Ti liu ụn thi lp 10( Đại số ) GV: Lờ Vn Hũa .THCS Xuõn Lõm Tnh Gia
Phần I. căn bậc hai_ căn bậc n
Đ 1 một số kiến thức cơ bản liên quan

A. Kiến thức cần nhớ:
1.Bất phơng trình tích
a) Nhị thức bậc nhất: Nhị thức bậc nhất là biểu thức có dạng f(x) = ax + b (a 0).
Nghiệm của phơng trình ax + b = 0 cũng gọi là nghiệm của nhị thức ( x
0
= -
a
b
).
b) Định lí: (Định lí về dấu nhị thức bậc nhất).
Nhị thức ax + b (a 0) cùng dấu với a với mọi giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức ,
trái dấu với a với mọi giá trị của x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức.

Ví dụ:
Xét dấu các nhị thức sau:
a) f(x) = 2x 3 ; b) g(x) = -3x 5
Giải
Ph ơng pháp: +) Xác định dấu của hệ số a
+) Tìm nghiệm của nhị thức
+) Kết luận: Dựa vào định lí để kết luận
a) Ta có: a = 2 > 0.
Nhị thức có nghiệm x
0
=
3
2
Vậy f(x) < 0 nếu x <

3
5
).
2. Bất phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
a) |f(x)| < a



<<
>
axfa
a
)(
0
; b) |f(x)| a





axfa
a
)(
0
;
c) |f(x)| > a
















>

axf
axf
a
a
)(
)(
0
0
.
B. Các ví dụ:
Ví dụ1:
Giải các bất phơng trình sau:
a) 2x 7 < 0 ; b) -4x + 3 0 ;
x
- x
0
+



.
Vậy x
4
3
là nghiệm của bất phơng trình đã cho.

c) (2x 7)( -4x + 3) 0 (*)
Cách 1: Biến đổi tơng đơng
(*)










+




+

034
072








4
3
2
7
4
3
2
7
x
x
x
x

2
7
4
3
x
Vậy Bpt (*) có nghiệm là x





VT - 0 + 0 -
3) Kêt luận : Từ bảng xét dấu ta có tập nghiệm của bất phơng trình là: S =






2
7
;
4
3

2
Ti liu ụn thi lp 10( Đại số ) GV: Lờ Vn Hũa .THCS Xuõn Lõm Tnh Gia
d)
0
62
)2)(1(
<


x
xx
1) Nghiệm của các nhị thức bậc nhất:
x 1 = 0 x = 1; 2 x = 0 x = 2; 2x 6 = 0 x = 3
2) Lập bảng xét dấu:

x

3x + 1 < 0 (1)
(1) 2x
2
2x x + 1 < 0 2x(x 1) (x 1) < 0
(2x 1)(x 1) < 0

b) x
2
+ 4x +5 0 x
2
+ 4x + 4 + 1 0 (x + 2)
2
+ 1 0
Luôn đúng với mọi x.

c) -2x
2
+4x 6 0 -2(x
2
2x + 1) 4 0 -2(x - 1)
2
4 0 vô lí.

d) 2x
2
5x + 2 < 0 2x
2
4x x + 2 < 0 2x(x - 2) (x 2) < 0
(2x 1)(x - 2) < 0.
Ví dụ3:

x







<
>
5
7
5
1
x
x
3
Ti liu ụn thi lp 10( Đại số ) GV: Lờ Vn Hũa .THCS Xuõn Lõm Tnh Gia
Vậy bất phơng trình có nghiệm x (-;-
5
7
)(
5
1
;+).
c) |x
2
5x + 5| 1



2
13
< 3







<

+
>

+
3
2
13
3
2
13
x
x
x
x





+
>

++
0
2
)2(3)13(
0
2
)2(3)13(
x
xx
x
xx
(*)








<


>

0
2

Vậy bất phơng trình có nghiệm x (-;
6
5
).
Chú ý: Nhiều bạn thờng hay mắc sai lầm ở phép biến đổi:








<

+
>

+
3
2
13
3
2
13
x
x
x
x


3
= a
3
3a
2
b + 3ab
2
b
3
+) a
2
b
2
= (a - b)(a + b)
+) a
3
b
3
= (a b)(a
2


ab + b
2
)
2) Các quy tắc về luỹ thừa(a, b, c 0, mZ).
+) a
m
.a
n

b
a
b
a
=






; +) a
-m
=
m
a
1
.
3) Các quy tắc về căn bậc hai:
+) Điều kiện có nghĩa của
A
là A 0.
+) Quy ớc
a
0.
+)










=
ba
ba
b
2
2
+)
b
ba
b
a
=

+)
cb
cba
cb
a

=

)(
;
2
)(

< x
2
mà f(x
1
) < f(x
2
) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên D.
Nếu x
1
< x
2
mà f(x
1
) > f(x
2
) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên D.
Đ 2 hàm số bậc nhất- phơng trình và
hệ phơng trình bậc nhất
A. kiếm thức cần nhớ
1. Hàm số bậc nhất:
Đ/n: Hàm số bậc nhất là hàm số cho bởi công thức y = ax + b (a 0).
a. Tập xác định: D = R
b. Chiều biến thiên: +) Nếu a > 0 thì hàn số đồng biến.
+) Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến.
5
nếu a 0
nếu a < 0
Ti liu ụn thi lp 10( Đại số ) GV: Lờ Vn Hũa .THCS Xuõn Lõm Tnh Gia
c.Đồ thị: Đồ thị hàm số bậc nhất là một đờng thẳngcắt cả trục tung và trục hoành lần lợt tại
A(0;b),B(-

2
).
d
1
cắt d
2


a
1
a
2
; d
1
// d
2



1 2
1 2
a a
b b
=





d

=
.
Nếu a = 0; B 0: Pt (1) vô nghiệm.
Nếu a = 0 và b = 0 : Pt (1) nghiệm đúng x R.
4. Phơng trình bậc nhất hai ẩn: ax + by + c = 0 (1) (a
2
+ b
2
0)
Phơng trình có vô số nghiệm, công thức nghiệm tổng quát là:

x
c ax
y
b




=


hoặc
y
c ax
x
b




a = 0
y = b
tùy ý
tùy ý
tùy ý
ax + by = c (1)
ax + by = c (2)
Ti liu ụn thi lp 10( Đại số ) GV: Lờ Vn Hũa .THCS Xuõn Lõm Tnh Gia


' '
a b
a b

: Hệ (I) có nghiệm duy nhất, ĐT(1) cắt ĐT(2).

' ' '
a b c
a b c
=
: Hệ (I) vô nghiệm, ĐT(1) song song với ĐT(2).

' ' '
a b c
a b c
= =
: Hệ (I) có vô số nghiệm (x;y) thỏa mãn (1) hoặc (2), ĐT(1) trùng ĐTT(2).
Ph ơng pháp giải:
Phơng pháp thế
Phơng pháp cộng đại số.

2
1
2
2
m
m
m

=


=





3) Điểm A có tọa độ : A (2 -
3
2
;0) . Do đờng thẳng (d) đi qua A nên ta có:
0 = (m - 1) (2 -
3
2
) + m m =
21 2 3
33

.
c) Điểm cố định:

0
= 0 y
0
= 1 thay vào (a) ta có: x
0
= -1.
Vậy đờng thẳng (d) luôn đi qua một điển cố định M(-1;1).
Cách 2: (Phơng pháp đồng nhất thức)
Gọi M(x
0
;y
0
) là điểm cố định (nếu có) của đờng thẳng (d), khi đó:
y
0
= (m - 1)x
0
+ m m R
(x
0
+ 1)m ( y
0
+ x
0
) = 0 (*) m R

0 0
0 0 0
1 0 1
( ) 0 1

2 2 0 1
( 2).3 4 3 2 1
m n m n m
m n m n n
+ = + = =



+ = + = =

b) M(0; 1 -
2
);N(2 +
2
;0). Tơng tự nh câu a) ta có hệ sau:

3 2
1 2
2
( 2)(2 2) 0
1 2
n
m
m n
n


=
=


2
2 2
1 1
2 2
m m
n n

= = 3) Viết y - 2x + 3 = 0 dới dạng y = 2x 3, điều kiện là:
2 2 4
3 3
m m
n n
= =



= =

8
Ví dụ 2:
Ti liu ụn thi lp 10( Đại số ) GV: Lờ Vn Hũa .THCS Xuõn Lõm Tnh Gia

= b
2
ac; b = 2b)
Nếu

< 0 (

< 0) thì phơng trình đã cho vô nghiệm
Nếu

= 0 (

= 0) thì phơng trình đã cho có nghiệm kép x
1
= x
2
=
2
b
a

(
'b
a

).
Nếu

> 0 (


.
+) Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình bậc hai có hai nghiệm:x = -1 và x =-
c
a
.
3. Định lí Viét và các ứng dụng
a) Định lí: Nếu phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2

thì
1 2
1 2
b
x x
a
c
x x
a

+ =




=


0
S
P



>


>

9
Ti liu ụn thi lp 10( Đại số ) GV: Lờ Vn Hũa .THCS Xuõn Lõm Tnh Gia
Phơng trình có hai nghiệm âm (x
1
< 0; x
2
< 0 )
0
0
0
S
P



<


>






a = b a = b
b 0
a = b
a = b
Cách 6: Sử dụng tính chất BĐT:

0 a a
. Dấu "=" xảy ra

a = 0.
a
a với mọi a. Dấu "=" xảy ra

a

0.
a
- a với mọi a. Dấu "=" xảy ra

a

0.
+a + b a b
. Dấu "=" xảy ra


Cách 1: Biến đổi về phơng trình có 1 vế là tích các nhân tử chứa ẩn có gía trị nguyên, 1 vế là 1
hằng số.
Cách 2: Rút ẩn.
10
Ti liu ụn thi lp 10( Đại số ) GV: Lờ Vn Hũa .THCS Xuõn Lõm Tnh Gia
Cách 3: Biến đổi về phơng trình có 1 vế là tổng các bình phơng, các lập phơng của các hạng tử
chứa ẩn có gía trị nguyên, 1 vế là 1 hằng số.
Cách 4: Xem phơng trình là phơng trình bậc hai một ẩn.
Cách 5: Sử dụng tính chất BĐT:
Cách 6: Sử dụng tính chất chia hết.
Cách 7: Phơng pháp xuống thang.
Cách 8: Sử dụng liên phân số.
10. Giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình
+ Lập phơng trình.
- Chọn ẩn, xác định đơn vị và điều kiện cho ẩn.
(Có thể chọn bất kì 1 số liệu cha biết nào làm ẩn cũng đợc, chú ý chọn thích hợp để phơng trình
lập đợc đơn giản, thờng ta dựa vào điều đòi hỏi của bài toán để chọn ẩn).
- Biểu diễn các số liệu cha biết qua ẩn.
(Chú ý về quan hệ giữa các đại lợng trong bài toán).
- Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lợng để lập phơng trình.
+ Giải phơng trình.
+ Chọn kết quả thích hợp và trả lời.
11. Dạng toán về số nghiệm của ph ơng trình ax
2
+ bx + c = 0.
- Xét trờng hợp a = 0.
- Trờng hợp a

0
. Nếu ac < 0 thì phơng trình có hai nghiệm.

2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi

' > 0 hoặc

> 0 và P > 0. Khi đó 2 nghiệm cùng dơng khi và chỉ khi S > 0;
2 nghiệm cùng âm khi và chỉ khi S < 0.
- Phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có 1 nghiệm kép dơng khi và chỉ khi

' = 0 hoặc

= 0 và - > 0, có 1 nghiệm kép âm khi và chỉ khi

' = 0
hoặc

= 0 và - < 0.
13.Tính gía trị của biểu thức chứa x
1
; x
2
là 2 nghiệm của ph ơng trình bậc hai.
Cách 1: + Chỉ ra điều kiện để phơng trình có nghiệm.
+ Biểu diễn biểu thức chứa x
1
; x
2
qua x

x
2
rồi sử dụng hệ thức Vi ét, tính gía trị
của biểu thức theo tham số.
+ Chứng minh biểu thức chứa x
1
; x
2
là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai thoả mãn điều
kiện cho trớc.
15.Tìm gía trị của tham số để biểu thức chứa x
1
; x
2
là 2 nghiệm của ph ơng trình bậc hai thoả
mãn một điều kiện cho tr ớc.
+ Chỉ ra điều kiện để phơng trình có nghiệm.
+ Sử dụng hệ thức Vi ét và điều kiện cho trớc để tìm gía trị của tham số.
16. Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
; x
2
không phụ thuộc vào tham số.
+ Chỉ ra điều kiện để phơng trình có nghiệm.
+ Sử dụng hệ thức Vi ét biểu diễn x
1
+ x
2
; x
1

2
- Sx + P = 0
Cho phơng trình : (m 2)x
2
2mx + m 4 = 0 (1) (m là tham số)
a) Với giá trị nào của m thì (1) là phơng trình bậc hai .
b) Giải phơng trình khi m =
3
2
.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt .
d) Giả sử (1) có hai nghiệm x
1
và x
2
,tính x
1
2
+ x
2
2
.
Giải
a) Để (1) là phơng trình bậc hai thì m 2 0 m 2.
b)Thay m =
3
2
vào phơng trình và rút gọn ta đợc:
x
2




Vậy: với
4
2
3
m<
phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
Chú ý: Học sinh rất dễ mắc sai lầm không nêu điều kiện a 0, chẳng hạn ở ví dụ trên khi m = 2
thì (1) là phơng trình bậc nhất có một nghiệm duy nhất x = -
1
2
.
d) Với
4
2
3
m<
theo Viét ta có
1 2
1 2
2
2
4
2
m
x x
m
m

ữ


.
Cho phơng trình
x
2
2(m + 1)x + m 4 = 0 (2)
a) Chứng minh rằng với mọi m phơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt .
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
c) Chứng minh biểu thức : M = x
1
(1 x
2
)+ x
2
(1 x
1
) không phụ thuộc vào m.
d) Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm là :
1 2
1 1
;
x x
(x
1
, x
2
là nghiệm của (2)).
Giải

2 x
1
x
2
= 2(m + 1) 2(m - 4) = 10 không phụ thuộc vào m.
d) S =
1 2
1 2 1 2
1 1 2( 1)
4
x x m
x x x x m
+ +
+ = =

12
Ví dụ 1:
Ví dụ 2:
Ti liu ụn thi lp 10( Đại số ) GV: Lờ Vn Hũa .THCS Xuõn Lõm Tnh Gia
P =
1 2
1 1
( 4)
. 4
m
x x m
=

Vậy phơng trình cần thành lập là: x
2

A
; y
A
) cách đều hai trục tọa độ thì
A A
x y=
. (1)
Mặt khác A lại nằm trên đồ thị (P) nên:
2
2
A A
y x=
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
2
2 0
A A
x x =

0
1
2
A
A
x
x
=




8
< 0 m
2
8 < 0
2 2m <
phơng trình (3) vô nghiệm , hay đờng thẳng không cắt
(P).
= 0 m
2
8 = 0
2 2m =
phơng trình (3) có một nghiệm , hay đờng thẳng
cắt (P) tại một điểm (đờng thằng tiếp xúc vứi (P)).
> 0 m
2
8 > 0
2 2m >
phơng trình (3) có hai nghiệm phân biệt , hay đờng
thẳng cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
d) Đờng thẳng cần tìm không thể song song với Oy nên có dạng y = ax + b.
Vì đi qua A(0 ; -2) nên b = - 2, khi đó y = ax 2 (4) . Sử dụng kết quả câu c), để đờng thẳng (4)
tiếp xúc với (P), cần và đủ là phơng trình 2x
2
= ax 2 phải có nghiệm kép.
Giải tiếp = 0 a = 4.
Hai đờng thẳng cần tìm là: y = 4x 2 .
e) Giả sử M(x
0
;y
0

2
thỏa mãn đề bài là: k
1
.k
2
= - 1

0
8 1
c
y
a
= =
y
0
=
1
8

13
Ví dụ 3:
Ti liu ụn thi lp 10( Đại số ) GV: Lờ Vn Hũa .THCS Xuõn Lõm Tnh Gia
Vậy tập hợp điểm M là đờng thẳng y =
1
8

.
f) Gọi điểm phải tìm là N(x
1
;y

y
=



=

Với y
1
= 2 , suy ra x
1
2
= 1 hay x
1
= 1.
Hai điểm cần tìm là: N
1
(-1;2)và N
2
(1;2).
Tìm cặp số (x ; y) thỏa mãn phơng trình : 7x
2
4x y + 1 = 0 (1) sao cho y đạt giá trị nhỏ
nhất.
Giải
Xét phơng trình bậc hai ẩn x; tham số y. Nếu tồn tại cặp số (x ; y) thỏa mãn phơng trình (1) thì
(1) phải có nghiệm với ẩn x, do đó:
0 7y 3 0 y
3
7

ab a b
+

; a
2
+ b
2
+ c
2
+ + f
2
0;
2. Bất phơng trình:
Dạng 1: ax + b > 0 (1) ,( ax + b < 0, ax + b 0, ax + b 0)
Ph ơng pháp:
-Nếu a > 0 : nghiệm của (1) là: x > -
b
a
-Nếu a < 0 : nghiệm của (1) là: x < -
b
a
-Nếu a = 0 : thì: +) b 0 bất phơng trình (1) vô nghiệm
+) b > 0 bất phơng trình (1) nghiệm đúng với mọi x R.
Dạng 2:
( )f x

<
(2) ;
( )f x


( )
x D
f x
f x





<







>



<






>



>



>



Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu P(x) và Q(x).
B. Các ví dụ:
Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
2 2
2
a b
ab
+

; b)
2
a b
ab
+

(a 0 ; b 0); c)
2
2 2
2 2
a b a b

0 2 0 2
2
a b
a b a ab b a b ab ab
+
+ +
(đpcm)
c) Xét hiệu:

2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 4
a b a b a b ab a b+ + + +

=
ữ2 2 2
( 2 ) ( )
0
4 4
a b ab a b +
= =
(đpcm).
Dấu := ở (1);(2) và (3) đều xảy ra khi và chỉ khi a = b.
15
Ví dụ 1:
Tài liệu ôn thi lớp 10( §¹i sè ) – GV: Lê Văn Hòa .THCS Xuân Lâm – Tĩnh Gia