GV: Lê Đức Thanh
____________________________________________________________________
______________________________________________________________
Chương 4: Trạng thái ứng suất
6
Nếu gọi
o
α
là góc của trục x hợp với phương chính thì điều kiện để tìm
phương chính là:
uv
τ
=0 ⇔
02cos2sin
2
=+
−
+
ατα
σ
σ
xy
yx

⇒ Phương trình xác đònh α
0
:
β
σσ
τ

±=

(4.5) cho thấy có hai giá trò α
0
sai biệt nhau 90°. Vì vậy, có hai mặt chính
vuông góc với nhau và song song với trục z. Trên mỗi mặt chính có một
ứng suất chính tác dụng.
Hai ứng suất chính này cũng là ứng suất pháp cực trò (ký hiệu là
σ
max
hay σ
min

) bởi vì
yx
xy
u
dz
d
σσ
τ
α
σ
−
−=⇔=
2
2tan0
giống với (4.5)
Giáù trò ứng suất chính hay ứng suất pháp cực trò có thể tính được
bằng cách thế ngược trò số của

22
xy
yxyx
τ
σσσσ
σσ
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
±
+
==
(4.6)
Ta lại thấy σ
max
+ σ
min
= σ
1
+ σ
3
= σ
x

−
=
−
−=
yx
xy
o
σσ
τ
α
⇒
oo
o
k180452 +−=
α

⇒
'3067;'3022
)2()1( o
o
o
o
=−=
αα
(i)
a)
H. 4.10

y
x

⎪
⎨
⎧
=±=+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
±
+
=
2
2
kN/cm
kN/cm
58,1
41,4
231
2
24
2
24
2
min
max
σ
(ii)

1
= 4,41 kN/cm
2
ứng với góc nghiêng '3022
)1( o
o
−=
α
,

σ
2
= 1,58 kN/cm
2
tác dụng trên mặt có '3067
)2( o
o
−=
α
.
Các mặt và ứng suất chính biểu diễn trên phân tố ở H.4.10b.
2- Ứng suất tiếp cực trò
Tìm ứng suất tiếp cực trò và mặt nghiêng trên đó có ứng suất tiếp cực
trò bằng cách cho
0=
α
τ
d
d
uv

2tan −=

(4.8)
⇒
o
o
k9022 ±=
αα
hay
o
o
k45±=
αα
⇒
Mặt có ứng suất tiếp cực trò hợp với những mặt chính một góc 45°.
Thế (4.8) vào (4.2b), ta được :

2
2
min
max
2
xy
yx
τ
σσ
τ
+
⎟
⎟
TTUS Trượt thuần tuý

H. 4.13
H. 4.11
Ứng suất tiếp cực trò
o

o

45

)

2

(

)

2

(

1

+

=

3
(4.10)
Phân tố có 2 ứng suất chính ( sẽ gặp ở trường hợp thanh chòu uốn ).
2- TTƯS trượt thuần túy (H.4.13)
Ở đây,
ττσσ
===
xyyx
;0
;Thay vào (4.6)
⇒
τσσ
±==
3 ,1
min
max
hay
τσσ
=−=
31
(4.11)
Hai phương chính được xác đònh theo (4.5):

∞=
o
α
2tan ⇔
24
π
π

σ
σ
σ
σ
σ
2sin2cos
22
xy
yxyx
u
−
−
=
+
− (4.14)

ατα
σ
σ
τ
2cos2sin
2
xy
yx
uv
+
−
= (4.14)’
Bình phương cả hai vế của hai đẳng thức trên rồi cộng lại, ta được:


⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
(4.15)
Đặt:
2
2
2
;
2
xy
yxyx
c
τ
σσσσ
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
+

O

C
σ

R

C
τ

H. 4.15
Vòng
tròn ứng suất

GV: Lê Đức Thanh
____________________________________________________________________
______________________________________________________________
Chương 4: Trạng thái ứng suất
9
trục z của phân tố đều biểu thò bằng tọa độ những điểm trên vòng tròn. Ta
gọi vòng tròn biểu thò TTƯS của phân tố là vòng tròn ứng suất hay vòng
tròn Mohr ứng suất của phân tố.
Cách vẽ vòng tròn: (H.4.16) - Đònh hệ trục tọa độ
τ
σ
O
: trục hoành

=
+
=
+
=
2
σ
σ
2
OFOE
OC

Trong tam giác vuông CPF:
xy
yx
τ
σσ
=
−
=
−
= FP ;
2
OFOE
FC
2

Do đó ⇒
22
2


P
τ
x

y

O
τ
H.4.16

vòng tròn ứng suất
Cách vẽ
σ
y
E


GV: Lê Đức Thanh
____________________________________________________________________
______________________________________________________________
Chương 4: Trạng thái ứng suất
10

H. 4.17 Đònh ứng suất trên mặt nghiêng

B
F
C
E


ma
x
P
ma
x
u
x
u

u
minx
u

u
v
2
α

α

Dùng vòng tròn Mohr để tìm ứng suất trên mặt cắt nghiêng của phân
tố có pháp tuyến u hợp với trục x một góc
α
.
Cách tìm σ
u
; τ
uv


RR
R
yx
yx
−+
+
=
++
+
=+=

nhưng:
xy
yx
R
τα
σ
σ
α
==
−
== ED2 Rsin CE
1
;
2
2cos
1

nên:
uxy

⎛
−
=
+=+=
2cos2sin
2

2cos2sin2sin2cos22sinGM
111

Ta nhận lại được phương trình (4.2)

3- Đònh ứng suất chính- phương chính- Ứng suất pháp cực trò

GV: Lê Đức Thanh
____________________________________________________________________
______________________________________________________________
Chương 4: Trạng thái ứng suất
11
Trên vòng tròn ứng suất ( H.4.17)
Điểm A có hoành độ lớn nhất, tung độ = 0⇒ σ
max
=
AO
; τ =0
Tia PA biểu diễn một phương chính.
Điểm B có hoành độ nhỏ nhất, tung độ = 0⇒ σ
min
=
BO

và
σ
3
(H.4.18).
- TTƯS trượt thuần túy
Phân tố có 2 ứng suất chính:

||
31
τσσ
=−=
Các phương chính xiên góc
45
o
với trục x và y (H.4.19)

- TTƯS chính ( H.4.20) 2
21
minmax,
σ
σ
τ
−
±=Thí dụ 4.3 Phân tố ở TTƯS phẳng


τ
σ
σ

max

=

τ

C
B
A
P
σ

min

=

τ

-

τ

τ

τ

σ
1
τ
max

H. 4.20

TTỨS CHÍNH- Vòng Morh

GV: Lê Đức Thanh
____________________________________________________________________
______________________________________________________________
Chương 4: Trạng thái ứng suất
12
kN/cm
2
. Dùng vòng tròn Mohr, xác đònh:
a) Ứng suất trên mặt cắt nghiêng
o
45=
α

b) Ứng suất chính và phương chính
c) Ứng suất tiếp cực trò.

45
o
u
σ



u
v
σ

1

B
J
A
3
F
O
-2
-5
-7
1
3
4
5
I

P
= - 67

o

24’

α

xy
2
y
2
kN/cm 4 ;kN/cm 1 ;kN/cm 5 +==−=
τσσ
x

♦Tâm vòng tròn ở C
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
0,
2
15
.
♦ Cực P(1, + 4). Từ P vẽ tia song song với trục u cắt vòng tròn Mohr
tại M. Tọa độ điểm M biểu thò ứng suất trên mặt cắt nghiêng với
o
45=
α
:

2
uv
2

kN/cm kN/cm 5;5
minmax
−==
ττ

Các ứng suất này tác dụng lên các mặt, tương ứng với các góc
nghiêng:
'36161;'3671
)2(
1
)1(
1
oo
==
αα