SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Giáo viên: Đoàn Minh Kế Trường THPT số 1 Quảng Trạch

1SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN HÀM SỐ

1.Đặt vấn đề
Chúng ta đã biết,định nghĩa Đạo hàm được xây dựng dựa vào giới hạn của hàm
số.Bản chất Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x
0
chính là giá trị của giới hạn
dạng
0
lim
xx®
=
0
0
)()(
xx
xfxf
-
-
(1). Do đó để tính đạo hàm của hàm số tại một điểm ta phải tìm
giới hạn (1).Trong bài viết này, tôi xin giới thiệu đến các em học sinh con đường
ngược lại.Tức là để tìm giới hạn ta lại đi tính đạo hàm .Đạo hàm là một lĩnh vực quan
trọng của giải tích thể hiện ở rất nhiều ứng dụng trong việc giải toán THPT. Đạo hàm
được giảng dạy ở cuối lớp 11, ngay sau chương giới hạn, rồi xuyên suốt chương trình
lớp 12 và ôn thi đại học, cao đẳng.Bên cạnh các phương pháp tìm giới hạn hàm số

-
-
thì giới hạn đó
được gọi là đạo hàm của hàm số
( )
y f x
=
tại
0
( ; )
x a b
Î , kí hiệu là
'
0
( )
f x
.
Tức là
0
'
0
0
0
( ) ( )
lim ( )
x x
f x f x
f x
x x
®

chúng,thêm bớt các biểu thức phù hợp, công thức nhị thức Newton,…là nặng nề thì
học sinh chỉ phải dùng định nghĩa đạo hàm.

SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Giáo viên: Đoàn Minh Kế Trường THPT số 1 Quảng Trạch

2*Nội dung
Bài 1 Tìm các giới hạn sau:
1)
0
1 1
lim
x
x
x
®
+ -
2)
3
0
1 1
lim
x
x

ax
x
®
+ -

Giải
Ta nhận thấy các câu trên đều có thể dùng biểu thức liên hợp để trục căn thức, sau đó
phân tích thành nhân tử và thu gọn đưa về dạng xác định để tính. Tuy nhiên, với đa số
học sinh thì việc tìm liên hợp của các câu số 3,4,5 không đơn giản. Ở đây, cần chỉ cho
học sinh thấy sự tương tự trong các câu trên của dạng biểu thức cần tính giới hạn, đó
là dạng
0
( ) 1
lim
x
f x
x
®
-
. Phân tích kỹ hơn ta thấy
1 (0)
f
=
và mẫu thức chính là hiệu
0
x x
-

với
0

n
y f x ax
= = +
có

'
' ' '
1 1
(1 )
( ) ( 1 )
(1 ) (1 )
n
n n
n n
ax a
y f x ax
n ax n ax
- -
+
= = + = =
+ +

Từ đó,
'
(0)
a
f
n
=
.Vậy kết quả các câu trên lần lượt là:

3)
3
1
2 1 3 2
lim
1
x
x x
x
®
- - -
-
4)
2
3
1
7 5
lim
1
x
x x
x
®
+ - -
-

5)
2
3
4

( ) ( ) ( ) ( ) 0
f x g x f x g x
= Þ - =
. Vậy ta có thể đặt
( ) ( ) ( )
n m
h x f x g x
= - thì
0
( ) 0
h x
=
và giới
hạn trên trở thành
0
'
0
0
0
( ) ( )
lim ( )
x x
h x h x
h x
x x
®
-
=
-


+ +
- -

Từ đó
'
1 13
(0) 1
12 12
h
- -
= - = .Suy ra
3
0
8 2 1
13
lim
12
x
x x
x
®
- - +
-
=
Hoàn toàn tương tự ta có các kết quả còn lại là :
Câu

Hàm số
( )
y h x

-
-
- -

1
2
-

3
3
2 1 3 2
x x
- - -

(1) 0
h
=

2
3
2 3
2 3 2
3 (2 1)
x
x
-
-
-

5

2
3
4
1 1 2
x x
+ - -

(0) 0
h
=

2 2 3
3
4
2 2
3 (1 ) 4 (1 2 )
x
x x
+
+ -

1
2Bài 3 Tìm các giới hạn sau:
1)
0
lim
®x

x x
x
®
- + +
- -
4)
2
3
2 2
5
5
4
4 2
lim
6 3 18 9
x
x x
x x
®
+ - +
+ - +

Giải
Ta biến đổi làm xuất hiện dạng
0
'
0
0
0
( ) ( )

f x f x
x x f x
g x g x
g x
x x
®
-
-
=
-
-
. Từ đây ta có được kết quả như sau:
1)
0
lim
®x
x
x
+-
-+
11
113
3
=
0
lim
®x
)11(
113
3


'
(0) 1
f
Þ =

Và g
’
(x) = ( x+1 )
’
=
x+12
1

Þ
g
’
(0) =
2
1

Từ đó kết quả giới hạn là: -2
SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Giáo viên: Đoàn Minh Kế Trường THPT số 1 Quảng Trạch

4

2)
2
3

2 2 3
3 4
52 20
( ) ( 1 26 1 80 )
3 (1 26 ) (1 80 )
x
y f x x x
x x
= = + - + = -
+ +
'
52 20 32
(1)
27 27 27
fÞ = - =
' ' '
1
( ) ( 3 )
2 3
y g x x
x
= = + =
+
'
1
(1)
4
g
Þ =


- + +
-
= =
- - - -
-

Trong đó
y
’
= f
’
(x) = (
4
4
3
3
181127 ++- xx )
’
=
3
23
2
)127(
27
-x
x
+
4
34
3

C
-
= =

4)
2
3
2
3
2 2 2 2
5 5
5 5
4 4
4 2
4 2
5
lim lim
6 3 18 9 6 3 18 9
5
x x
x x
x x
x
D
x x x x
x
® ®
+ - +
+ - +
-

2 3 2 4
54
3 18
( ) ( 6 3 18 9 )
2 (6 3 ) 5 (18 9 )
x x
y g x x x
x x
= = + - + = -
+ +

'
5 2 1
(5)
18 9 18
g
Þ = - =

Từ đó
11 1 11
:
54 18 3
D
- -
= =
Từ các giới hạn trên có thể khái quát dẫn đến các kết quả sau:

1. Cho
0
lim ( ) 0

và
0
lim ( ) 0
x
g x b
®
= ¹
thì
1
0
. ( ) ( ) ( )
lim
( ) .
n
n
n
x
a f x g x g x
a
f x nb
-
®
+ -
=
Bài 4 Tìm các giới hạn sau:
SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Giáo viên: Đoàn Minh Kế Trường THPT số 1 Quảng Trạch

5


4)
2
3
0
2 1 2 1
lim
sinx
x
x x
®
+ - +

Giải
Đây là các giới hạn liên quan đến hàm số lượng giác, để tìm giới hạn
chúng ta có thể dùng kết quả
0
sin
lim 1
x
x
x
®
=
. Tuy nhiên trên quan điểm đạo hàm chúng ta
thấy bản chất vẫn là giới hạn dạng
0
'
0
0
0

0 0
sin3 sin3 sin0
lim lim 3 os0 3
0
x x
x x
c
x x
® ®
-
= = =
-

2) Xét
( ) os2
y f x c x
= =
thì
(0) 1
f
=
và
'
( ) 2sin 2
y f x x
= = -
Do đó
0
1 os2
lim 2sin 0 0

xx
x
xx
283
)1sin12(
3
+
-++-

Trong đó
' ' '
1
( ) ( 2 1 sin ) cos (0) 2
2 1
f x x x x f
x
= + + = + Þ =
+' ' '
3
2
3
1 3
( ) ( 3 8 ) 1 (0)
4
(3 8)
g x x x g
x

sin
sin
x x x
x x
x x
x
x
x
x
® ®
+ - +
+ - +
= =
'
'
(0) 2
(0) 3
f
g
=

Trong đó
' ' 2 ' '
3
2 2
3
2 2 2
( ) ( 2 1 2 1) (0)
3
3 (2 1) 2 1

x
x x x
x
®
+ + + -

3)
3
4
0
1 1 1 1
lim
x
ax bx cx
x
®
+ + + -
4)
3 5
4
0
1 1 1 1 1
lim
x
ax bx cx dx
x
®
+ + + + -

Giải

+
=
3
3
0 0 0
( 1 1) 1 3 1 1 3
lim( lim 1 3 lim ) 1
2 2
x x x
x x
x
x x
® ® ®
+ - + -
+ + = + =

Từ các câu trên ta có kết quả tổng quát là:
3
2 3
32
0
1 1 1 1
lim
2 3
n
n
n
x
a x a x a x
a a

®
+ - -
-

3)
3
2
1
2 1 3 2
lim
1
x
x x
x
®
- - -
-
4)
2
3
4
2
0
1 1 2
lim
x
x x
x x
®
+ - -

=
- - - -

Từ đó kết quả là
1 1
.( 1)
2 2
-
- =

2)
2
3
2
1
7 5
lim
1
x
x x
x
®
+ - -
-
=
2 2
3 3
1 1
7 5 7 5
1

3 3
1 1
2 1 3 2 2 1 3 2
1
lim lim .
( 1)( 1) 1 1
x x
x x x x
x x x x
® ®
- - - - - -
=
- + - +

Từ đó kết quả là :
6
5
-
.
2
1
= -
12
5

4)
2
3
4
2

=

Bài tập đề nghị :Tìm các giới hạn sau:

1.
2
2
0
1 1
lim
x
x
x
®
+ -

2.
2
3
2
0
1 2 1
lim
x
x
x
®
+ -

3.

lim
x
x
x
®
+ -

6.
2
3
2
0
1 2tan 1
lim
x
x
x
®
+ -

7.
2
0
(sinx 1 cos )
lim 0
x
a b x a
khia
x
®


10.

2 2
3
2
1
2 3 4 2 4
lim
x
x x x x
x x
®
+ - + + -
-

11.

2
4
3
0
sin 1 2sin 1
lim
1 1
x
x x
x
®
- + +

+ + -

14.

3 2 3
4
0
1 1 2 1 3 1
lim
x
x x x
x
®
+ + + -

15
4 4
2
0
1 os sin
lim
1 1
x
c x x
x
®
- +
+ -

16