Sở giáo dục - đào tạo
hà nam
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam
Năm học : 1999-2000
Môn : Toán chuyên
(Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,0 đ):
Rút gọn biểu thức: A =
91229122 + xxxx
Bài 2: (2,0 đ)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = 2x
2
và điểm A thuộc (P) có
hoành độ bằng 2. Tìm tọa độ điểm M trên phần đồ thị của (P) từ O đến A sao cho diện
tích tam giác OAM đạt giá trị lớn nhất.
Bài 3: (2,0 đ) : Giải hệ phơng trình:
















3
32
2
21
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx

Bài 4 (2,0 đ) :
Cho đờng tròn (O) đờng kính AH. I, K là 2 điểm thuộc 2 nửa đờng tròn khác phía
đối với AH sao cho AI, AK kéo dài cắt HK, HI lần lợt tại B, C.
a) Lấy H đối xứng với H qua BC. Chứng minh ABHC nội tiếp
b) Chứng minh các tiếp tuyến với đờng tròn đờng kính BC tại K và I và AH đồng
quy.
Bài 5 (2,0 đ).
Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R, bán kính OC AB. Vẽ đờng tròn tâm
O đờng kính OC. Dựng đờng tròn tâm K tiếp xúc trong với nửa đờng tròn (O), tiếp xúc
ngoài với đờng tròn (I) và tiếp xúc với đoạn thẳng OB.
1
Sở giáo dục - đào tạo
hà nam
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam
Năm học : 2000-2001
Môn : Toán chuyên
(Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề)

++
3
1
)3(4)1)(3(

a) Giải phơng trình với m = -3
b) Giải và biện luận phơng trình theo tham số m
Bài 3 (2,0 đ)
Cho nửa lục giác đều ABCD nội tiếp đờng tròn (O) đờng kính AD, F là một điểm
trên đờng tròn sao cho BF và BD khác phía nhau đối với OB. BF, BD lần lợt cắt nhau tại
E và H
a) Chứng minh: BC
2
= BE.BF và tứ giác EHDE nội tiếp đợc đờng tròn.
b) Gọi J là điểm đối xứng của B qua O, AJ cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHD
tại K. Chứng minh góc AHK = 90
0
c) N là một điểm trên đờng tròn (O), (N khác B), NC cắt AD tại Q. Tìm tập hợp tâm
đờng tròn ngoại tiếp tam giác NBQ khi điểm N chuyển động trên đờng tròn (O).
Bài 4 (4,0 đ). Cho tam giác ABC với phân giác trong AD. Lấy E, F nằm giữa A, D (theo
thứ tự A, E, F, D) sao cho góc ABE = góc CBF. Chứng minh: góc BCF = góc ACE.
Sở giáo dục - đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam
2
hà nam
Năm học : 2001-2002
Môn : Toán chuyên
(Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2,0 đ): Cho biểu thức: Q=
1
2






+








+=
2
2
2
2
11
y
x
x
y
A
Câu 4(3,0 đ): Cho đoạn thẳng AB và 1 điểm M trên AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ
AB vẽ 2 hình vuông AMED và BMCF. Các đờng tròn ngoại tiếp 2 hình vuông này cắt
nhau tại 2 điểm M, N
a) Chứng minh đờng thẳng AN đi qua C và đờng thẳng BE đi qua N
b) Chứng minh rằng đờng thẳng MN đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên

+ x
2
10
) + (x
1
9
+ x
2
9
) - (x
1
8
+ x
2
8
) = 0
b) Tính A =x
1
7
+x
2
7

Câu 2: (2,5 đ): Cho 2 phơng trình: x
2
+ (m+1)x +1 = 0 (1) và x
2
+ x +m +1 = 0 (2) , (m
là tham số).
a) Tìm những giá trị của m để tổng các bình phơng các nghiệm của phơng trình (1)

Câu 4: (3,0 đ): Cho góc xOy, các đờng tròn (O
1
; R
1
), (O
2
; R
2
) không cắt nhau lần lợt
tiếp xúc với Ox tại M
1
, M
2
, tiếp xúc với Oy tại N
1
, N
2
.
a) Tiếp tuyến chung trong của các đờng tròn tâm O
1
, O
2
cắt O
1
O
2
tại K. Chứng
minh: OO
1
.KO

.OM
1
.
4
Sở giáo dục - đào tạo
hà nam
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam
Năm học : 2003-2004
Môn : Toán chuyên
(Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,0 đ):
1) Chứng minh rằng:
73312518233125182
33
=++
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
22
)2004()2003( + xx
Bài 2 (2,0 đ):
1) Tìm a để phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
0
145
352)23(
2
22
=
+
+
xx
aaxax

2
y
2
-4x
2
-7y
2
-5=0
2) Giải hệ phơng trình:





+=+
+=+
)1(51
164
22
33
xy
xyyx

Bài 4 (3,5 đ). Gọi O là tâm, r là bán kính đờng tròn nội tiếp, AD là đờng cao (D thuộc
BC) là đờng cao xuất phát từ A của tam giác ABC, kéo dài AO cắt đờng tròn ngoại tiếp
tam giác ABC tại F.
1) Chứng minh tam giác FBO cân
2) Gọi M là trung điểm của BC, đờng thẳng MO cắt đờng cao AD tại . Chứng
minh AE = r.
5

2
, x
3
, x
4
và đợc sắp xếp nh
vậy theo thứ tự tăng dần, tìm a để x
2
-x
1
= x
3
- x
2
= x
4
- x
3
Bài 3 (1,5 đ): Tìm mọi giá trị x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức:

10
3
2
131413 +++=+
x
xyy

Bài 4 (3,0 đ). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O), điểm B đối xứng với C
qua AB, điểm C đối xứng với B qua AC, H là giao điểm của BC và CB
1) Kí hiệu O

Bài 1 (2,5 đ): Giải các phơng trình sau:
1) (1 - x - 2x
2
)
2
- 4x
3
(x + 1) + 7x +1 = 0
2)
52232
22
+=++ xxxx
Bài 2 (2,0 đ): Cho biểu thức: A =








+
+
+

+
+

+


1) Cho x, y, z là các số dơng. Chứng minh:
)(
8
3
222
zyx
yx
z
xz
y
zy
x
++>
+
+
+
+
+
2) Gọi , là 2 nghiệm phân biệt của phơng trình x
2
+ x +k + 1 = 0.
Đặt



+
=
nn
n
a

Môn : Toán chuyên
(Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2,0 đ) :
1) Tính:
3241232426 +
2) Cho a = 1 -
5
, b = 1 +
5
. Tính a
3
+ b
3
Bài 2 (2,0 đ):
1) Giải phơng trình : (x 1)
3
+ (x + 2)
3
= 8x
3
+ 1
2) Cho hệ phơng trình:





=+++
=+
)2(0443

+
Bài 4 (3,0 đ). Từ điểm C nằm ngoài đờng tròn (O
1
) kẻ tiếp tuyến CM, CN và cát tuyến
CAB với đờng tròn (O
1
) (M, N là các tiếp điểm, A nằm giữa C và B)
1) Chứng minh AM.BN = AN.BM
2) Vẽ đờng tròn (O
2
) đi qua A, B (2 điểm O
1
, O
2
khác phía đối với đờng thẳng
AB). Các đờng thẳng AM, AN cắt đờng tròn (O
2
) lần lợt ở P, Q (P, Q khác A).
Chứng minh đờng thẳng MN đi qua trung điểm I của PQ.
Bài 5 (1,0 đ). Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng phân giác trong góc B cắt cạnh AC
tại D, biết BD = 7, CD = 15. Tính độ dài AD.
8
Sở giáo dục - đào tạo
hà nam
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam
Năm học : 2007-2008
Môn : Toán chuyên
(Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (3,0 điểm)
1. Trên mặt phẳng toạ độ O xy cho ba điểm A( 2; -3), B( -2; 1) , C (4;-1)

a, Chứng minh tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp.
b, Gọi K là giao điểm của tia AM với đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD, chứng
minh KD//BC.
c, Gọi E là điểm đối xứng với điểm D qua đờng thẳng BC. Chứng minh 3 điểm M,
A, E thẳng hàng.
Bài 4( 1,0 điểm)
Cho f(x) = ax
2
+bx +c với a, b, clà các số nguyên và akhác 0. Biềt f(0) và f(10 là các số
lẻ, chứng minh rằng phơng trình f(x) = o không có nghiệm là số nguyên.
9
10
sở giáo dục - đào tạo
hà nam
kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên
Năm học 2008-2009
hớng dẫn chấm môn thi toán: đề chuyên
Bài 1(2,0điểm)
1)(1,0 điểm)
( )
2
x 1 x 1 6 0
+ + =
Đặt t =
x 1+
0
ta có p/t:
2
t t 6 0
=



0,50
Bài 2(2,0điểm)
a)(1,0 điểm) Với
m 2
=
đờng thẳng
( )

có p/t:
( ) ( )
y 2 3 x 2 1 2= +
0,25
p/t:
( ) ( )
2
x 2 3 x 2 1 2 = +


( ) ( )
2
x 2 3 x 2 1 2 0+ + =
0,25
( )
2
2 1
= +



1 2
x .x 0

0,25
( )
( )
2
m 1 0
P 2 1 m 0

= + >



=



m 1
m 1








m <-1 hoặc -1<m


y
+

0,50
Do đó Q

8 + 6 7 = 7 0,25
dấu = xảy ra khi 8/x=2x và 3/y = 3y

x = 2 và y = 1.
Vậy giá trị bé nhất của Q là 7 0,25
2)(1,0 điểm) Với n = 1 ta có A = 3 không là hợp số
0,25
Với n >1 khi đó A =
( )
2009 2 2008 2
(n n ) n n (n n 1)
+ + + +
=
( ) ( ) ( )
2 3 669 3 669 2
n (n ) 1 n (n ) 1 n n 1
+ + + +

0,25
có
k k k 1 k 2 k 1 k
a b (a b)(a a b ab b )

= + + + +

= gócHAC + gócHAE = gócEAC 0,25
Do đó

CAE cân đỉnh C mà CK là đờng phân giác của góc C

CK

AE 0,25
Có gócAHC = gócAKC = 90
0


AKHC là tứ giác nội tiếp 025
b) (1,0 điểm) có CI

AE

O
2
I

AO
1
, tơng tự có O
1
I

AO
2
0,25

c) (1,0 điểm)

KAO
2
vuông đỉnh K mà góc KAO
2
= 45
0
vậy

KAO
2
vuông
cân đỉnh K

KA

= KO
2
Gọi D là giao điểm của AI với đờng tròn (O). Ta có AI

O
1
O
2


góc KO
1
O


DB = DI

0,25
BD cho trớc nên O
1
O
2
lớn nhất khiAD lớn nhất

A là điểm chính giữa cung BC 0,25
Bài 4(1,0 điểm)
+ Xét p/t:
x 2 x 2 3 x 3 0
+ + + =

x 2 1 x 3 0 + + =0,25
Với
x 1

ta có p/t:
x 2 x 4 0
+ + =
Đặt
t x 2
= +



=
(loại) hoặc t=
1 17
2
+

2
1 17
x 2
2

+
=
ữ

(loại)
k/l: Phơng trình có 1 nghiệm x = 20,25
+ Hệ đã cho có một nghiệm (x; y) duy nhất

2
y 2(m 1)y 2(m 2) 1 0
+ + + + =
có một nghiệm y duy nhất
/ 2
m (2 2)m 2 2 0
= + =

(Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề)
13