i
b) Bit t B v A cú 2 con ng mt chiu, hi ngi ú cú bao nhiờu cỏch i
c) Bit t A n B cú 3 con ng mt chiu, hi ngi ú cú bao nhiờu cỏch i
d) Bit t A n B cú 2 con ng 1 chiu, t B v A cú 3 con ng 1 chiu, hi ngi ú cú bao
nhiờu cỏch i
Bài 3: Có 6 tem th khác nhau và 7 bì th khác nhau. Ngời ta muốn chọn từ đó ra 3 tem th và 3 bì th
và dán 3 tem th đã chọn lên 3 bì th đã chọn, một bì th chỉ dán 1 tem th. Hỏi có bao nhiêu cách dán
Bài 4: Một lớp học có 46 học sinh gồm 26 nam và 20 nữ. Ngời ta muốn chọn ra một ban chấp hành
gồm 3 học sinh
a) Có bao nhiêu cách chọn ban chấp hành
b) Có bao nhiêu cách chọn ban chấp hành có 1 nam và 2 nữ
c) Có bao nhiêu cách chọn ban chấp hành có ít nhất 1 nam
Thầy giáo: Đặng Công Sơn
2
Bài 5 (CĐSP - 99): Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nữ và 10 học sinh nam. Chọn ra một tốp ca

và d
2
.
Bài 12: Đội tuyển học sinh giỏi của một trờng gồm 18 học sinh trong đó có 7 học sinh khối 12, 6
học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè
sao cho mỗi khối có ít nhất 1 em đợc cử
Bài 13 (ĐH - Khối B - 2005): Một đội tình nguyện có 15 ngời gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao
nhiêu cách phân công đội tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam 1 nữ
Bài 14 (ĐH - Khối D - 2006): Đội thanh niên xung kích của một trờng phổ thông có 12 học sinh
gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ
sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nh vậy
Bài 15 (HVKTQS - 2000): Một đồn cảnh sát khu vực có 9 ngời. Trong ngày cần cử 3 ngời làm
nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 ngời làm nhiệm vụ ở địa điểm B, 4 ngời ở lại trực đồn. Hỏi có bao nhiêu
cách phân công
Bài 16 (HVQY - 2000): Xếp 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 bi xanh vào một dãy 7 ô trống
a) Hỏi có mấy cách xếp khác nhau
b) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 bi xanh xếp cạnh
nhau
Bài 17 (ĐHL - 1999): Một đoàn tàu có 3 toa I, II, III. Sân ga có 4 hành khách, có ít nhất 4 chỗ
trống
a) Có mấy cách xếp 4 khách lên 3 toa
b) Có mấy cách xếp 4 khách lên tàu có 1 toa có 3 trong 4 vị khách trên
Bài 18: Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn Toán, 4 cuốn Lý và 3
cuốn Hoá. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng cho 6 học sinh, mỗi học sinh một cuốn
a) Hỏi thày giáo có bao nhiêu cách tặng
b) Nếu thày chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn thuộc hai thể loại Toán và Lý.
Hỏi thày giáo có bao nhiêu cách tặng
c) Nếu thày giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong 3 thể loại Toán, Lý, Hoá
đều còn lại ít nhất 1 cuốn. Hỏi thày giáo có bao nhiêu cách tặng nh vậy
d) Giả sử A, B, C, là 3 học sinh yêu Toán, D, E là hai học sinh yêu Lý và F là học sinh yêu

Bài 26: Một lớp học có 40 học sinh cần cử ra ban cán sự lớp có 1 lớp trởng, 1 lớp phó và 3 uỷ viên.
Hỏi có bao nhiêu cách lập ra ban cán sự lớp
Bài 27 (ĐH Thăng Long - 1999): Một hộp đựng 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ
đánh số từ 1 đến 5, 4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4
a) Có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu cùng màu? 3 quả cầu cùng số?
b) Có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu khác màu? 3 quả cầu khác màu và khác số
Bài 28 (HVKTQS - 1998): Có n học sinh nam và n học sinh nữ ngồi quanh một bàn tròn. Có bao
nhiêu cách xếp để không có học sinh cùng giới ngồi cạnh nhau
Bài 29: Cần phải chia lớp học có 40 học sinh thành 4 tổ 1, 2, 3, 4, mỗi tổ 10 ngời. Hỏi có bao nhiêu
cách chia
Bài 30 (ĐHQGTPHCM D - 1999): Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau. Trong đó có
2 cuốn sách môn toán, 4 cuốn môn văn, 6 cuốn môn anh văn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả
các cuốn sách đó lên kệ dài, nếu mọi cuốn sách đợc xếp kề nhau, những cuốn sách cùng môn đợc
xếp cạnh nhau
Bài 31 (ĐHQGTPHCM A - 1998): Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế.
Ngời ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trờng A và 6 học sinh trờng B vào bàn nói trên. Hỏi có
bao nhiêu cách xếp trong mỗi trờng hợp sau
a) Bất cứ 2 học sinh nào ngồi gần nhau hoặc đối diện nhau thì khác trờng với nhau
b) Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trờng với nhau
Bài 32: Một cặp vợ chồng mời 2n ngời bạn dự tiệc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp đặt chỗ ngồi trên
bàn tròn sao cho vợ luôn ngồi chỗ đối diện với vợ
Bài 33 (ĐH Huế - Khối A - 1999): Một hộp đựng 4 bi đỏ, 5 bi trắng, 6 bi vàng. Ngời ta chọn từ hộp
đó 4 viên bi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ 3 màu
Bài 34 (HVKTQS - 2001): Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao
nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 học sinh sao cho ở mỗi tổ có học sinh giỏi và
mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh khá
Bài 35 (ĐH Nông nghiệp - Khối A - 2001): Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành 1 hàng
dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ 3 học sinh nữ
Bài 36 (ĐHSPTPHCM - 2001): Cho A là một tập hợp có 20 phần tử
a) Có bao nhiêu tập con của A


Thầy giáo: Đặng Công Sơn
4
b)
( )
10
49
10 11
49 49
12! 5! 4!
39A
B
38A A 13!4!

= +
+
c)
2
5 4 3 2
5
4 3 2 1
5 5 5 5
P P P P
C A
A A A A

= + + +
ữ

Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:

n n k 17
P C 2C C
D
A .P C
+

+ +
= +
I.2. Bài tập củng cố
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
3 7!4! 8! 9!
A .
2 10! 3!5! 2!7!

=
ữb)
2 5
5 10
2 5
A A
B
2P 14P
= +
c)
( )
3 2

( )
( )
( )
2
m 2 !
7!
A .
4! m 1 !
m m
+
=

+

b)
n
2
k 1
B
k!

=


c)
2 n
1
n n
n
1 n 1

Ơ
Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
k k k 1
n n 1 n 1
A A kA


= +
b)
( )
k 1
k
n 1
n
nC
C 1 k n; n, k
k


= Ơ
c)
( )
k k 1 k 2 k
n n n n 2
C 2C C C 2 k n; k, n

+
+ + = Ơ
Thầy giáo: Đặng Công Sơn

+ +
+ + +
+ = Ơ
b)
( ) ( )
k k 1 k
n n n
n.C k 1 C kC 0 k n; k, n
+
= + + Ơ
c)
( ) ( )
k k
0 1 2 3 k k
n n n n n n 1
C C C C 1 C 1 C

+ + + =

d)
k n k n k 1
m 2n 1 2n 1
k 1 n
n k 2 2n 1
C C C
1
C 2 C

+ +
+

+ + + = +
Bài 5: Cho n, m, k là các số nguyên không âm với
k m n
. CMR:
m k k m k
n m n n k
C .C C .C


=
Bài 6: Cho
0 m k n
k,m, n





Â
. Chứng minh rằng:
k 0 k 1 1 k m m k
n m n m n m n m
C .C C .C C .C C

+
+ + + =
III. Phơng trình bất ph ơng trình hệ ph ơng trình
Iii.1. bài tập
Bài 1: Giải các phơng trình sau:
1)

C 5A
+
+ +
=
6)
6 5 4
n n n
A A A+ =
7)
1 2 3 2
x x x
C 6C 6C 9x 14x+ + =
Bài 2: Giải các bất phơng trình sau:
1)
( )
4 n! n 1 ! 50 + + <
2)
3
n
A 15 15n+ <
3)
2 2 3
2x x x
1 6
A A C 10
2 x
+
4)
3 2
n n

A 14P


+
<
Bài 3: Giải các hệ phơng trình sau:
Thầy giáo: Đặng Công Sơn
6
1)
x x
y y
x x
y y
2A 5C 90
5A 2C 80

+ =


=


2)
y 3 y 2
5x 5x
y 2 y 3
4x 5x
7A A
4C 7C


( )
y y 1 y 1 y 1
x 1 x 1 x x
A yA : A : C 10 : 2 :1


+ =
Bài 5: Giải hệ bất phơng trình
2
2x
x y
*
A y 12
P 6
x,y
+

+






Ơ
Iii.2. bài tập củng cố
Bài 1: Giải các phơng trình sau:
1)
( )
n!

72
P
+
+

=
7)
( )
2 2
x x x x
P A 72 6 A 2P+ = +
8)
10 9 8
x x x
A A 8A+ =

9)
3 2
n n n 1
1
A 3A P
2
+
+ =
10)
x 1 x 2 x 10
x x x
C C C 1023

+ + + =

A
143
0
P 4P
+
+
<
4)
6 4
n n
C C<
5)
n 2 n 1
n 1 n 1
C C 100

+ +

6)
2 2
x 1 x
2C 3A 30
+
+ <
7)
4 3 2
n 1 n 1 n 2
5
C C A 0
4

A .P 240
+
+
+
=
Bài 4: Giải các hệ phơng trình sau:
1)
y y
x x
y y
x x
A 3C 80
A 2C 40

+ =


=


2)
5
x y 3 x y x y 5
x y
P 720A P
P 120
x,y
+ + + +



I. Giá trị của hệ số trong khai triển Niutơn
i.1. phơng pháp
i.2. bài tập
Bi 1: Khai trin
( )
5
x 2+
Bi 2: Khai trin
( )
5
2x 1-
Bài 3: Tìm số hạng thứ 5 trong khai triển của
( )
9
x 3
Bài 4: Tìm hệ số của x
6
trong khai triển của
( )
11
1 3x
Bài 5: Tìm hệ số của
8 9
x y
trong khai triển của
( )
17
2x 3y
Bài 6: Tìm hệ số của x
15

ố ứ
Bi 9: Tỡm h s khụng ph thuc vo x trong khai trin ca
15
3
2
2
x
x
ổ ử
ữ
ỗ
+
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Thầy giáo: Đặng Công Sơn
8
Bi 10: Tỡm h s ca x
8
trong khai trin ca
( )
6
2
1 x x+ +
i.3. bài tập củng cố
Bài 1: Tìm số hạng thứ 6 của khai triển:
( )
12

trong khai triển
( )
15
3
x xy+
Bài 8: Trong khai triển nhị thức
10
1
x
x

+
ữ

với
x 0
, hãy tìm số hạng không phụ thuộc x
Bài 9: Tìm hệ số của x
3
trong khai triển
12
1
2x
x


ữ

với
x 0

Bài 13: Tìm hệ số của x
4
trong khai triển nhị thức Niutơn
12
1
2x
x


ữ

Bài 9: Cho
( )
10
2 2 20
0 1 2 20
1 x 2x a a x a x a x+ + = + + + +
a) Tính
1 0 1 20
S a a a= + + +
b) Tính
2 20
2 0 1 2 20
S a 2a 2 a 2 a= + + +
c) Tính a
17
.
Bài 10: Tính hệ số của x
6
trong khai triển của

S C C C C= + + + +
7)
11 12 21
7 21 21 21
S C C C= + + +
8)
1 2 2 2n 1 2n 1 2n 2n
8 2n 2n 2n 2n
S 1 10C 10 C 10 C 10 C

= + +
9)
8 8 0 7 7 1 7 8
9 8 8 8 8
S 2 3 C 2 3 C 2.3.C C= + + + +
10)
9 9 0 8 8 1 8 9
10 9 9 9 9
S 2 5 C 2 5 C 2.5C C= + +
11)
2n 0 2 n 2 2 2n 4 4 2n
11 2n 2n 2n 2n
S 2 C 2 C 2 C C

= + + + +
Thầy giáo: Đặng Công Sơn
9
12)
2n 1 1 2n 3 3 2n 5 5 2n 1
11 2n 2n 2n 2n

n
4
6)
2n 1
2 1


7)
20
2
8)
2n
9
9)
8
7
10)
9
9
11)
n
3 1
2
+
12)
n
3 1
2

13) 0 14)