1
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng
trong một số bài tập Vật lý
(Bài giảng lớp bồi dưỡng giáo viên Vật lý hè 2009)
GS.TS. Bạch Thành Công
Hà nội 8- 2009
2
Năng lượng là thước đo lượng chuyển động của vật chất dưới mọi hình thức.
Chuyển động của vật chất (trong một nghĩa rộng hơn là vận động) là vĩnh cửu có
nhiều hình thức phong phú. Chuyển động cơ học chỉ là một dạng vận động khi
vật thay đổi vị trí của mình trong không gian và năng lượng tương ứng với
chuyển động đó được gọi là năng lượng cơ học. Chuyển động nhiệt là một hình
thức khác và dạng năng lượng tương ứng là năng lượng nhiệt. Ngoài ra có các
loại năng lượng khác: năng lượng điện từ, năng lượng hạt nhân, năng lượng liên
kết hoá học... đó là các dạng năng lượng đặc thù ứng với các dạng vận động cụ
thể của vật chất. Định luật bảo toàn năng lượng nói chung có thể được trình bày
trong một số dạng cụ thể. Chúng ta sẽ xem xét các dạng đó và ứng dụng cho
những bài tập cụ thể
A- TÓM TẮT LÝ THUYẾT
&1- Định luật bảo toàn cơ năng cho chất điểm
chuyển động trong trường thế
Cơ năng của chất điểm bao gồm động năng (năng lượng gắn với chuyển động
của chất điểm) và thế năng (năng lượng gắn với cáu hình tương tác giữa các chất
điểm).
-Động năng
Công thực hiện bởi lực
F

lên chất điểm khối lượng m còn có thể biểu thị qua độ
biến thiên của một dạng năng lượng của chuyển động cơ học gọi là động năng.
Từ phương trình động lực học thứ hai của Newton ta có:







=
2
,,
2
mv
ddAvvdmrd
dt
vd
mdA


Đại lượng
2
2
mv
K =
(1)
3
được gọi là động năng của chất điểm đang chuyển động với vận tốc
v
. Động
năng là đại lượng có giá trị không âm,
0K ≥
. Nếu dưới tác dụng của lực

1
r
2
r
1
r
2
r
1
r
2
12
dK
2
mv
drd,FA


22
2
1
2
2
1212
mvmv
KKA −=−=
(2)
Ở đây v
2
là vận tốc của chất điểm tại vị trí r

12341
=
(3)
Công thực hiện trên toàn bộ quãng đường là tổng các công thành phần:
0AAA
34112312341
=+=
Do đó:
1
2
4
3
H. 2. Quãng đuờng khép kín của vật chuyển động trong trường thế
z
2
(1)
z
1
(2)
gm

rd

θ
r
1
r
2
z
O

2
1
12
,
z
z
dzmgrdFA


5
( )
)zz(mgzzmgA
211212
−=−−=
(4)
Nếu vật dịch chuyển tiếp theo một đường cong nào đó từ điểm 2 về điểm 1 trở
về vị trí ban đầu. Dễ thấy rằng:
( )
1221
zzmgA −=
(5)
Công mà trọng lực thực hiện khi chất điểm chuyển động toàn bộ theo quỹ đạo
khép kín trở về vị trí ban đầu theo (4), (5) là :

0
2112
=+
AA
Do đó trường trọng lực là trường thế.
b) Trường lực đàn hồi

2
21
A
2
kx
2
kx
A −=−=
Do đó công do lực đàn hồi thực hiện trên quãng đường khép kín x
1
x
2
x
2
x
1
bằng 0.
0AAA
21121221
=+=
Như vậy trường lực đàn hồi là trường thế.
Lực của trường tĩnh điện do vật tích điện không chuyển động tạo ra xung quanh
nó tác động lên hạt tích điện đứng trong trường của nó (lực Coulomb) cũng là
lực thế nên trường tĩnh điện cũng là trường thế.
* Thế năng trong trường thế
Trong trường hợp trường thế, công của lực chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm
cuối thì mỗi điểm của trường có thể đặc trưng bởi gía trị của một hàm U(x, y, z)
6
sao cho hiệu giá trị của hàm đó tại các điểm 1 và 2 bằng công của lực thế dịch
chuyển chất điểm từ điểm 1 đến điểm 2:

12
= U
1
– U
2
thường đựơc phát biểu như công của lực thế dịch
chuyển chất điểm từ điểm 1 đến điểm 2 bằng độ giảm thế năng của chất điểm
trong dịch chuyển đó. Công của lực thế thực hiện được khi chất điểm có dịch
chuyển vô cùng bé được viết trong dạng vi phân:
( )
rdFdUdA


,=−=
Biết dạng của U (x, y, z) ta có thể suy ra biểu thức của lực thế F. Sử dụng biểu
thức cho vi phân của công và vi phân toàn phần của hàm đa biến U(x,y,z) ta có:
dzFdyFdxFdU
zyx
++=− ..









=
∂

thế bằng không. Điều đó có thể thấy từ (9) nếu lấy vi phân hai vế thì:
M
H. 4. Truờng lực hấp dẫn có mặt đẳng thế là mặt cầu
A=
∆
U=0 (10)
Hình 4 minh hoạ trường hợp trường lực hấp dẫn có mặt đẳng thức là mặt cầu vì
mọi điểm cách tâm trường lực một khoảng r có thế năng như nhau:
r
GMm
U =

Xét chất điểm chuyển động trong trường thế từ điểm 1 đến điểm 2, theo
(6) công mà lực thế thực hiện được là :
A
12
= U
1
- U
2

Mặt khác theo định lý động năng (2), độ tăng động năng của chất điểm
khi chất điểm dịch chuyển từ điểm 1 đến điểm 2 dưới tác dụng của lực thế bằng
công của lực thế tác dụng lên nó:
A
12
= K
2
– K
1

chế hay toàn không gian, xem mục 4/ và thí dụ 1)
&2- Định luật bảo toàn cơ năng cho hệ vật lý cô lập (hệ kín)
Bây giờ ta xét một hệ vật lý gồm một số vật. Hệ là cô lập không tương tác
với các vật khác ngoài hệ (hệ còn được gọi là hệ kín, xem H.5). Khi các phần tử
của hệ cô lập này chuyển động, trong hệ có thể có ma sát và có thể có sự chuyển
đổi từ năng lượng cơ học sang năng lượng nhiệt là m các vật nóng lên. Nói một
cách khác là có sự chuyển đổi hình thức năng lượng bên trong hệ. Khi đó định
luật bảo toàn năng lượng được viết như sau:
0
int
=∆+∆+∆ EUK
(13)
E
int
– năng lượng bên trong (hay nội năng) của hệ vật. Nội năng của vật gồm
động năng chuyển động và thế năng tương tác của các hạt bên trong vật.
+=
∑
i
ii
vm
E
2
2
int
U
hạt bên trong vật
(14)
Ngoài ra có thể có sự chuyển đổi năng lượng cơ học thành các dạng năng lượng
khác (năng lượng hoá học, năng lượng điện từ…) khi đó biểu thức tổng quát cho

sẽ bằng đúng độ biến thiên năng lượng của hệ và phương trình (13)
được viết lại là :
A
ngoại
=
EEUK
~
int
∆+∆+∆+∆
(16)
(16) có nghĩa là nếu ngoại lực thực hiện lên hệ một công A
ngoaị
thì năng lượng
tổng cộng trong hệ dưới mọi dạng sẽ tăng một lượng đúng bằng công A
ngoại
.
Hoàn toàn có thể xảy ra trường hợp ngược lại khi mà hệ tác dụng các lực xuyên
qua biên giới thực hiện công lên các vật của môi trường và năng lượng của hệ
giảm đi một cách tương ứng. Khi đó công A là âm ứng với sự giảm năng lượng
của hệ. Do đó để tổng quát ta có thể bỏ ký hiệu “ngoại lực
”
đi và viết:
EEUKA
~
int
∆+∆+∆+∆=
( 17a)
Vì
E
∆

t
∆
và xét trong giới hạn
0→∆t
:
dt
dQ
dt
dE
dt
dE
dt
dA
−+=
int

⇒
dt
dE
dt
dE
dt
dQ
P
int
+=+
(19)
(19) có ý nghĩa là công suất do ngoại lực thực hiện và nhiệt lượng cung cấp cho
hệ trong 1 đơn vị thời gian tác dụng lên hệ bằng sự thay đổi năng lượng cơ học
và nội năng của hệ trong của một đơn vị thời gian đó. Nếu hệ kín thì vế trái của

11
bảo toàn và là một hằng số dương cắt đường cong thế năng tại điểm x
1
, x
2
(xem
H. 7)
constUKE =+=
;
dx
dU
F −=
(19)
Chuyển động của hạt chỉ có thể xảy ra trong vùng không gian hạn chế
21
xxx
≤≤

mà ở đó
EU ≤
, còn lực thế phụ thuộc toạ độ hạt và bằng:
Lực có hướng như trên hình vẽ và luôn có xu thế kéo hạt về vị trí cân bằng x
0
–
vị trí có thế năng nhỏ nhất. Chuyển động của hạt là chuyển động tuần hoàn có
chu kỳ bằng hai lần khoảng thời gian chuyển động từ x
1
đến x
2
. Thí dụ điển hình

min
H. 9 Chuyển động của hạt có thể hữu hạn hoặc vô hạn tuỳ theo năng lượng.
4.2/ Trường hợp thứ hai: Đường cong thế năng một chiều có cả cực tiểu lẫn
cực đại (xem H. 8).
Đường đẳng năng lượng E = const cắt đường cong thế năng tại ba điểm x
1
, x
2
, x
3
.
Ta có thể chia chuyển động của hạt ra là m ba vùng I, II, III, trong đó:
I - vùng hạt chuyển động hữu hạn trong hố thế .
II - hàng rào thế III - vùng chuyển động vô hạn.