ĐỀ ÔN THI CAO ĐẲNG, ĐẠI HỌC NĂM 2011 MÔN TOÁN HỌC – MÃ ĐỀ 009

Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) PHẦN A : DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THI SINH .

Câu I (2,0 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x
3
– 3x
2
+ 2
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
2
2 2
1
m
x x
x
  


Câu II (2,0 điểm ) 1) Giải phương trình :
5
2 2 os sin 1
12
c x x

 
 
 

 


Câu IV ( 1,0 điểm ) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a ,
AD = 2a . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy , cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy một góc
60
0
.Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM =
3
3
a
, mặt phẳng ( BCM) cắt cạnh SD tại N .Tính
thể tích khối chóp S.BCNM
Câu V (1,0 điểm ) Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 5
-x
+ 5
-y
+5
-z
= 1 .Chứng minh rằng

  
 
  
25 25 25
25 5 5 5 5 5
x y z
x y z y z x z x y



nhất
Câu VII.a (1 điểm): Giải phương trình sau trên tập số phức C:
2
4 3
1 0
2
z
z z z
    PHẦN 2 ( Dành cho học sinh học chương trình nâng cao )
Câu VI.b 1. (1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD
có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng 03:
1
 yxd và
06:
2
 yxd . Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d
1
với trục Ox. Tìm toạ độ
các đỉnh của hình chữ nhật.
2. (1,0điểm) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đường thẳng :
D
1
:
2 1
1 1 2
x y z
 
ĐÁP ÁN
Cõu I 2 điểm
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
3 2
3 2
y x x .
   Tập xác định: Hàm số có tập xác định
D R.


 Sự biến thiờn:
2
3 6
y' x x.
  Ta có
0
0
2
x
y'
x


 


0
y

2


2
0,25

a)
 Đồ thị:

f(x)=(x^3)-3*(x)^2+2
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
y

Do đó số nghiệm của
phương trình bằng số giao điểm của




2
2 2 1
y x x x , C'
    và đường thẳng
1
y m,x .
 

0,25

 Vỡ
 


 
2
1
2 2 1
1
f x khi x
y x x x
f x khi x



5
x
y
0,25

b)
 Dựa vào đồ thị ta có:
+
2
m :
 
Phương trình vụ nghiệm;
+
2
m :
 
Phương trình có 2 nghiệm kộp;
+
2 0
m :
  

-
2

1

2 II
1)

1)
5
2 2 os sin 1
12
c x x

 
 
 
 
5 5
2 sin 2 sin 1
12 12
x
 
 
 
   
 


 
5
2 2
5
612 12
sin 2 sin
5 13
312 12
2 2
12 12 4
x kx k
x k
x k x k
 

 
 

 

    

   
      

   
   

    

x y x y x y x y
 
       
 

 
         
 
 

0,25đ Đặt:
u x y
v x y
 


 

ta có hệ:
2 2 2 2
2 ( ) 2 4
2 2
3 3
2 2
u v u v u v uv
u v u v
uv uv


. Thế (1) vào (2) ta có:
2
8 9 3 8 9 (3 ) 0
uv uv uv uv uv uv uv
          
.

0,25đ

Kết hợp (1) ta có:
0
4, 0
4
uv
u v
u v


  

 

(vỡ u>v). Từ đó ta có: x =2; y =2.(T/m)
KL: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y)=(2; 2).

0,25đ

Câu III 1 Tính tích phân :
/4

 
  

Áp dụng hàm lẻ, đặt x=-t thì
1
0
I

, tích phân từng phần
2
I
được kết quả.

0.5đ
Áp dụng hàm lẻ, đặt x=-t thì
1
0
I

, tích phân từng phần
2
I
được kết quả.
0.5đ Câu IV :

= a
3
,
3
3
2
3
2 3
3
a
a
MN SM MN
AD SA a
a

   

Suy ra MN =
4
3
a
. BM =
2
3
a
Diện tích hình thang BCMN là :
S =
2
4
2



SH là đường cao của khối chóp SBCNM
Trong tam giác SBA ta có SB = 2a ,
AB AM
SB MS
 =
1
2
.
Vậy BM là phân giác của góc SBA


0
30
SBH



SH = SB.sin30
0
= a
Gọi V là thể tích chóp SBCNM ta có V =
1
.( )
3
SH dtBCNM
=
3
10 3

0,25đ

0,25đ Câu V Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 5
-x
+ 5
-y
+5
-z
= 1 .Chứng minh rằng :
A
S

B

C
M
N
D

( *)
( *)

3 3 3
2 2 2
4
a b c a b c
a abc b abc c abc
 
  
  

3 3 3
( )( ) ( )( ) ( )( ) 4
a b c a b c
a b a c b c b a c a c b
 
  
     

Ta có
3
3
( )( ) 8 8 4
a a b a c
a
a b a c

0,25đ

0,25đ
0,25đ
Phần B. (Thí sinh chỉ được làm phần I hoặc phần II)
Phần I. (Danh cho thí sinh học chương trình chuẩn)
1. Chương trình Chuẩn.
Cõu Ph
ần
Nội dung Điểm
CâuVI
a.
(1,0)
1(1
,0)
+ Do
AB CH

nờn AB:
1 0
x y

 
. Giải hệ:
2 5 0
2 5 0
x y
x y
  


  

. Suy ra: I(-1; 3)
'( 3; 4)
A
  

+ Phương trình BC:
7 25 0
x y
  
. Giải hệ:
7 25 0
1 0
x y
x y
  


  
0,25đ
0,25đ

0,25đ

0,25đ
Câu
VIIA

1) Véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt là:
1
u

(4; - 6; - 8)

2
u

( - 6; 9; 12)


2

Vậy d
1
// d
2

0,25đ *) Véc tơ pháp tuyến của mp (P) là
n

= ( 5; - 22; 19)
(P): 5x – 22y + 19z + 9 = 0
2)
AB

= ( 2; - 3; - 4); AB // d
1

Gọi A
1
là điểm đối xứng của A qua d
1 .
Ta có: IA + IB = IA
1
+ IB

A

0,25đ A’ đối xứng với A qua H nên A’
43 95 28
; ;
29 29 29
 

 
 

I là trung điểm của A’B suy ra I
65 21 43
; ;
29 58 29
 
 
 
 
0,25đ

2
2

z
z
z
z (2)

0.25đ

Đặt t=z-
z
1
Khi đó 2
1
2
22

z
zt 2
1
2
2
2
 t
z
z
Phương trình (2) có dạng : t
2
-t+ 0

311
2


 ziz
i
z
z (4)
Có
222
)3(696816)31( iiiii  0.25đ
I

d
1
H

A

B

A
1
PT(4) có 2 nghiệm : z= i
ii



z
z (4)
Có
222
)3(696816)31( iiiii 
PT(4) có 2 nghiệm : z= i
ii




1
4
)3()31(
,z=
2
1
4
)3()31(






iii

Vậy PT đã cho có 4 nghiệm : z=1+i; z=1-i ; z=
2
1

2/3y
2/9x
06yx
03yx
. Vậy






2
3
;
2
9
I
Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M là trung điểm cạnh AD OxdM
1

Suy ra M( 3; 0)
0,25đ

Ta có: 23
2
3
2

1

Đường thẳng AD đi qua M ( 3; 0) và vuông góc với d
1
nhận )1;1(n làm VTPT nên có PT:
03yx0)0y(1)3x(1








. Lại có:
2MDMA  0,25đ

Toạ độ A, D là nghiệm của hệ PT:
 






2y3x
3xy
2
2
2
2







1y
2x
hoặc





1y
4x
. Vậy A( 2; 1), D( 4; -1)
0,25đ

Do

(1,0)
2.a)
Các véc tơ chỉ phương của D
1
và D
2
lần lượt là
1
u

( 1; - 1; 2)
và
2
u

( - 2; 0; 1)
Có M( 2; 1; 0)

D
1
; N( 2; 3; 0)

D
2

0,25đXét
1 2

. 0
AB u
AB u








 



1
3
' 0
t
t

 











0,25đ
0,25đ

PT mặt cầu nhận đoạn AB là đường kính có
dạng:
2 2 2
11 13 1 5
6 6 3 6
x y z
     
     
     
     

0,25đ

CâuVIIb
(1,0)


+ Ta có:
2009 2 1004 1004 1004 1004
(1 ) (1 )[(1 ) ] (1 ).2 2 2
i i i i i
        .
Đồng nhất thức ta có A chớnh là phần thực của
2009
(1 )
i nờn
1004
2
A

.
+ Ta có:
2009 0 1 2 2 2009 2009
2009 2009 2009 2009
(1 ) x C xC x C x C     
Cho x=-1 ta có:
0 2 2008 1 3 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009
C C C C C C      
Cho x=1 ta có:
0 2 2008 1 3 2009 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009
( ) ( ) 2
C C C C C C        .
Suy ra:
2008
2