Chương 3: Ma trận tán xạ
Trang 77
Chương 3
MA TRẬN TÁN XẠ
3.1 Khái niệm
Nội dung của chương này giới thiệu một phương cách mô hình hóa một mạch
điện hoặc một phần mạch điện ở tần số siêu cao bằng các phần tử tương đương
có thông số phân bố hoặc tập trung trung, biểu diễn dưới dạng các mạng nhiều
cửa . Thông số của mạng được định nghĩa thông qua các ma trận đặc tính . Biết
được giá trị của ma trận đó là biết được hoàn toàn đặc tính hoạt động của
mạng, mà ta không cần quan tâm đến cấu trúc thực tế của các phần tử trong
mạng , đến cường độ điện từ trường tại các điểm của mạng.
Hình 3.2 một mạng n cửa được đánh số từ cửa 1 đến cửa n. Tại mỗi cửa j , có
một nguồn tín hiệu E
J
và một nội trở nguồn Z
oJ
(được chọn làm trở kháng
chuẩn cho cửa j đó)
Điện áp và dòng điện tại ngõ vào cửa j bất kỳ là tổng của sóng tới và sóng phản
xạ:
V
j
= V
ij
+ V
rj
I
L
ZZ
E
I
0
(3.1)
L
L
ZZ
Z
EV
0
(3.2)
Công suất từ nguồn E đạt cực đại khi có sự phối hợp trở kháng giữa tải và
nguồn, nghĩa là:
*
0
ZZ
L
(liên hiệp phức) (3.3)
Ở vùng tần số siêu cao, điện áp và dòng điện tại bất kì điểm nào cũng đều
được coi là tổng của 1 sóng tới và 1 sóng phản xạ.
Dòng điện sóng tới được định nghĩa là dòng điện trong mạch khi có sự phối
(3.5)
Vậy:
ii
IZV
*
0
(3.6)
Sóng phản xạ điện áp là:
ir
VVV
(3.7)
Thay (3.2) và (3.5) vào (3.7), ta có:
i
L
L
L
L
L
L
L
L
r
V
ZZ
0
*
0
*
0
0
0
*
0
*
0
0
Trang 79
i
L
L
L
L
r
I
ZZ
ZZ
ZZ
ZZ
ZZ
E
ZZ
E
ZZ
E
I
ZZ
Z
Z
V
V
S
0
*
0
*
0
0
(3.11)
Hệ số phản xạ dòng điện là:
i
r
i
I
I
S
=
L
L
Ta cũng có:
rr
IZV
0
(3.14)
Cho mạng n cửa như hình 3.2. Xét cửa thứ j như hình
Chương 3: Ma trận tán xạ
Trang 80
Tại cửa j gồm nguồn E
j
, nội trở R
0j
, V
ij
,V
rj
, I
ij
, I
rj
là hiệu điện thế tới/về và
cường độ dòng điện tới/về.
V
j
, I
j
in
i
i
i
V
V
V
V
.
.
.
2
1
in
i
i
i
I
I
I
r
r
r
I
I
I
I
.
.
.
2
1
(3.18)
Vậy (3.15) và (3.16) được viết thành:
ri
VVV
(3.19)
ri
III
(3.20)
Ta cũng có quan hệ tương tự như (3.6) và (3.14):
iir
ISI
(3.24)
2. Ma trận tán xạ
S
Ma trận Tán Xạ
S
( Scattering Matrix) của một mạng n cửa được xây
dựng từ quan hệ của các đại lượng
a
và
b
liên quan đến công suất sóng tới
và sóng về( khác với sóng phản xạ). Với mạng n cửa , tại mỗi cửa thứ j đều có một
Chương 3: Ma trận tán xạ
Trang 81
thành phần sóng tới a
j
( sóng đi vào cửa) và một thành phần sóng về b
n
a
a
a
a
.
.
2
1
;
2
2
1
*
00
(3.26)
r
I
ZZ
b
2
2
1
*
00
(3.27)
Trong đó, các ma trận [Z
0
], [I
i
2
1
0
(3.30)
r
IRb
2
1
0
(3.31)
Ma trận tán xạ
S
được định nghĩa dựa theo quan hệ sau đây giữa
a
và
b
:
b
=
S
Mặc khác, từ (3.15) và (3.16):
rjijj
VVV
(3.43)
rjijj
III
(3.44)
Kết hợp với (3.6) và (3.14):
ijjij
IZV
*
0
(3.45)
rjjrj
IZV
0
(3.46)
Ta có thể viết lại thành:
jjj
ZVE
0
0
0
0
2
.
(3.48)
j
j
R
E
0
2
(3.49)
Chương 3: Ma trận tán xạ
Trang 83 Để tìm quan hệ giữa sóng về b
j
với V
j
và I
Từ (3.29) ta có thể viết:
j
jjj
rjjj
R
IZV
IRb
0
*
0
0
2
.
(3.51)
Từ (3.48) và (3.51) ta có thể viết:
j
j
jj
j
j
jj
I
R
ZZ
R
là điện trở thực (
jj
RZ
00
) thì (3.54) có thể
viết lại:
j
j
jj
R
V
ba
0
(3.56)
3.2.1 Ý nghĩa các đại lượng
a
và
b
:
Chương 3: Ma trận tán xạ
Trang 84
**
0
0
1
Re
2
1
jj
j
jjjj
ba
R
baRP
(3.62)
*
*
của cửa j 2
2
1
j
b
tượng trưng cho công suất sóng về P
rj
của cửa j
Như vậy, 1 phần công suất tới sẽ phản xạ ngược ra khỏi cửa j, chỉ 1 phần
công suất mới được truyền vào phía trong mạng n cửa.
3.2.2 Đặc tính của ma trận tán xạ
S
:
Tính đối xứng: nếu mạng n cửa có tính thuận nghịch thì ma trận
S
sẽ đối xứng
qua đường chéo, hoặc nói cách khác
nlkSS
lkkl
,1,
(Tính thuận nghịch là khi đưa một tín hiệu vào cửa k, công suất tín hiệu ra tại cửa l
cũng bằng công suất tín hiệu đi ra tại cửa k nếu đưa cùng một tín hiệu vào cửa l).
jineu
jineu
ij
0
1
3.2.3 Ý nghĩa vật lý của các hệ số S
kl
của ma trận
S
:
Xét một mạng hai cửa thụ động không tổn hao và thuận nghịch như hình 3.6
Ta có từ (3.48) và (3.49):
j
jjj
ijjj
R
IZV
IRa
0
0
0
2
2
.
j=1,2
(3.86)
và từ (3.32):
b
=
S
.
a
Ma trận
S
có dạng
S
=
2
1
b
b
b
Vậy, ta có:
2
1
b
b
=
2221
1211
SS
SS
2
1
1
11
a
a
b
S
Điều kiện
0
2
a
ám chỉ không có sóng đi vào cửa 2 của mạng, có nghĩa là:
+ Cửa 2 được kết thúc bởi tải phối hơp
+ Nguồn E
2
bị triệt tiêu
Từ (3.85), ta có: Với
0
2
a
nên E
2
=0 và
2022
IRV
là trở kháng nhìn vào cửa 1 trong điều kiện cửa
2 có tải R
02
và nguồn E
2
triệt tiêu, ta có thể viết lại (3.89):
Chương 3: Ma trận tán xạ
Trang 87
0111
0111
11
RZ
RZ
S
(3.90)
S
11
chính là hệ số phản xạ điện áp tại cửa vào 1 với trở kháng chuẩn là R
01
và
trở kháng nhìn vào cửa 1 là Z
11
, trong điều kiện cửa 2 không có nguồn E
2
a
b
a
a
b
S
(3.91)
Như ta đã biết,
2
1
2
1
a
tượng trưng cho công suất sóng tới của cửa 1 và
2
1
2
1
b
tượng trưng cho công suất sóng phản xạ của cửa 1
Vậy
2
11
S
tượng trưng cho hệ số phản xạ công suất tại cửa 1.
Ý nghĩa của S
22
:
Tương tự như trên, ta có:
02
và
trở kháng nhìn vào cửa 1 là Z
22
, trong điều kiện cửa 1 không có nguồn E
1
(E
1
= 0
) và được kết thúc bởi tải R
01
phối hợp.
Tương tự
2
22
S
tượng trưng cho hệ số phản xạ công suất tại cửa 2.
Ý nghĩa của S
21
:
Tương tự như trên, ta có:
0
2
1
2
21
a
(3.95)
Chương 3: Ma trận tán xạ
Trang 88
Mặc khác vì
0
2
i
I
nên I
2
= -I
r2
và do cửa 2 có tải là R
02
nên
2022022 r
IRIRV
Vậy:
01
1
02
2
101
02
2
2
1
2
2
2
21
a
a
b
a
a
b
S
(3.97)
Vậy
2
21
S
tượng trưng cho tỉ số giửa công suất tín hiệu ra khỏi cửa 2 để đến
tải R
02
với công suất tín hiệu đến tại cửa 1.
2
21
S
1
2
1
a
)
Ý nghĩa của S
12
:
Tương tự như trên, ta có:
0
1
2
1
12
a
a
b
S
(3.99)
S
12
là tỉ số giữa sóng ra tại cửa 1 khi đặt sóng tới tại cửa 2 trong điều kiện
không có sóng tới tại cửa 1 ( nguồn E
1
= 0 và cửa 1 được kết thúc bởi tải R
01
là hệ số truyền đạt công đạt công suất từ cửa j đến cửa i . Nếu S
ij
= 0 , ta
nói cửa i và cửa j cách ly nhau.
Bài tập:
Cho mạng 2 cửa có ma trận tán xạ [S] như hình. Cửa 1 gồm nguồn E
1
, nội trở
R
01
, trở kháng nhìn vào cửa 1 có giá trị Z
11
. Cửa 2 gồm nguồn E
2
, nội trở R
02
, trở
kháng nhìn vào cửa 2 có giá trị Z
22
. Cho Z
1
=(50-j75)
, Z
2
=(60+j50)
, Z
3
Copyright: Tài liệu đại học ©