Bộ giáo dục và đào tạo
Đề chính thức
Đề thi tuyển sinh đại học năm 2009
Môn thi: toán; Khối A
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề)
Phần chung cho tất cả các thí sinh (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số
32
2
+
+
=
x
x
y
(1)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2/ Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành,
trục tung lần lợt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phơng trình:
( )
( )( )
3
sin1sin21
cossin21
=
+

xx

3
Phần riêng (3,0 điểm): Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chơng trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao
điểm của hai đờng chéo AC và BD. Điểm M(1; 5) thuộc đờng thẳng AB và trung điểm E
của cạnh CD thuộc đờng thẳng :
05 =+ yx
. Viết phơng trình đờng thẳng AB.
1
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):
0422 = zyx
và mặt cầu
(S):
011642
222
=++ zyxzyx
. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S)
theo một đờng tròn. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đờng tròn đó.
Câu VII.a (1,0 điểm)
Gọi z
1
và z
2
là hai nghiệm phức của phơng trình
0102
2
=++ zz
. Tính giá trị của biểu thức:
2

2
1
1
3
2
1

+
=

=
zyx
. Xác định toạ độ điểm M thuộc đờng
thẳng
1
sao cho khoảng cách từ M đến đờng thẳng
2
và khoảng cách từ M đến mặt
phẳng (P) bằng nhau.
Câu VII.b (1,0 điểm)
Giải hệ phơng trình
( )
( )





=
+=+



=
2
3
\RD
0.25
b/ Sự biến thiên của hàm số
Giới hạn vô cực, giới hạn tại vô cực và các đờng tiệm cận

3 3
2 2
lim , lim
x x
y y
+= = +
, nên đờng thẳng
2
3
=x
là tiệm cận đứng
0.25
2

2
1
lim =

Hµm sè nghÞch biÕn trªn mçi kho¶ng






−∞−
2
3
;
vµ






+∞− ;
2
3
0.25
c/ §å thÞ:
§å thÞ c¾t trơc tung t¹i ®iĨm







0.25
b)
ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tun
1.00
* Tam giác OAB cân tại O nên tiếp tuyến song song với một trong hai
đường thẳng y = x hoặc y = -x. Mµ y’ < 0, nªn:

2
0
1
1
(2x 3)
−
= −
+
⇒
0 0
0 0
x 1 y 1
x 2 y 0
= − ⇒ =


= − ⇒ =


0.50
* ∆
1
: y – 1 = -1(x + 1) ⇔ y = -x (loại)

*
cos cos 2
3 6
x x
π π
   
⇔ + = −
 ÷  ÷
   
0.50
3
2
2
= x k


(loaùi)
2
18 3
= +x k

, k Z (thoả mãn)
b)
Giải phơng trình
3
2 3x 2 3 6 5x 8 0 + =
1.00
* Đặt
xvxu 56,23
3


=
=
4
2
v
u
0.25
* Do đó
2
456
223
3
=



=

x
x
x
. Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x =
-2
0.25
Câu 3
Tính tích phân
1.00
* Ta có
( )

0
3
2
0
2
0
2
2
2
0
5
1
=+===




xxxxdxxdxI
0.25
* Tính
( )
4
2sin
2
1
.
2
1
2
1


A
B
D
C
S
I
H
J

* Vì các mp(SBI) và mp(SCI) cùnh vuông góc với mp(ABCD), nên SI là
đờng cao của hình chóp
Gọi H là hình chiếu của I trên BC thì góc SHI là góc giữa 2 mp(SBC) và
0.25
4
mp(ABCD). Hay góc SHI = 60
0
* Đáy ABCD có diện tích là:
( )
2
3.
2
1
aADCDABS
d
=+=
0.25
* Tam giác IBC có diện tích
2
3

1
3
a
SSIV
d
==

0.25
Câu 5
Chứng minh bất đẳng thức
1.00
* Vì x,y,z >0 nên x(x+y+z) = 3yz
1 3
y z y z
x x x x
+ + =
t
0, 0, 0
y z
u v t u v
x x
= > = > = + >
.Tađợc:
( ) ( )
2
2
2
1 3 3 3 3 4 4 0 2 3 2 0 2
2 4
+

+ + + + + + +
+

+ + + +
ữ

t u v u v u v t t
t u v t t u v uv t
t
t t t t t t t t t
0.50
* Lại do
2

t
,nên bất đẳng thức luôn đúng. Vậy ta có ĐPCM
Phần riêng cho từng chơng trình 3.00
Phần đề thi theo chơng trình chuẩn
Câu
VI.a
Phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng và không gian
2.00
a)
Viết phơng trình đờng thẳng
1.00
* Vì
( )
E
nên toạ độ của E có dạng E(m; 5 m); Gi F l trung im
ca AB thì F (12 m; m 1). Do E,F đối xứng nhau qua điểm I(6;2)

432.21.2
.
Vậy mp(P) cắt mc(I) theo giao tuyến là đờng tròn tâm J, bán kính r.
0.25
5
* Bỏn kớnh ng trũn r =
2 2
R IJ 25 9 4 = =
0.25
* Phơng trình JI là x=1+2t,y=2-2t,z=3-t, nên J=(1+2t;2-2t;3-t) và
( )
PJ
, suy ra tâm của đờng tròn là J(3 ;0 ;2)
0.25
Câu
VII.a
Số phức
1.00
* Phơng trình
0102
2
=++ zz
có 2 nghiệm phức là z= -1+3i và z = -1- 3i 0.50
* Do đó A = z
1

2
+ z
2


ã
1
IA.IB.sin AIB
2
= sin
ã
AIB
Do ú S

ABC
ln nht khi v ch khi sin
ã
AIB
= 1 AIB vuụng ti I
0.25
* Ta đợc IH =
IA
1
2
=
(tha IH < R)
2
1 4m
1
m 1

=
+

1 8m + 16m

2
) = d (M, (P))
2
261t 792t 612 11t 20 + =
35t
2
- 88t + 53 = 0 t = 1 hay t =
53
35
0.25
* Do đó, có 2 điểm M thoả mãn là : M (0; 1; -3) và M
18 53 3
; ;
35 35 35

ữ

0.25
Câu
VII.b
GiảI hệ phơng trình
1.00
* iu kin xy > 0
0.25
* Hệ phơng trình

2 2
2 2 2 2
2 2
log (x y ) log 2 log (xy) log (2xy)

x 2
y 2
=


=

0.50
Hết
6