Chuy ên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
CHUYÊN ĐỀ 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
. Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một
tích của những đơn thức và đa thức.
. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp thông thường:
- Đặt nhân tử chung (thừa số chung).
- Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Nhóm nhiều hạng tử.
. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng vài phương pháp khác (bổ sung)
- Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
- Thêm bớt cùng một hạng tử.
- Đặt ẩn phụ (còn gọi là đổi biến số).
- Dùng phương pháp hệ bất đònh.
- Tìm nghiệm của đa thức.
- Quy tắt HORNER (Hót - Nơ).
B. MỘT SỐ BÀI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
I. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG CÁC PHƯƠNG PHÁP THÔNG
THƯỜNG ( ĐẶT NTC, DÙNG HĐT, NHÓM HẠNG TỬ) :
Bài 1 : PT đa thức thành nhân tử:
a/ (xy + 4)
2
– (2x + 2y)
2
b/ ab( x
2
+y
2
) + xy (a
2
+b

.
II. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC
(TÁCH, THÊM BỚT,ĐẶT ẨN PHỤ, HỆ SỐ BẤT ĐỊNH, TÌM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC,
QUY TẮC HORNER )
1/ PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ : Đa thức dạng P(x) =ax
2
+ bx + c
Phương pháp: Nhẩm tìm 2 số m,n sao cho : m.n = a.c và m+ n = b
Tách P(x)= ax
2
+ mx + nx+ c rồi nhóm hạng tử.
Bài 2: PT đa thức thành nhân tử:
a/ 2x
2
+ 3x – 5 . b/ 3x
2
–7x +2 .
c/ x
2
– 4xy + 3y
2
. d/ x
2
+ 3xy + 2y
2
Bài 3: PT đa thức thành nhân tử: x
3
– 7x – 6
Cách 1: Tách số hạng -7x thành – x – 6x, ta có:
X

4
+ 4 c/ a
2
(b – c ) + b
2
(c – a)+ c
2
(a – b)
Phương pháp giải:
a/ x
4
+ 4 b/ x
4
y
4
+ 4
= x
4
+ 4 + 4x
2
– 4x
2
= x
4
y
4
+ 4 +4x
2
y
2

– 2xy +2)
c/ Cách 1: Trong 3 hạng tử : (b – c ) ; (c – a) ; (a – b) ta biểu diễn 1 hạng tử
thông qua 2 hạng tử còn lại bằng cách thêm bớt hạng tử:
Chẳng hạn: b – c = b – a + a – c = – (a– b) – ( c – a )
sau đó nhóm từng cặp có nhân tử chung là ra kết quả:
c/ a
2
(b – c ) + b
2
(c – a)+ c
2
(a – b)
= a
2
[– (a– b) – ( c – a )] + b
2
(c – a)+ c
2
(a – b)
= - a
2
(a– b) – a
2
( c – a ) + b
2
(c – a)+ c
2
(a – b)
= c
2

c – b
2
a + c
2
(a – b)
= (a
2
b – b
2
a) – (a
2
c – b
2
c) + c
2
(a – b)
= ab(a – b) – c(a – b)(a+b)+ c
2
(a – b)
= (a – b)( ab – ca – cb +c
2
)
= (a – b)[ a(b – c) – c(b –c)]
=(a – b) (b – c) (a – c)
Bài 5. Phân tích đa thức thành nhân tử
A = x
2
y
2
(y - x) + y

(z – x)
= y
2
(z
3
– x
3
) – y
3
(z
2
– x
2
) – z
2
x
2
(z – x)
= y
2
(z – x)(z
2
+ zx + x
2
) – y
3
(z – x)(z + x) – z
2
x
2

2
z – x
2
y + y
2
x)
= (z – x)(z – y)[z(y – x)(y + x) + xy(y – x)]
= (z – x)(z – y)(y – x)(xy + xz + yz).
Cách 2: Để ý rằng: (z – y) + (y – x) = (z – x). Do vậy ta có:
A = x
2
y
2
(y – x) + y
2
z
2
(z – y) – z
2
x
2
[(z – y) + (y – x)]
= x
2
y
2
(y – x) + y
2
z
2

(y – x)(y + x)
= (y – x)(z – y)(- x
2
y – x
2
z +yz
2
+ xz
2
)
Chuy ên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
= (y – x)(z – y)[xz(z – x) + y(z – x)(z + x)]
= (y – x)(z – y)(z – x)(xz + yz +xy)
Bài 6 : Phân tích đa thức thành nhân tử ( BTVN)
a/ ab(a+b) – bc( b + c ) – ac(c – a) .
b/ x – y – x
3
(1 – y) + y
3

( 1 – x)
( áp dụng được cả 2 cách như bài trên )
Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) a
3
+ b
3
+ c
3
-3abc

2
+ 3abc)
= (a + b)
3
+c
3
– 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)[(a + b)
2
– (a + b)c + c
2
– 3ab]
= (a + b + c)(a
2
+ 2ab + b
2
– ac – bc + c
2
– 3ab]
= (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
– ab – ac – bc)
b) (x – y)
3
+ (y – z)
3

Cách 2: Nhóm 2 hạng tử , biến đổi xuất hiện NTC với hạng tử còn lại :
Cách 3:Đặt x – y = a , y – z = b, z – x = c thì a + b + c = 0. Khi đó theo câu a ta
có: a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc = 0 hay a
3
+ b
3
+c
3
=3abc
Vậy: (x – y)
3
+ (y – z)
3
+ (z – x)
3
= 3(x – y)(y – z)(z – x)
3. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ( ĐỔI BIẾN SỐ)
 Dạng 1 : (Dạng trùng phương) P(x) = ax
4
+ bx
2
+ c
Phương pháp: Đặt y = x
2


+ 6y + y + 6 = 2y
2

+ 7y – 2y – 7
= y(y+6) + (y+6) = y( 2y + 7) – (2y+7)
=(y+6)(y+1) = ( 2y + 7) (y 1)
Chuy ên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
Vậy P(x) = (x
2
+6)( x
2
+1) Vậy P(x) = (x
2
+7)( x
2
– 1)
= (x
2
+7)( x– 1)(x+1)
 Dạng 2 : Đa thức dạng P(x) = (ax
2
+ bx + c)(ax
2
+bx + d)+ e
Phương pháp : Đặt y = ax
2
+ bx + c hoặc y = ax
2
+bx + d , biến đổi đưa về

2
+ x + 2) – 12 = (x
2
+ x – 2)(x
2
+ x + 5)
= (x – 1)(x + 2)(x
2
+ x +5)
b) 4x(x + y)( x + y + z)(x + z) +y
2
z
2
= 4x(x + y +z)(x + y)( x + z) +y
2
z
2
= 4(x
2
+ xy + xz)(x
2
+ xz + xy + yz) + y
2
z
2
Đặt: x
2
+ xy + xz = m, ta có
4x(x + y)(x + y + z)(x + y) + y
2

= x
2
+ (a + b) x
Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
P(x) = (x +1)(x + 2)(x +3)(x +4) – 15
Giải: Với a = 1, b = 4, c = 2, d = 3 thì a + b = 5 =c + d. Biến đổi:
P(x) = (x + 1)(x + 4)( x + 2)( x + 3) – 15 = (x
2
+ 5x + 4)(x
2
+ 5x + 6) – 15
Đặt y = x
2
+ 5x + 4 thì P(x) trở thành Q(y) = y(y + 2) – 15
= y
2
+2y – 15
= y
2
– 3y + 5y – 15
= y(y – 3) + 5( y – 3)
= (y – 3)(y +5)
Do dó . P(x) = (x
2
+5x + 1)(x
2
+ 5x + 9)
Tổng quát: Nếu đa thuc dạng P(x) = (a
1
x + a

= c
1
d
2
+c
2
d
1
thì đặt y =(a
1
x + a
2
)(b
1
x + b
2
) rồi biến đổi như
trên.
 Đa thức dạng: P(x) = (a
1
x + a
2
)(b
1
x + b
2
)(c
1
x + c
2

1
d
1
và a
2
b
2
= 2.(-5) =(-1).10 =c
2
d
2
P(x) = (9x
2
– 9x – 10)(9x
2
+ x – 10) + 24x
2
Đặt y = (3x +2)(3x – 5) = 9x
2
– 9x – 10 thì P(x) trở thành:
Q(y) = y(y + 10x) –24x
2
Tìm m.n = 24x
2
và m + n = 10x ta chọn được m = 6x , n = 4x
Ta được: Q(y) = y
2
+ 10xy + 24x
2
= (y + 6x)(y + 4x)

4
– 2x
2
+ 1
Biến đổi P(x) = 2(x
4
– 2x
2
+ 1) + 3x
3
– 5x
2
– 3x
= 2(x
2
– 1)
2
+ 3x( x
2
– 1) – 5x
Từ đó Q(y) = 2y
2
+ 3xy – 5x
2
Tìm m, n sao cho m.n = - 10x
2
và m + n = 3x chọn m = 5x , n = - 2x
Ta có : Q(y) = 2y
2
+ 3xy – 5x

- x
3
– 10x
2
+ 2x + 4 thành nhân tử.
Giải: Dễ thấy b = 1, d = 2, e =4 đặt y = x
2
– 2 suy ra y
2
= x
4
– 4x
2
+ 4
Biến đổi P(x) = x
4
– 4x
2
+ 4 – x
3
– 6x
2
+ 2x
= (x
2
– 2)
2
– x(x
2
– 2) – 6x

mx
4
+ nx
2
+ p.
Ví dụ: Phân tích P(x) = (x – 3)
4
+ ( x – 1)
4
– 16 thành nhân tử.
Chuy ên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
Giải: Đặt y = x – 2 lúc dó P(x) trở thành Q(y) = (y – 1)
4
+ ( y + 1)
4
– 16
= 2y
4
+ 12y
2
– 14
= 2(y
2
+ 7)( y
2
– 1)
= 2(y
2
+ 7)(y – 1)(y + 1)
Do dó P(x) = 2(x

4
– 2
9/ x
4
– 9x
3
+ 28x
2
– 36x + 16
10/ x
4
– 3x
3
– 6x
2
+ 3x + 1
IV. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH.
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x
3
– 19x – 30 b) x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
+ 6x + 1
Giải:
a) Kết quả tìm phải có dạng: (x + a)(x
2

+ ax + b)( x2 + cx + d) = x
4
+ (a + c)x
3
+ (ac + b + d)x
2
+ (ad +bc)x +bd . Đồng
nhất đa thức này với đa thức đã cho, ta có
x
4
+ 6x
3
+7x
2
+ 6x + 1 =x
4
+(a + c)x
3
+ (ac + b +d)x
2
+ (ad + bc)x +bd
a + c = 6
ac + b + d =7
ad + bc = 6
bd = 1
Chuy ên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
Từ hệ này tìm được: a = b = d = 1 , c = 5
Vậy: x
4
+ 6x

R(x).
Ta nói đa thức P(x) có nghiệm kép x
1
= x
2
= a
Vậy: Nếu đa thức P(x) có nghiệm kép là x
1
= x
2
= a thì P(x) = (x – a)
2
R(x).
Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = x
3
– 2x – 4 thành nhân tử .
Giải: Ta nhận thấy đa thức P(x) = x
3
– 2x – 4 có số nghiệm là x = 2
Do đó, ta có P(x) = ( x – 2)Q(x)
Chia đa trhức P(x) = x
3
– 2x – 4 cho nhò thức x – 2 , ta được thương số là
Q(x) = x
2
+ 2x +2 = (x + 1)
2
+1
Suy ra P(x) = (x – 2)(x
2

+ 2x + 2).
VI. QUY TẮT HÓT – NƠ (HORNER)
Quy tắt Hót – Nơ giúp chúng ta chia nhanh một đa thức cho một nhò thức bậc nhất.
Bài toán: Giả sử chúng ta chia được đa thức.
P(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n -1
+ a
2
x
n – 2
+ a
3
x
n – 3
+ … + a
n
chia nhò thức x - a
Bậc của đa thức thương Q(x) nhỏ hơn bậc của P(x) một đơn vò.
Chuy ên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
Q(x) = b
0
x
n – 1
+ b

x
n – 2
+ …. + b
n – 1
) + r
Cân bằng các hệ số, ta có: b
0
= a
0
b
1
= a
1
+ ab
0
b
2
= a
2
+ ab
1
b
3
= a
3
+ ab
2
…………………………
b
n – 1

2
= a
2
+ab
1
b
n – 1
= a
n -1
+ ab
n - 2
r = a
n
+ ab
n -1
Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = 3x
4
– 4x
3
+ 1 thành nhân tử.
Giải: Ta có P(1) = 3 – 4 + 1 = 0
Suy ra, đa thức P(x) chia hết cho (x – 1)
P(x) = (x – 1)Q
1
(x)
Ta xác đònh Q
1
(x) bằng quy tắt Hót – Nơ .
3 -4 0 0 1
1 3 -1 -1 -1 r = p(1)

+ 1 = (x – 1)
2
(3x2 + 2x + 1).
Luyện tập thêm :
Phân tích đa thức thành nhân tử P(x) =
4 3 2
2 7 2 13 6x x x x− − + +