Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán trường THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hoá
================================================
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC: 2003-2004
MÔN: THI TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 27 tháng 6 năm 2003
Bài 1. (2 điểm)
Cho
2
x + x x - x - x

x + x
A =
a, Hãy rút gọn biểu thức A
b, Tìm x thoả mãn
A = x - 2 + 1
.
Bài 2. (2 điểm)
Cho phương trình: x
2
- 4( m – 1 )x + 4m – 5 = 0. (1)
a, Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn
2 2
1 2
x + x = 2m
.

2
= AB.
2. Các tứ giác AD
1
DD
2
; AE
1
EE
2
nội tiếp trong một đường tròn và D1D
2
vuông góc với
E
1
E
2
.
Bài 4. (2 điểm)
Cho hình chopSABC có SA
⊥
AB; SA
⊥
AC; BA
⊥
BC; BA = BC; AC =
a 2
; SA = 2a.
a, Chứng minh BC
⊥

Đề chính thức
Đề chính thức
MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Nga - Pháp)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (2 điểm)
Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phương trình: 2x
2
+ 2mx + m
2
– 2 = 0.
1. Với giá trị nào của m thì:
1 2
1 2
1 1
+ + x + x = 1
x x
.
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =
2 2 1 2
2x x + x + x - 4
.
Bài 2. (1,5 điểm)
Giải phương trình: (x
2
+ 3x + 2)(x


MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

2
Đề chính thức
Bài 1. (1,0 điểm)
Cho hai phương trình: x
2
+ ax + 1 = 0 và x
2
+ bx + 17 = 0. Biết hai phương trình có nghiệm
chung và
a + b
nhỏ nhấ. Tìm a và b.
Bài 2. (2 điểm)
Giải phương trình:
2
x + x - 5 + x + x - 5x = 20
.
Bài 3. (2,5 điểm)
1. Giải hệ phương trình:
3 3
7 7 4 4
x + y = 1
x + y = x + y





SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC: 2004-2005

MÔN: TOÁN CHUNG
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (2 điểm)
1. Giải phương trình:
7 - x = x - 1

3
Đề chính thức
2. Chứng minh phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) luôn có hai nghiệm phân biệt. Biết
rằng 5a – b + 2c = 0.
Bài 2. (2,5 điểm)
Cho hệ phương trình:
x + y-2 = 2
2x - y = m





(m là tham số)
1. Giải hệ phương trình với m = -1.
2. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 3. (3 điểm)

là các nghiệm của phương trình. Tìm m để: 3x
1
+ 2x
2
= 5.
Bài 2: (1,5 điểm)
Cho hai số thực dương x, y thoả mãn điều kiện: 2x
2
– 6y
2
= xy. Tính giá trị của biểu thức: A =
x - y
3x + 2y
.
Bài 3: (2 điểm)

4
Đề chính thức
Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
1 1 9
x + + y + =
x y 2
1 1 25
x + + y + =
x y 4




3
lần lượt là bán kính các đường tròn nội tiếp
∆
APB,
∆
APH và
∆
BPH. Tìm vị trí điểm P để tổng R
1
+ R
2
+ R
3
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5: (1 điểm)
Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 3.
Chứng minh rằng a
4
+ b
4
+ c
4

≥
a
3
+ b
3
+ c
3


.
Bài 3: (2,0 điểm)
1. Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện: x
2
+ 5y
2
– 4xy – x + 2y – 6 = 0. Chứng minh:
1 4x - 2y + 1− ≤ ≤
.
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y
3
– x
3
= 2x + 1.
Bài 4: (3,5 điểm)
1. Cho
∆
ABC có diện tích là 32 cm
2
, tổng độ dài hai cạnh AB và BC bằng 16 cm. Tính độ
dài cạnh AC.

5
Đề chính thức
2. Cho tam giác nhọn ABC (AB < BC) có đường cao AM và trung tuyến BO. Đường thẳng
qua C song song với AB cắt tia BO tại điểm D. Gọi các điểm N, P lần lượt là hình chiếu
vuông góc của A lên các đường thẳng BD, CD.
a. Chứng minh: NA
2

– x – 1 = 0. Chứng minh:
( ) ( )
1 2
x x
P = P
.
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x
2
+ 14 y
2
+ 13xy = 330.
Bài 2: (2,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
2 2
x + y + 2xy = 8 2
x + y = 4





Bài 3: (2,0 điểm)
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2 2
y = x + x + 1 + x - x + 1
.
2. Cho ba số thực x, y, z đều lớn hơn 2 và thoả mãn điều kiện:
1 1 1
+ + = 1
x y z

Bài 1: (1,5 điểm)
Giải hệ phương trình:
( )
( )
( )
3xy = 2 x+y
5xy = 6 y+z
4xz = 3 x+z







.
Bài 2: (2,0 điểm)
Đội bóng bàn của trường A thi đấu với đội bóng bàn của trường B, mỗi đấu thủ của trường A
thi đấu với mỗi đấu thủ của trường B một trận.
Biết rằng: Tổng số trận đấu bằng 4 lần cầu thủ, số cầu thủ của trường B là số lẻ. Tính số cầu
thủ của mỗi đội.
Bài 3: (3,0 điểm) Cho hai điểm A và B cố định trên đường tròn tâm O. C là điểm chính giữa cung
AB, M là một điểm trên đoạn AB. Tia CM cắt đường tròn (O) tại D. Chứng minh rằng:
a. AC
2
= CM.CD
b. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM thuộc đường tròn côc định.
c. Gọi R
1
, R

+
2
x -
2
= 0 (1)
1. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm trái dấu.
2. Gọi x
1
là nghiệm dương của phương trình (1). Chứng minh rằng:
1
4 2
1 1 1
x + 1
= 2
x + x + 1 - x
Câu 2: (2,0 điểm)
Cho hệ phương trình:
( )
2 2
a x + y + x + y = b
y - x = b





1. Giải hệ khi a = 1, b=2.

8
Đề chính thức
3. Tính tỉ số
2 2 2
2 2 2
IM + IJ + IN
IA + IB + IH
.
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x
4
+ y
4
– 7 = xy(3 - 2xy). Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của tích xy.
Hết
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC: 2008-2009
MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 01 trang Ngày thi: 16 tháng 6 năm 2008
Câu 1: (2,0 điểm)
Tính giá trị của biểu thức M =
1 1
+
1 + 2a + 1 1 - 2a + 1
,
biết rằng:
a 7
=

Câu 5: (2,0 điểm)
Giả xử x, y là các số nguyên dương sao cho x
2
+ y
2
+ 6 chia hết cho xy. Tìm thương
của phép chia x
2
+ y
2
+ 6 cho xy.
Hết

9
Đề chính thức
Họ và tên thí sinh: ………………………………… Số báo danh: ……………………
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC: 2009-2010
MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009
Câu 1: (2,0 điểm)
Cho T =
2
2
2x + 4 1 1
- -
1 - x
1 + x 1 - x
.




≤
≥
. Chứng minh
rằng có ít nhất một trong hai phưông trình sau có nghiệm
x
2
– 2(a + 1)x + a
2
+ 6abc + 1 = 0
x
2
– 2(b + 1)x + b
2
+ 19abc + 1 = 0
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho tam gi ác ABC c ó ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tòn tâm O đường kính AD.
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, E là một điểm trên cung BC không chứa điểm A.

10
Đề chính thức
1. Chứng minh rằng tứ giác BHCD là hình chứ nhật.
2. Gọi P và Q lần lượt là các diểm đối xứng của E qua các đường thẳng AB và
AC. Chứng minh rằng ba điểm P, H, Q thẳng hàng.
3. Tìm vị trí điểm E để PQ có độ dài lớn nhất.
Câu 5: (1,0 điểm)
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có ba góc nhọn. Chứng minh rằng với
mọi số thực x, y, z ta luôn có :

5
5
1
x +
x
.
2. Giải hệ phương trình:
1 1
+ 2 - 2
y
x
1 1
+ 2 - 2
x
y







=
=
Câu 2: (2,0 điểm)
Cho phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) có hai nghiệm x

BN.

11
Đề chính thức
2. Cho đường tròn (O) bán kính R = 1 và một điểm A sao cho OA =
2
. Vẽ các
tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Một góc xOy có
số đo bằng 45
0
có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng
AC tại E. Chứng minh rằng
2 2 - 2 DE < 1≤
.
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho biểu thức P = a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ ac + bd , trong đó ad – bc = 1. Chứng minh
rằng: P
≥

3
.
Hết