Chương 8: Hàm xấp xỉ - phép nội
suy
1. Hàm xấp xỉ
Một trong những tư tưởng cơ bản của phần tử hữu hạn là xấp xỉ
đại lượ
ng cần tìm trong mỗi miền con – phần tử V
e
. Điều này cho
phép kh
ả năng thay thế việc tìm nghiệm vốn phức tạp trên toàn
mi
ền V bằng việc tìm nghiệm trong phạm vi mỗi phần tử ở dạng
hàm x
ấp xỉ đơn giản. Vì vậy, bước quan trọng đầu tiên cần nói đến
là vi
ệc chọn hàm đơn giản mô tả gần đúng đại lượng cần tìm trong
ph
ạm vi mỗi phần tử. Hàm đơn giản thường được chọn ở dạng đa
thức vì 3 lí do sau:

+ Đa thức khi được xem như tổ hợp tuyến tính của các đơn thức
thì t
ập hợp các đơn thức thỏa mãn yêu cầu độc lập tuyến tính như
yêu cầu của Rits, Galerkin.
+ Hàm xấp xỉ ở dạng đa thức thường dễ tính toán, dễ thiết lập
công th
ức khi xây dựng các phương trình của phương pháp phần
t
ử hữu hạn và tính toán bằng máy tính. Đặc biệt dễ đạo hàm, tích
phân.
+ Có khả năng tăng độ chính xác bằng cách tăng số bậc của đa

tại điểm cơ sở.
Hình 2.2. Hàm nội suy Hecmit
3. Chọn bậc đa thức xấp xỉ (hay hàm xấp xỉ )
Khi chọn bậc của đa thức xấp xỉ cần xét tới những yêu cầu sau:
Các đa thức xấp xỉ phải thỏa mãn điều kiện hội tụ: Đây là một
yêu c
ầu quan trọng vì phương pháp phần tử hữu hạn là phương
pháp số và do đó phải đảm bảo được rằng khi kích thước phần tử
giảm đi thì kết quả sẽ hội tụ đến nghiệm chính xác. Muốn vậy đa
thức xấp xỉ u
e
phải thỏa mãn 3 điều kiện sau:
 Liên tục trong phần tử V
e
 Bảo đảm tồn tại trong phần tử trong trạng thái đơn vị ( hằng
s
ố ) và các đạo hàm riêng của nó đến bậc cao nhất mà phiếm hàm
I(u) đòi hỏi.
I(u) =
, ,, ( )
( , , , , , )
r
V
F x u u u u dx

Trên biên phần tử, u và các đạo hàm của nó đến cấp (r – 1) là
liên t
ục.
Các đa thức xấp xỉ được chọn sao cho không làm mất tính đẳng
hướng của hình học. Có như vậy các xấp xỉ mới độc lập với hệ tọa





1 2, 3 4, 5 6
, , , , ,
, , ,
T
i i j j k k
e
T
e
q u v u v u v
q q q q q q


Tóm lại: Nếu phần tử e có r nút và mỗi nút có s bậc tự do thì
vectơ chuyển vị nút phần tử {q}
e
có số thành phần n
e
= s x r
Trong ph
ần tử hữu hạn các đa thức xấp xỉ được biểu diễn theo
vectơ các bậc tự do phần tử {q}
e
hay người ta nói rằng các đa thức
này được nội suy theo {q}
e
.

) và chỉ chứa tọa độ các điểm nút
ph
ần tử.



 


'
1
e
a A q

 (2.4)













1
( , , ) ( , , ) ( , ,

ận hàm dạng
Ví d
ụ: Tìm ma trận hàm dạng của phần tử lăng trụ chịu kéo – nén
d
ọc trục (hình dưới)
Nên đa thức xấp xỉ u(x) đòi hỏixấp xỉ tuyến tính:
U(x) = a
1
+ a
2
x (0 ≤ x ≤ L )

   


1
2
1 ( )
a
x P x a
a



 
 





L L
N du
U dx E J dx
E J dx
 
 
 
 
 
Thực hiện đồng nhất phương trình 2.2 ta có:

Vậy:
 


 
1
2
1
( )
1 0
1
( )
1 0
1 1
P x
A
L
P x
A

 
 
 
 
   
 
 
 

 
 
 



1 2
( ) ( )
N x N x
 (2.6)
Cu
ối cùng ta có thể biểu diễn đa thức xấp xỉ chuyển vị dọc trục
theo các chuyển vị nút phần tử:
 


1
2
( ) 1
e
e

 
   
 
 

Các hàm N
i
(x) trong 2.6 còn có tên là các hàm nội suy
Lagrange bậc1 có đồ thị như trên.