SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC: 2007-2008
MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 01 trang Ngày thi: 24 tháng 6 năm 2007
Bài 1: (1,5 điểm)
Giải hệ phương trình:
( )
( )
( )
3xy = 2 x+y
5xy = 6 y+z
4xz = 3 x+z







.
Bài 2: (2,0 điểm)
Đội bóng bàn của trường A thi đấu với đội bóng bàn của trường B, mỗi đấu thủ
của trường A thi đấu với mỗi đấu thủ của trường B một trận.
Biết rằng: Tổng số trận đấu bằng 4 lần cầu thủ, số cầu thủ của trường B là số lẻ.
Tính số cầu thủ của mỗi đội.
Bài 3: (3,0 điểm) Cho hai điểm A và B cố định trên đường tròn tâm O. C là điểm
chính giữa cung AB, M là một điểm trên đoạn AB. Tia CM cắt đường tròn (O) tại
D. Chứng minh rằng:
a. AC
2

Câu 1: (1,5 điểm)
Cho phương trình : 4x
2
+
2
x -
2
= 0 (1)
1. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm trái dấu.
2. Gọi x
1
là nghiệm dương của phương trình (1). Chứng minh rằng:
1
4 2
1 1 1
x + 1
= 2
x + x + 1 - x
Câu 2: (2,0 điểm)
Cho hệ phương trình:
( )
2 2
a x + y + x + y = b
y - x = b




BC
4
3. Tính tỉ số
2 2 2
2 2 2
IM + IJ + IN
IA + IB + IH
.
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x
4
+ y
4
– 7 = xy(3 - 2xy). Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của tích xy.
Hết
Đề chính thức
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC: 2008-2009
MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 01 trang Ngày thi: 16 tháng 6 năm 2008
Câu 1: (2,0 điểm)
Tính giá trị của biểu thức M =
1 1
+
1 + 2a + 1 1 - 2a + 1
,
biết rằng:
a 7

minh: MA + MC = MB.
Câu 5: (2,0 điểm)
Giả xử x, y là các số nguyên dương sao cho x
2
+ y
2
+ 6 chia hết cho xy. Tìm thương
của phép chia x
2
+ y
2
+ 6 cho xy.
Hết
Đề chính thức
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC: 2009-2010
MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009
Câu 1: (2,0 điểm)
Cho T =
2
2
2x + 4 1 1
- -
1 - x
1 + x 1 - x
.
1. Tìm điều kiện của x để T xác định. Rút gọn T.
2. Tìm giá trị lớn nhất của T.


≤
≥
. Chứng minh
rằng có ít nhất một trong hai phưông trình sau có nghiệm
x
2
– 2(a + 1)x + a
2
+ 6abc + 1 = 0
x
2
– 2(b + 1)x + b
2
+ 19abc + 1 = 0
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho tam gi ác ABC c ó ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tòn tâm O đường kính AD.
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, E là một điểm trên cung BC không chứa điểm A.
1. Chứng minh rằng tứ giác BHCD là hình chứ nhật.
2. Gọi P và Q lần lượt là các diểm đối xứng của E qua các đường thẳng AB và
AC. Chứng minh rằng ba điểm P, H, Q thẳng hàng.
3. Tìm vị trí điểm E để PQ có độ dài lớn nhất.
Câu 5: (1,0 điểm)
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có ba góc nhọn. Chứng minh rằng với
mọi số thực x, y, z ta luôn có :
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
x y z 2x + 2y + 2z
+ + >
a b c a + b + c

.
2. Giải hệ phương trình:
1 1
+ 2 - 2
y
x
1 1
+ 2 - 2
x
y







=
=
Câu 2: (2,0 điểm)
Cho phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn điều kiện:
1 2

số đo bằng 45
0
có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng
AC tại E. Chứng minh rằng
2 2 - 2 DE < 1≤
.
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho biểu thức P = a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ ac + bd , trong đó ad – bc = 1. Chứng minh
rằng: P
≥

3
.
Hết
Đề chính thức
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán trường THPT chuyên Lam Sơn
Thanh Hoá
================================================
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC: 2002-2003
THI MÔN TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

b, Tìm m để P =
1 2
2 2
1 2
xx + x + x
có giá trị nhỏ nhất.
Bài 3. (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn O và đường kính DE vuông góc với
BC. Gọi D
1
E
1
và D
2
E
2
là hình chiếu vuông góc của DE trên AB và AC.
1. Chứng minh BE
1
= E
2
C = AD
1
; D
1
E
1
= AC và D
2
E

⊥
mp(SAB)
b, Tính diện tích toàn phần của chóp SABC.
Bài 5. (1,5 điểm)
Cho các số thực a
1
; a
2
; ….; a
2003
thoả mãn: a
1
+ a
2
+ …+ a
2003
= 1.
Chứng minh:
2 2 2
1 2 2003
1
a + a + + a
2003
≥
.
Đề chính thức
Đề chính thức
Hết
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC: 2004-2005

+ 7x + 12) = 120.
Bài 3. (2 điểm)
Giải hệ phương trình:
2 2
x y + y x = 6
x y + y x = 20





.
Bài 4. (3,5 điểm)
Cho M là điểm thay đổi trên đường tròn (O), đường kính AB. Đường tròn (E) tâm
E tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại M và AB tại N. Đường thẳng MA, MB cắt
đường tròn (E) tại các điểm thứ hai C và D khác M.
1. Chứng minh CD song song với AB.
2. Gọi giao điểm của MN với đường tròn (O) là K (K khác M). Chứng minh
rằng khi M thay đổi thì điểm K cố định và tích KM.KN không đổi.
3. Gọi giao điểm của CN với KB là C và giao điểm của DN với KA là D. Tìm
vị trí của M để chu vi tam giác NCD nhỏ nhất.
Bài 5. (1 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y =
2 2
2x + 2x + 1+ 2x - 4x + 4
.
Hết
Đề chính thức
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC: 2004-2005

3
+ y
3
+ 6xy = 21.
Bài 4. (2,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) tâm O. M là điểm chính giữa
cung BC không chứa điểm A. Gọi M là điểm đối xứng với M qua O. Các đường phân
giác trong góc B và góc C của tam giác ABC cắt đường thẳng AM lần lượt tại E và F.
1. Chứng minh tứ giác BCÈ nội tiếp được trong đường tròn.
2. Biết đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính r.
Chứng minh: IB.IC = 2r.IM.
Bài 5. (2 điểm)
1. Cho các số a, b thoả mãn các điều kiện :
0 a 3
≤ ≤
,
8 b 11≤ ≤

và a + b = 11. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.
2. Trong mặt phẳng (P) cho ba tia chung gốc và phân biệt Ox, Oy, Oz. Tio Ot
không thuộc (P) và
·
·
·
xOt = yOt = xOt
. Chứng minh Ot vuông góc với mặt phẳng (P).
Hết
Đề chính thức
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC: 2004-2005

vuông ABCD.
3. Chứng minh rằng khi M di chuyển trên cạnh AB thì tỉ số bán kính các
đường tròn nội tiếp tam giác NAC và tam giác HBC không đổi.
Bài 4. (1,5 điểm)
Cho hình chóp A.BCD có cạnh AB = x, tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD.
1. Chứng minh MN vuông góc với AB và CD.
2. Với giá trị nào của x thì thể tích hình chóp A.BCD lớn nhất.
Bài 5. (1 điểm)
Cho các số dương a, b, c thay đổi và thoả mãn: a + b + c = 4. Chứng minh:
4a b b c c a+ + + + + >
.
Đề chính thức
Hết
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC: 2005-2006

MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Nga, Pháp)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2 điểm)
Cho phương trình: x
2
– (m + 1)x + m – 6 = 0.
1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
2. Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phương trình. Tìm m để: 3x
1

.
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB và P là điểm di động trên đường tròn (P
≠

A) sao cho PA
≤
PB. Trên tia đối PB lấy điểm Q sao cho PQ = PA, dựng hình vuông
APQR. Tia PR cắt đường tròn đã cho ở điểm C (C
≠
P).
1. Chứng minh C là tâm đường tròn ngoại tiếp
∆
AQB.
2. Gọi K là tâm đường tròn nội tiếp
∆
APB, chứng minh K thuộc đường tròn
ngoại tiếp
∆
AQB.
3. Kẻ đường cao PH của
∆
APB, gọi R
1
, R
2
, R
3
lần lượt là bán kính các đường
tròn nội tiếp

Đề chính thức
Hết
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC: 2005-2006
MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1,5 điểm)
Cho biểu thức: M =
2 4
4
4 2 2 2
x - 1 1 1 - x
- x +
x - x + 1 x + 1 1 + x
  
 ÷ ÷
  
.
1. Rút gọn M.
2.Tìm giá trị nhỏ nhất của M.
Bài 2: (2 điểm)
Giải hệ phương trình:
2
2 4 2 2
xy - 4y + x = 0
x y - 8y + x = 0





Bài 5: (1 điểm)
Tìm các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện:
2 2 2
x + y + z = 4 xyz
x + y + z = 2 xyz





Hết
Đề chính thức
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC: 2005-2006
MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,5 điểm)
1. Cho biểu thức P
(x)
=
2
x +12x + 12 - 3x.
Gọi x
1
, x
2
là các nghiểm của
phương trình x
2
– x – 1 = 0. Chứng minh:

Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
x-2 y-2 z-2 1≤
. Dấu " = " xảy ra khi nào?
Bài 4: (2,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với các cạnh AB, BC.
CA lần lượt tại các điểm M, N, P.
1. Xét trường hợp AB < AC, gọi D là giao điểm của các tia AO và MN. Chứng
minh AD
⊥
DC.
2. Gọi (T) là tam giác có các đỉnh là M, N, P, Giả sử (T) đồng dạng với tam
giác ABC theo tỉ số k. Tính k?
Bài 5: (1,5 điểm)
Cho đường tròn tâm O nội tiếp hình thoi ABCD. Tiếp tuyến (d
1
) với đường tròn
cắt các cạnh AB, AD lần lượt tại các điểm M, P. Tiếp tuyến (d
2
) với đường tròn cắt
các cạnh CB, CD lần lượt tại các diểm N, Q. Chứng minh MN // PQ.
Hết
Đề chính thức
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC: 2007-2008
MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 01 trang Ngày thi: … tháng 6 năm 2007
Bài 1: (1,5 điểm)
Giải hệ phương trình:

theo thứ tự là bán kính đường tròn ngoại tiếp hai tam giác
ADM và BDM. Chứng minh R
1
+ R
2
không đổi.
Bài 4: (2 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho : A(0; 3), B(4; 0), C(5; 3/4) cùng với O(0; 0)
tạo thành tứ giác AOBC. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A, chia tứ giác
AOBC thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Bài 5: ( 1,5 điểm)
Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thoả mãn
a b c
+ + = 3
b c a
. Chứng minh rằng
tích abc là lập phương của một số nguyên.
Hết
Đề chính thức
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC: 2008-2009
MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 01 trang Ngày thi: 16 tháng 6 năm 2008
Câu 1: (1,5 điểm)
Cho phương trình : 4x
2
+
2
x -

2
- 1)(x + 3)(x + 5) = m. (2)
Tìm m sao cho phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
, x
3
, x
4
thoả mãn:
1 2 3 4
1 1 1 1
+ + + = - 4
x x x x
.
Câu 4: (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm, K là chân đường cao hạ từ A
của tam giác ABC. Hai trung tuyến AM và HN của tam giác AHC cắt nhau tại I. Hai
đường trung trực của các đoạn thẳng AC và HC cắt nhau tại J.
4. Chứng minh rằng tam giác AHB và tam giác MNJ đồng dạng
5. Chứng minmh rằng: KH.KA
≤
2
BC
4
6. Tính tỉ số
2 2 2
2 2 2
IM + IJ + IN

49 13
=
z - y 2x + y + z
x + z
Câu 2: (2,0 điểm)
Cho các số thực a, b, c thoả mãn
a + b + c > 0
ab + bc + ca > 0
abc > 0





.
Chứng minh rằng cả ba số đều dương.
Câu 3: (2,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 1. Gọi M, N là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh
AB và AD sao cho chu vi tam giác AMN bằng 2. Tính góc MCN.
Câu 4: (2,0 điểm)
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Điểm D di động trên cạnh AC, điểm E di động trên tia
đối của tia CB sao cho AD.BE = a
2
. Các đường thẳng AE và BD cắt nhau tại M. Chứng
minh: MA + MC = MB.
Câu 5: (2,0 điểm)
Giả xử x, y là các số nguyên dương sao cho x
2
+ y
2

4x + 4xy - y = 7





.
4. Giải phương trình:
( )
1
x - 2 + y + 2009 + z - 2010 = x + y + z
2
Câu 3: (2,0 điểm)
3. Tìm các số nguyên a để phương trình: x
2
– (3 + 2a)x + 40 – a = 0 có nghiệm
nguyên. Hãy tìm các nghiệm nguyên đó.
4. Cho a, b, c là các số thoả mãn điều kiện:
a 0
b 0
19a + 6b + 9c = 12





≤
≥
. Chứng minh
rằng có ít nhất một trong hai phưông trình sau có nghiệm

THANH HOÁ NĂM HỌC: 2009-2010
MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009
Câu 1: (2,0 điểm)
3. Cho số x (
x R ; x > 0∈
) thoả mãn điều kiện :
2
2
1
x + = 7
x
. Tính giá trị các
biểu thức : A =
3
3
1
x +
x
và B =
5
5
1
x +
x
.
4. Giải hệ phương trình:
1 1
+ 2 - 2

2a - 3ab + b
Q =
2a - ab + ac
.
Câu 3: (2,0 điểm)
3. Giải phương trình:
( )
1
x - 2 + y + 2009 + z - 2010 = x + y + z
2
.
4. Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4p
2
+ 1 và 6p
2
+ 1 cũng là số nguyên tố.
Câu 4: (3,0 điểm)
3. Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E. Một đường thẳng đi
qua A, cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng CD tại N. Gọi K là giao điểm của
các đường thẳng EM và BN. Chứng minh rằng: CK
⊥
BN.
4. Cho đường tròn (O) bán kính R = 1 và một điểm A sao cho OA =
2
. Vẽ các
tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Một góc xOy có
số đo bằng 45
0
có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng
AC tại E. Chứng minh rằng