PHÒNG GIÁO DỤC GIA VIỄN
TRƯỜNG THCS GIA PHƯƠNG

MÃ KÍ HIỆU
T-DH01-HSG9-09
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2009-2010
Môn thi : TOÁN
Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề
(Đề này gồm 06 câu trên 01 trang)

Câu 1 : 3,5điểm
1/ Tính : A =
5210452104 +−+++
2/ Cho a, b, c thoả mãn:
a b c b c a c a b
c a b
+ − + − + −
= =
Tính giá trị biểu thức: P =
1 1 1
b c a
a b c
   
+ + +
 ÷ ÷ ÷
   
Câu 2: 3,5điểm
1/ Cho ba số x, y, z tuỳ ý. Chứng minh rằng
2
2 2 2

2/ Tìm giá trị cuả m để hệ phương trình
2
3 5
mx y
x my
− =


+ =

có nghiệm thoả mãn hệ thức :
2
2
1
3
m
x y
m
+ = −
+
Câu 4: 5điểm
1/ Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác AD
a) Chứng minh hệ thức:
2 1 1
AD AB AC
= +
b) Hệ thức trên thay đổi như thế nào nếu đường phân giác trong AD bằng đường phân giác
ngoài AE
2/ Cho tam giác ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác.Biết IA =2
5

3,5điểm
1. (2điểm)
Vì
52104 ++
> 0;
52104 +−
> 0 ⇒ A > 0 (1) 0,25đ
A
2
=
52104)52104)(52104(252104 +−++−+++++
0,25đ
=
52101628 −−+

=
152528 +−+
=
2
)15(28 −+
=
1528 −+

= 8 + 2
25 −

=
2
)15( +
(2)

b c a
a b c
   
+ + +
 ÷ ÷ ÷
   
=
a b b c c a
a b c
+ + +
   
 ÷ ÷ ÷
   
=
( )c
a
−
.
( )a
b
−
.
( )b
c
−
=
abc
abc
−
= -1

+ x
2

≥
2zx (3)
0,25đ
Cộng từng vế ba BĐT trên ta được 2( x
2
+ y
2
+ z
2
)
≥
2( xy + yz + zx ) 0,25đ
⇒
2( x
2
+ y
2
+ z
2
) + ( x
2
+ y
2
+ z
2
)
≥

2
2 2 2
3 9
x y z x y z+ + + +
 
=
 ÷
 
0,25đ
0,25đ
2. (2điểm)
Từ
1 1 1
2
a b c
+ + =

⇒

2
1 1 1
4
a b c
 
+ + =
 ÷
 

⇒


=

0,25đ
0,25đ
⇒

2 2 2
1 1 1
2 4
a b c
+ + + =

⇒

2 2 2
1 1 1
2
a b c
+ + =
0,25đ
0,25đ
Câu 3
4,0điểm
1. (2,5điểm)
Phương trình
12428
1
4
2
36

)12(
2
)226(
2
2
=
−
−−
+
−
−−
y
y
x
x
(2)
+ Với x > 2, y > 1 ⇒







>−
>−
≥−−
≥−−
01
02

=−−
012
0226
y
x
⇔





−=
−=
12
226
y
x
⇔



=
=
5
11
y
x
Thử lại ta thấy x = 11và y = 5 là nghiệm của phương trình
Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x, y) = (11, 5)


3
m
x
m
+
=
+
,

2
5 6
3
m
y
m
−
=
+

Theo đề bài ta lại có :
2
2 2 2
2 5 5 6
1
3 3 3
m m m
m m m
+ −
+ = −
+ + +


= AD.AB.sin45
0
+ AC.AD.sin45
0
= ( AB + AC )AD.sin45
0
= ( b + c )AD.sin45
0
Suy ra bc = ( b + c )AD.
2
2
= ( b + c ).
2
AD

⇒

2
AD
=
bc
b c+⇒

2
AD
=

– AE.AB.sin45
0

= ( b – c )AE.
2
2

⇒
bc = ( b – c )AE.
2
2
= ( b – c ) AE.
2
2

⇒

2
AE
=
1 1b c
bc c b
−
= −

Vậy
2 1 1
AE AC AB
= −
hay

5
)
2
= x.(2x + 3)
⇒
2x
2
+ 3x – 30 = 0
⇔
( 2x – 5)(x + 4) = 0
⇒
x = 2,5 hoặc x = -4 ( loại vì x > 0)
Vậy MC = 8cm
Ta có AC
2
= MC
2
– AM
2
= 8
2
– (2
5
)
2
= 64 – 20 = 44
⇒
AC =
44
= 2


⇒
BM = c.sin
2
A
sinNAC = sin
2
A
=
CN
AC

⇒
CN = b. sin
2
A
Do đó BM + CN = sin
2
A
( b + c)
Mặt khác ta luôn có BM + CN
≤
BD + CD = BC = a
Vì thế sin
2
A
( b + c )
≤
a ( vì sin
2

0,25đ
0,25đ
I
H
M
C
B
A
D
N
M
x
C
B
A
C
B
Câu 6
2,0điểm
Từ ( y + 2 ).x
2
+ 1 = y
2

⇔
x
2
=
2
1 3

do đó y = -1 hoặc y = 1 suy ra x = 0
Vậy giá trị nguyên của x, y thỏa mãn là : (x,y) =
{ }
0 1 0 1( , );( , )−

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
CHÚ Ý :
- Nếu học sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm của ý đó
- Khi học sinh làm phải lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa theo ý đó
HẾT

NGƯỜI RA ĐỀ XÁC NHẬN CỦA BAN GIÁM HIỆU
Trần Quốc Hưng
NGƯỜI RA HƯỚNG DẪN CHẤM XÁC NHẬN CỦA BAN GIÁM HIỆU
Trần Quốc Hưng