Bài tập chuyên đề Toán 8 Họ tên:
Chuyên đề
Phân tích đa thức thành nhân tử
Phân tích thành nhân tử là một phần rất quan trọng .Rút gọn phân thức,quy
đồng mẫu thức nhiều phân thức , đều có thể cần Phân tích thành nhân tử .Đặc biệt
Phân tích thành nhân tử chính là Viết thành tích đấy .
Các em hãy chăm chỉ Viết thành tích nhé!Chúc các em thành công!
-Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta Đặt nhân tử chung trớc .Sau đó:
-Nếu đa thức có 2 hạng tử ta dùng HĐT3,6,7

Thêm bớt
-Nếu đa thức có 3 hạng tử ta dùng HĐT1,2

Tách,Thêm bớt
-Nếu đa thức có 4 hạng tử ta dùng HĐT4,5

Nhóm
-Nếu đa thức có 5 hạng tử trở lên thị thờng nhóm và tách
-Nếu đa thức 1 biến có bậc 3 trở lên thì có thể Nhẩm nghiệm
-Nếu đa thức Phức tạp thì nghĩ tới Đổi biến
B i 1 Rút gọn các phân thức sau:
a)
)2)(3(
62
+
+
xx
x
b)
96
9


x
xx
g)
8
1263
3
2

++
x
xx
h*)
4 2
4
1x x
x x
+ +
+
k*)
5 4
3 2
1
2 2 1
x x
x x x
+ +
+ + +
B i 2 Thực hiện các phép tính sau:
a)

2 2
2x 2x x
x 3x x 4x 3 x 1
d)
1
3 5x
2
1 3 15
3 5 25 9
x
x x


+

B i 3 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x
2
- y
2
- 2x + 2y
c) 3a
2
- 6ab + 3b
2
- 12c
2

e) a
2


b)2x + 2y - x
2
- xy
d)x
2
- 25 + y
2
+ 2xy
f)x
2
- 2x - 4y
2
- 4y
h)x
2
(x-1) + 16(1- x)
l) 36(x-2)
2
-49(2x+3)
2

n) x
2
- x - 12
r*) (x
2
+ x)
2
- 2(x

E =(x+1)
22
)2( ++ x
D=
23
2
++ xx

B=4x
912
2
+ x
G =2(x-3)
22
)4( x
K =-
1
4
x
2
+2x-9
C=-25x
110
2
++ x
H =(2x-3)
)3)(18(
2
+ xx


y
y
x
x
11
22
p)x
xyy +
c)(x+7y)(y+7x) k)
3 4 3 4
x x y y+ + +
q)
66
yx +
d)(2x-3y)(2y-3x) l)
22
yx
r)
5 5
x y+
e)
x
y
y
x 1313 +
+
+
m)
11 +++ yx
s)

1221
xxx ++
p
d)Tìm số q nhỏ nhất sao cho D=(x
qxxx )3)(3
1221
Gợi ý Bài 3 là kết hợp của bài 1 và bài 2 .Các em làm tơng tự bài 2 để đa biểu thức về
biến là m rồi làm tơng tự bài 1.Phần c chính là tìm giá trị nhỏ nhất ,phần d là Max
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau: Gợi ý :Nhìn kỹ thì chỉ là HĐT 1,2,3
a) (3x-1)
2
+ 2(3x-1)( 7-2x) +(2x-7)
2
b) (8x-5)
2
-(16x-10)( 4x+3) +(4x+3)
2
c) 3.5(2
4
+1) (2
8
+1) (2
16
+1) (2
32
+1) (2
64
+1) (2
4
+1)

3
3
1
x
x
+
c)
5
5
1
x
x
+
d)
2
2
1
x
x


Gợi ý :Tơng tự bài 2: vì x.
1
x
= 1
Bài 6: Cho :
1
4x
x
=

Chuyên đề
Biểu thức hửu tỷ

I-Một số chú ý khi giải toán về biểu thức
1) Tìm ĐKXĐ chú ý : Mẫu

0 , biểu thức chia

0
2)Rút gọn biểu thức
-Nếu biểu thức chứa các phân thức cha rút gọn thì ta nên rút gọn phân thức trớc
-Nếu biểu thức có mẫu đối nhau ta nên đổi dấu trớc khi
-Ngoài ra cần thực hiện đúng thứ tự các phép tính ,chú ý dùng ngoặc ,dấu - ,
- Một số bài toán nh : Chứng minh đẳng thức , chứng minh biểu thức không phụ
thuộc vào biến cũng quy về Rút gọn biểu thức
3) Tính giá trị của biểu thức
-Cần rút gọn biểu thức trớc.
-Nếu giá trị của biến còn phức tạp thì nghĩ đến việc rút gọn trớc khi thay vào tính
Su tầm và biên tập :Lê Hoàng Vân Trờng THCS Cẩm Sơn
2
Khát vọng vơn lên phía trớc là mục đích của cuộc sống
Bài tập chuyên đề Toán 8 Họ tên:
4) Tìm biến để biểu thức thoả mãn 1 điều kiện nào đó
-Cần rút gọn biểu thức trớc
-Sau khi tìm đợc giá trị của biến phải đối chiếu với ĐKXĐ
II bài tập (Sau khi rút gọn các em có thể tự cho thêm yêu cầu khác)
Đề bài kết quả
1.
2 2
2x 2x x

5.
2 3
4x 3 12x
H
x 2x 2 x x 4x
= + +
+
6.
2
3 2 2
4x 3x 17 2x 1 6x
I
x 1 x x 1 x x
+
= + +
+ +
7.
2
3 2 2
4x 3x 5 1 2x 6x
I
x 1 x x 1 x x
+
= +
+ +
8.
2 3
5 10 15
K
x 1 x (x 1) x 1

12.
2 2
x 1 2x x 1 10 x
B . .
x 10 x 2 x 10 x 2

= +
+ + + +
13.C
x x 1 x x 1
:
x 1 x x 1 x
+

=
ữ ữ
+

14.
2
2 2
y y 3y y 3 y
D
3 y 2y 3 y 3y y 9

+ +
= +
ữ
+


x 2
+

3. 1
4.
2
2
1 x
5.
1
x 2+
6.
2
12
x x 1

+ +
7.
3
12x
x 1


8.
2
5x
x x 1 +
9. x-y+xy
10.
1

= + +
ữ
+ +

18.
2
2
1 2x x 2x 24 12x
H .
4 2x 3x 6 3x 12 6 13x
+

=
ữ
+ +

19.
3 3
2 2
x x x x 1 x 1 x
I :
1 x 1 x 1 x 1 x
+ + =
ữ
ữ
+ +


+

=
ữ
+ + +

23.
2
3 2
x 2 x 1 x 1
Q :
x 1 x x 1 1 x 2
+

= + +
ữ
+ +

24.
2
3 2 2 3 2
x x 1 1 2x
R :
x x x 1 x 1 x 1 x x x 1
+= +
ữ
ữ

ữ
+ +27.
( )
( )
2
2 3 2
2 3
1 x x x
2x x 1 2x x x
U 1 :
1 x 1 x 2x 1

+ +

= +
ữ
+

28.
2 2
2
2 3
4x x 2 2 3x x 4
V x .
x 4 2x 4 x 4x x 2
+


+ + +
32.
2
1 2x 3x 2 3x 2
C
2x 2x 1 2x 4x

= + +

33.
2 2 2 2
2x y 8y 2x y
D
2x xy y 4x 2x xy
+
= + +
+
17.
x 1
3

18.
2
x 2+
19.
2
2
x
1 x+
20.

( )
3
x
2 x 2+
29 8
30.
1
x 2
31.
3
x 1+
32.
1
2x

33.
( )
4x 2y
x 2x y

+
Su tầm và biên tập :Lê Hoàng Vân Trờng THCS Cẩm Sơn
4
Bài tập chuyên đề Toán 8 Họ tên:
34.
2 2
2 3
x 1 x 3x 1 1 x 1
E :
x x 1 x 1 x 1 1 x

( ) ( )
2
3 2 2
1 3 3 3x 3x 3 2x 2
H :
x 1 x 1 x x 1 x 1 x 2 x 2x
+

= +
ữ
+ + + + + +

38.
2 2
2xy x y x y y
I :
x y 2x 2y 2x y x

+
= + +
ữ
+

39.
2 2
1
2 2
3x x 9 x x 3 x 2
A 1 :
9 x x x 6 2 x x 3



+
+
1
3
22
:
9
33
33
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
41.
2 2
3
2 2 3
x 2 x 1 1 x 2
A :
x 1 x x 1 x 1 x 1
+

1
2
1
3
.
111
2
3
2
3
4
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
A
43.
x
x
xxx
x
A



A

+
++
+
+

+
=
1
1
1
1
1
2
23
2
6
45.
3
32
1
23
32
1115
2
7
+
+









+
=
2
3
3
2
6
4
:
2
1
1
2
8
x
x
x
x
x
x
x
A
47.K =

x y x y x y x y 2xy


ữ ữ
+ +

49.T=
2
1 1 2 (1 )
3 3 9
x x x x
x x x
+

+
50.A=
2 2
3 1 1 3
( 1) 1 1
x x
x x x
+ +
+
+
34.
2
1
x x 1+ +
35 1
36.

2
x
x x 1+ +
45.
46.
47.
x 2003
x
+
48.
x y
x y
+

49.
2
x 3
50.
( )
2
x 3
x 1
+

Su tầm và biên tập :Lê Hoàng Vân Trờng THCS Cẩm Sơn
5
Bài tập chuyên đề Toán 8 Họ tên:
51.
2 2
2 2 3

= + +
ữ
+

2 3
99 1 1 20 4
:
5 5 5 5 1
x
B
x x x x y xy
54.
( )
3
2
y 1 3 y 11 y
N y 1
y 3 y 1 y 2y 3


= + +
ữ
+

55.
( )
3
2
x 2 x 1 x 5
P x 1

ữ
ữ
58.
( )
2
3 3
2 2 2
2 x 2x 1
x 1 x 1
E :
x x x x x 1
+
+

=
ữ
+

59.
2
x 1 x 1 x 1
F
2 2x x 1 x 1
+

=
ữ ữ

3 2 2
1 2x 2x
I : 1
x 1 x x x 1 x 1

=
ữ ữ
+ +

63.
( ) ( )
2 2
2
a 3a 2 a a 1 1
K :
a 2 a 1 a 1 a 1 a 1

+ + +

= +

ữ
+ + 64.
2
2
2x 3 3x 2 1 6 26x 4x
M

x y
xy

53 5xy
54.
2
7y 7y 7+ +
55.
2
5x 5x 5 +
56.
1
2
57.
3x
2
58.
x 1
x 1
+

59.
2
1 x
x

60.
2
4x
x 3

2 2
2x 2x x x 2x
A :
x 3x x 4x 3 x 1 x 3
+

= + +
ữ
+

68.
2
x 2 4x x 2
B .
x 2 x 2 4 x x 3


= +
ữ
+ +

69.
2
2
1 x 1 2x x x x
C :
3 x 3 x 9 x x 3
+

=

2 2
x 1 x 1
G x 1 :
1 x x 1
+ +

= + +
ữ73.
2 3 2
4x 3 12x x 2
H :
x 2x 2 x x 4x x 2x


= + +
ữ
+ +

74.
2
3 2 2 2
4x 3x 17 2x 1 6x x 3
I :
x 1 x x 1 x x x x 1
+

= + +

K :
x 1 x (x 1) x 1 x x 1


=
ữ
+ + + +

78.
2
2
6x 5x x x 2x
M :
x 9 3 x x 3 x 3
+

= +
ữ
+

79.
2
6x x 5x 20
P .
5x 20 x 8x 16 6x 29


=
ữ
+


= + +
ữ83.
2 2
2 2
x 2006x 2009 x 2008 x 3x
A :
x 1 x 1 x 1 x x
+ +

= +
ữ
+

67.
1
x
68.
x 2
x 3
+
+
69.
10
3 x
70.
1

x 2+
79.
x
x 4
80.
1
x
81.
6
x 2
82.
1
x 3
83.
1
x 3+
Su tầm và biên tập :Lê Hoàng Vân Trờng THCS Cẩm Sơn
7
Bài tập chuyên đề Toán 8 Họ tên:
Su tầm và biên tập :Lê Hoàng Vân Trờng THCS Cẩm Sơn
8
Bài tập chuyên đề Toán 8 Họ tên:
Chuyên đề: bất đẳng thức
Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức
BT1: CMR với mọi a; b dơng, ta có:
2+
a
b
b
a

111
)(






++++
cba
cba
BT5 CMR với mọi a; b; c dơng , ta có:
2
3

+
+
+
+
+ ba
c
ca
b
cb
a
BT6 CMR nếu a, b, c là đội dài 3 cạnh của một tam giác, ta có:
a) ab + bc + ca
cabcabcba 222
222
++<++

44
+ ba
c)
2
25111
222







++






++






+
c
c

a)
2+
a
b
b
a
b)
4
11
)(






++
ba
ba

BT3 CMR: với mọi a > 0, b > 0, c > 0 ta có:

9
111
)(






9
111
9
111
)(29
111
)()()(

+
+
+
+
+

+
++
+
++
+
+







+
+
+

accbba
BT5 CMR: với mọi a, b, c, d ta có:

))((
2222
dcbabdac
+++

(BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski )
BT6 CMR: với a, b, c, d
R
và c > 0, d > 0 ta có:

dc
ba
d
b
c
a
+
+
+
222
)(

BT7 Chứng minh rằng
Với mọi số thực a + b
0

và m, n nguyên dơng, ta có:

ba
(1)
Theo bài: a + b
0



a

- b (2)
Từ (1) và (2):
0 ba
Ta suy ra:



















. Chứng minh rằng:
(a + b)(a
3
+ b
3
)(a
5
+ b
5
)

4(a
9
+ b
9
)
HD:
Theo bài: a + b
0
, áp dụng BĐT BT7:
Ta có:







+

2
.
2
995533
babababa +

+++


(a + b)(a
3
+ b
3
)(a
5
+ b
5
)

4(a
9
+ b
9
)
BT9: Cho a, b, c, d, e là các số thực. Chứng minh rằng:

)(
22222
edcbaedcba +++++++
BT10: Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng:

2
1
1
1
1
22
BT14: Cho a > 0, b > 0. Chứng minh rằng:
2
)(
41
ba
ab
+

Su tầm và biên tập :Lê Hoàng Vân Trờng THCS Cẩm Sơn
10
Bài tập chuyên đề Toán 8 Họ tên:
BT15: Cho a, b, c, d là các số dơng. Chứng minh rằng:
2
22
)(
.3
dcba
cbcada
ca
c
cb
a
+++
+++

)()(
.4
dcba
dcdabb
dcba
cbcada
ba
d
ad
c
dc
b
cb
a
BT17: Với mọi a, b. Chứng minh rằng:
a)
)(4)(
333
baba ++
b)
)(3)()(3
2222
cbacbacabcab ++++++
BT18: Với mọi a, b, c, d. Chứng minh rằng:
a)
cabcabcba ++++
222
b)
abcddcba 4
4444


16abc
c) Cho a, b > 0 và a + b = 1. Chứmg minh rằng:
5,12
11
22







++






+
b
b
a
a
Dạng 3. Sử dụng BĐT để tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số.
* Phơng pháp:
- Ta đa các biểu thức đại số cần tìm GTLN, GTNN về một trong 2 trờng hợp:
+ TH1: A
2

2


0 với mọi giá trị của x .

P = 2(x 1)
2
+ 8

8. Đẳng thức xảy ra

x 1 = 0

x = 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 8

x = 1.
BT2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x
2
+ 6y
2
+ 14z
2
8yz + 6zx 4xy
HD: P
222
3)(2)32( zzyzyx ++++=

P


0 với mọi x, y, z.

Q

2001. Đẳng thức xảy ra

x = y = 1.Vậy GTNN của Q = 2001

x = y = 1.
BT4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
E = xy + yz + zx, biết x + y + z = 3
BT5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = (x + 2005)
2
+ (y + 2006)
2
+ (z + 2007)
2

BT6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Q = (x + a)
2
+ (y + b)
2
+ (z + c)
2
, với a, b, c là các hằng số.
BT7: Cho x, y là hai số thay đổi luôn thoả mãn điều kiện x + y = 1.
Tìm GTNN của biêu thức A = x

, ,, aaa
là các hằng số.
BT11: Tìm GTNN của biểu thức E = (x + a)
2007
+ (y + b)
2007
+ (z + c)
2007
biết x + y + z = 6021 và a, b, c là các hằng số.
BT12: Tìm GTLN của biểu thức G =
2
)2007( +x
x
, với x > 0.
BT13: Tìm GTLN của biểu thức H =
22
22
yxyx
yxyx
+
++
với x > 0, y > 0.
BT14: Cho x, y > 0 và x + y = 5. Tìm GTNN của biểu thức: A =
yx
11
+
Dạng 4. Sử dụng bất đẳng thức để tìm cực trị trong hình học
BT1: Cho

ABC. Qua một điểm M bất kì thuộc cạnh AC, kẻ các đờng thẳng song song với hai

BC
EM
S
S
2
'
=
Đặt MA = x, MC = y. Mặt khác ta có:
yx
y
AK
HK
yx
x
BC
EM
+
=
+
= ;
(định lí Talet)
2'
)(
2
yx
xy
S
S
+
=

. Vậy GTLN của S

=
2
1
S. Đẳng thức xảy ra

x = y hay khi đó M là trung
điểm của AC.
BT2 : Cho hbh BEMF. Dựng đờng thẳng đi qua M cắt các cạnh của góc B tạo thành một tam giác có
diện tích nhỏ nhất.
HD: Xét
2
2
)(
'
2

+
=
xy
yx
S
S
Su tầm và biên tập :Lê Hoàng Vân Trờng THCS Cẩm Sơn
12
Bài tập chuyên đề Toán 8 Họ tên:
BT3: Trong hình thang ABCD (BC // AD) có diện tích S không đổi, E là giao điểm của các đờng
chéo, ở hình thang có thêm điều kiện gì thì


1
2
1
.'
'
'
'
;
'
SSS
S
S
S
S
EA
EC
S
S
EA
EC
S
S
====
(1)
Đặt BC = x; AD = y, ta biểu thị các tỉ số
S
S
S
S
S


=
và
2
2
2
2
)( yx
y
AK
AD
S
S
+
=






=
(2)
Từ (1) và (2), ta có:
24
22
21
2
)(
'






+
2
2
, ta có:
4
1
)(
'
2

+
=
yx
xy
S
S
. Do đó: GTLN của S


4
1
=
S. Đẳng thức xảy ra

x = y

++
++
+
+
+
+
với mọi n

N
BT11: Cho a. b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR:
Su tầm và biên tập :Lê Hoàng Vân Trờng THCS Cẩm Sơn
13
Bài tập chuyên đề Toán 8 Họ tên:

3
++
+
+
+
+ cba
a
cba
b
cba
c
BT12: Cho a. b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR:
111
++
++
+

minh: KN
2
= KP . KQ
B i4 . Cho tam giác ABC vuông tạo A; AB = 15cm, AC = 20cm, đờng cao AH.
a) Chứng minh: HBA đồng dạng với ABC.
b) Tính BC, AH.
c) Gọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ hình bình hành ADCE. Tứ giác ABCE là hình gì? Tại sao?
d) Tính AE.
e) Tính diện tích tứ giác ABCE.
B i5 .Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đờng cao AH. Từ B kẻ tia Bx AB, tia Bx cắt tia AH
tại K.
a) Tứ giác ABKC là hình gì ? Tại sao?
b) Chứng minh: ABK đồng dạng với CHA. Từ đó suy ra: AB . AC = AK . CH
c) Chứng minh: AH
2
= HB . HC
d) Giả sử BH = 9cm, HC = 16cm. Tính AB, AH.
B i6. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đờng cao AF, BE cắt nhau tại H. Từ A kẻ tia Ax vuông góc
với AC, từ B kẻ tia By vuông góc với BC. Tia Ax và By cắt nhau tại K.
a) Tứ giác AHBK là hình gì? Tại sao?
b) Chứng minh: HAE đồng dạng với HBF.
c) Chứng minh: CE . CA = CF . CB
d) ABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác AHBK là hình thoi.
B i7 Cho tam giác ABC, AB = 4cm, AC = 5cm. Từ trung điểm M của AB vẽ một tia Mx cắt AC tại N
sao cho gócAMN = gócACB.
a) Chứng minh: ABC đồng dạng với ANM.
b) Tính NC.
c) Từ C kẻ một đờng thẳng song song với AB cắt MN tại K. Tính tỉ số
MK
MN

Chứng minh:
a) BEF đồng dạng với DEA.
DGE đồng dạng với BAE.
b) AE
2
= EF . EG
c) BF . DG không đổi khi F thay đổi trên cạnh BC.
B i 11.Cho ABC, vẽ đờng thẳng song song với BC cắt AB ở D và cắt AC ở E. Qua C kẻ tia Cx
song song với AB cắt DE ở G.
a) Chứng minh: ABC đồng dạng với CEG.
b) Chứng minh: DA . EG = DB . DE
c) Gọi H là giao điểm của AC và BG. Chứng minh: HC
2
= HE . HA
B i 12.Cho ABC cân tại A (góc A < 90
o
). Các đờng cao AD và CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: BEC đồng dạng với BDA.
b) Chứng minh: DHC đồng dạng với DCA. Từ đó suy ra: DC
2
= DH . DA
c) Cho AB = 10cm, AE = 8cm. Tính EC, HC.
Su tầm và biên tập :Lê Hoàng Vân Trờng THCS Cẩm Sơn
15