GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC
Trong đó : 0==
∑
i
k
i
FR
GG
và
0)( ==
∑
k
i
O
i
O
FmM
G
G
G
Theo nguyên lý ta có :
0
0
=+
=+
qt
O
e
O
qte
MM

qt
z
e
z
qt
y
e
y
qt
x
e
x
MM
MM
MM
RR
RR
RR
(4.11)
Phươmg pháp tĩnh học thường dùng để tính các phản lực động.
3.2 Phản lực trục quay và khái niệm cân bằng trục quay :
a) Phản lực động của trục quay:
Cho vật (S) dưới tác dụng của các ngoại lực
{
}
)( p
k
F
G
quay quanh trục Oz với vận tốc

(
{
}
)( p
k
F
G
,
A
R
G
,
B
R
G
,
{
}
qt
k
F
G
) ~ 0
Trong đó :
{
}
qt
k
F
G

0
0
0
2
2
2
2
=−
=++−+
=++−+
=+
=−+++
=++++
ε
εω
εω
εω
εω
z
e
z
yzxzBA
e
y
xzyzBA
e
x
e
z
xCyCBA

, J
yz
đặc
trưng cho sự phân bố khối lượng của vật
đối với trục quay Oz.
Ta thấy chuyển động quay không ảnh
hưởng đến giá trị của phản lực ở các ổ trục
quay nếu :
X
C
= 0 và Y
C
= 0 (4.13)
J
xz
= J
yz
= 0 (4.14)
1
F
G
3
F
G

2
F
G
y
A

quay là một trong những trục quán tính chính trung tâm của vật.
Từ đây nó cho ta ý ngh
ĩa của các đại lượng J
xz
và J
yz
là đặc trưng cho mức độ mất
cân bằng động của các khối lượng của vật khi nó quay quanh trục Oz. Phương pháp
Chương IV Nguyên lý Đalămbe Trang 61
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC
cân bằng các khối lượng như vậy được sử dụng rộng rãi trong kỹ thuật để cân bằng các
trục khuỷu, các tay quay, các bộ truyền v v.
3.3 Các ví dụ :
a) Ví dụ 1: Một vôlăng trọng lượng P quay quanh một trục có định Oz vuông góc với
mặt phẳng của nó với vận tốc không đổi. Coi vôlăng là một vòng tròn đồng chất bán
kính r. Bỏ qua khối lượng của các nan hoa và tác dụng của trọng lượng, hãy xác định
lực có khuynh hướng phá vỡ vôlăng (Hình 7).
Giải : Đối với vôlăng, lực cần phải tìm là
nội lực. Để xác định nó ta cắt vôlăng ra
làm hai phần bỏ đi phần phía trái và giữ
lại phần bên phải. Thay vào bằng các lực
. Xác định lực quán tính, vì vôlăng
quay đều nên ε = 0 do đó chỉ có lực quán
tính pháp, do tính chất đối xứng nên các
lực quán tính có hợp lực đặt tại khối tâm
C nằm trên trục Ox và có độ lớn bằng :
21
, NN
GG


2
1
==

Do đó :
g
R
qt
.
Pr
2
π
ω
=

Theo nguyên lý Đalămbe ta có :
(
)
0~,,
21
qt
RNN
G
G
G

Chiếu lên trục Ox :
- N
1
– N

cùng với thanh AB quay
với vận tốc góc không đổi ω. Hãy xác
định phản lực tại ngàm (Hình 8).
Giải :
Khảo sát chuyển động của thanh
AB. Hệ lực tác dụng :
.
AAAA
MZYXP
GGGGG
,,,,
Ta đi xác định lực quán tính các
phần tử của thanh AB.
Hình 8
x
O
B
D
z
y
A
C
qt
R
G
P
G

A
Y

.sin
2
ωαω
l
g
P
r
g
P
MWR
CC
qt
===
Theo nguyên lý Đalămbe ta có :
(
)
0~,,,,,
qt
AAAA
RMZYXP
G
G
G
G
G
G

Thiết lập phương trình cân bằng (Hình 8)
0
0

XR
αα

Chương IV Nguyên lý Đalămbe Trang 63
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC
Từ đây ta tìm được :
PZ
g
Pl
YX
AAA
=−== ,sin
2
,0
2
α
ω

0);2sin
3
(sin
2
2
==+=
AzAyAx
MM
g
lPl
M
α

1
A
qt
FT
GG
.
Trong đó :
A
qt
A
W
g
P
F =
α
Hình 9
2
T
G
N
G

mg
F
G
qt
B
P
G
2


Trong đó :
Chương IV Nguyên lý Đalămbe Trang 64
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC
F
ms
= f.N = f.P
2
.cosα
Chiếu lên phương Y :
T
2
– F
ms
– F
B
qt
– P
2
sinα = 0
hay : T
2
– f.P
2
cosα –
2
P
W
B
– P

=

còn
r
W
A
=
ε

Nên :
A
qt
rW
g
P
M
2
3
=

0'
1
3
=− rTrW
g
A
2
'0
2
+⇒=

G

ε
O
O
R
G

vì T’
1
= T
1
, T’
2
= T
2
và W
B
= W
A
Nên các đẳng thức (1), (2), (3) có thể viết như sau :
0
1
11
=−−
A
W
g
P
TP

Chương IV Nguyên lý Đalămbe Trang 65
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC
Từ (4) giải ra ta tìm được :
[]
321
21321
2
321
21
1
321
21
22
)cos(sin)cossin1(2
22
)cossin1(2
22
)cos(sin
2
PPP
fPPPfPP
T
PPP
fPP
T
PPP
fPP
gWW
BA
++
Chương IV Nguyên lý Đalămbe Trang 66
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC
CHƯƠNG V
NGUYÊN LÝ ĐALAMBE – LAGƠRĂNG
§1. NGUYÊN LÝ ĐALAMBE – LAGƠRĂNG
1.1 Nguyên lý :
Kết hợp hai nguyên lý : Di chuyển khả dĩ và nguyên ý Đalambe. Ta có thể phát
biểu như sau :
Tại mỗi thời điểm cơ hệ chịu liên kết hình học lý tưởng là tổng công của các lực
chủ động và các phản lực quán tính trong mọi di chuyển khả dĩ bằng không.
δA(ch) + δA(qt) = 0 (5.1)
trong đó :
k
ch
k
k
rFchA
G
G


1.2 Phương trình tổng quát của động lực học :
Từ nguyên lý trên ta rút ra phương trình tổng quát của động lực học dưới dạng :
- Véctơ :
0)(
)(
)(
=−
∑
kk
k
k
ch
k
rWmF
G
G
G
δ
(5.2)
- Tọa độ Đềcác :
0)()()(
)(
=−+−+−
∑
kkkkzkkkkykk
k
kkx
zzmFyymFxxmF
δδδ

G
G
G
,,,
321
.
Theo phương trình tổng quát của động
lực học ta có :
y
Hình 10
A
B
x
qt
A
F
G
qt
B
F
G
a
α
α
1
F
G

3
P

Để tính toán ta dùng hệ trục tọa độ Đềcác XY :
⎩
⎨
⎧
=
=
PY
X
P
1
1
1
0
G
,
⎩
⎨
⎧
=
=
QY
X
P
2
2
2
0
G
,
⎩

⎨
⎧
=
+=
−=
0
)sin(
2
Y
la
g
Q
X
FF
qt
B
qt
A
ωα
GG

0
32
=+++++
C
qt
yB
qt
BxA
qt

⎣
⎡
−−++−−
δααααωααα
Clla
g
Q
QlPl
Chương V Nguyên lý Đalămbe-Lagơrăng Trang 68
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC
Rút ra :
α
α
α
ω
tgg
laQ
ClQP
.
)sin(
)cos1(2
2
+
−
+
+
=
§2. PHƯƠNG TRÌNH LAGƠRĂNG LOẠI II
2.1 Trường hợp chung :
Từ nguyên lý Đalambe-Lagơrăng ta có thể đưa phương trình tổng quát của

kk
rWmqtA
G
G
δδ
∑
−=
)(
)(

Thay
k
r
G
δ
từ (3.7) :
∑∑∑
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
−=
)()()(
)(
i

G
G
)(
(5.4)
Q
i
qt
gọi là lực quán tính suy rộng.
Theo nguyên tắc Đalambe-Lagơrăng ta có :
0)(
)(
=+
∑
i
i
qt
ii
qQQ
δ

Suy ra : Q
i
+ Q
i
qt
= 0, i = 1,2, ,m (5.5)
Phương trình (5.5) là phương trình tổng quát của động lực học viết dưới dạng
tọa độ suy rộng. Trong đó lực suy rộng quán tính chưa tính được. Ta cần biến đổi
nó qua động năng của hệ.
Từ giải tích véctơ ta có :

∂
∂
G
G
G
G
G
G
(5.6)

Chương V Nguyên lý Đalămbe-Lagơrăng Trang 69