264 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
4. y

= xe
x
; y(0) = y

(0) = 0. (DS. y =(x −2)e
x
+ x +2)
5. xy

= y

.(DS. y = C
1
x
2
+ C
2
)
6. xy


3
+ C
1
x
2
+ C
2
)
9. xy
(3)
− y

= 0. (DS. y = C
1
x
3
+ C
2
x + C
3
)
10. y

= y

2
.(DS. y = C
2
− ln |C
1

.
sˆo
´
h˘a
`
ng
I. Phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
nt´ınh thuˆa
`
nnhˆa
´
t
Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan da
.
ng
y

+ a
1
y


tcˆa
´
p2v´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
h˘a
`
ng.
1. Nˆe
´
u y
1
v`a y
2
l`a c´ac nghiˆe
.
m riˆeng cu
’
a (14.42) sao cho
y
1
(x)
y
2
(x)
=
const th`ı y = C

o v(x)c˜ung l`a nghiˆe
.
m.
D
ˆe
’
x´ac di
.
nh c´ac nghiˆe
.
m riˆeng y
1
(x)v`ay
2
(x)dˆa
`
u tiˆen cˆa
`
n gia
’
i
phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.

.
icu
’
a nghiˆe
.
mcu
’
a (14.43) l`a r =1(do
.
n)
ho˘a
.
c 2 (k´ep). Ta c˜ung quy u
.
´o
.
cbˆo
.
i r =0nˆe
´
u λ khˆong l`a nghiˆe
.
mcu
’
a
(14.43). Ta c´o ba
’
ng t´om t˘a
´
t sau

λ
1
x
,
y
2
= e
λ
2
x
y = C
1
e
λ
1
x
+ C
2
e
λ
2
x
II. λ
1
= λ
2
= λ ∈ R
y
1
= e

αx
(C
1
cos βx
λ = α ± iβ y
2
= e
αx
sin βx +C
2
sin βx)
V´ı du
.
1. T`ım nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh
y

+ y

−2y =0.
Gia

o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng
λ
2
+ λ −2=0⇔

λ
1
=1,
λ
2
= −2.
Ca
’
hai nghiˆe
.
m λ
1
,λ
2
∈ R v`a kh´ac nhau nˆen theo tru
.
`o
.

’
inhu
.
trˆen d
ˆo
´
iv´o
.
iphu
.
o
.
ng tr`ınh
y

+2y

+ y =0.
266 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
Gia
’
i. Phu

.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng thu
.
.
cv`ab˘a
`
ng nhau nˆen y
1
=
e
x
, y
2
= xe
x
.Dod´o
y = C
1
e
x
+ C
2
xe

.
o
.
ng ´u
.
ng c´o da
.
ng
λ
2
− 4λ +13=0⇔

λ
1
=2+3i,
λ
2
=2− 3i.
.
C´ac nghiˆe
.
mph´u
.
c n`ay tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o

2x
cos 3x + C
2
e
2x
sin 3x
= e
2x
(C
1
cos 3x + C
2
sin 3x). 
II. Phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
nt´ınh khˆong thuˆa
`
nnhˆa
´
t
Phu
.
o
.
ng tr`ınh da
.

.
.
cgo
.
i
l`a ptvp tuyˆe
´
n t´ınh khˆong thuˆa
`
n nhˆa
´
tv´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
h˘a
`
ng.
D
-
i
.
nh l´y. Nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’

´o
cu
’
a phu
.
o
.
ng tr`ınh khˆong thuˆa
`
n nhˆa
´
t (14.44).
14.2. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p cao 267
T`u
.
Iv`ad
i
.
nh l´y v`u
.
a ph´at biˆe
’
u suy r˘a
`

n nh`o
.
phu
.
o
.
ng
ph´ap biˆe
´
n thiˆen h˘a
`
ng sˆo
´
Lagrange.
Nˆe
´
uvˆe
´
pha
’
ic´oda
.
ng d
˘a
.
cbiˆe
.
t ta c´o thˆe
’
t`ım nghiˆe

ng t´om t˘a
´
t sau trong d
´o P
n
(x),Q
m
(x),
l`a c´ac d
ath´u
.
cd
a
.
isˆo
´
bˆa
.
ctu
.
o
.
ng ´u
.
ng.
Vˆe
´
pha
’
icu

o
.
.
c
x´ac d
i
.
nh
II. Sˆo
´
α l`a nghiˆe
.
m˜yx
r
Q
n
(x)e
αx
f(x)=e
αx
P
n
(x)bˆo
.
i r cu
’
a ptdt Q
n
(x)cˆa
`

IV. f(x)=e
αx
× Sˆo
´
α + iβ l`a ˜y = x
r
e
αx
×
[P
n
(x) cos βx+ nghiˆe
.
mbˆo
.
i r [Q
1
(x) cos βx+
Q
m
(x) sin βx]cu
’
a ptdt Q
2
(x) sin βx],
Q
1
v`a Q
2
l`a dath´u

(x)+f
2
(x).
268 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
Khi d´o nghiˆe
.
m riˆeng c´o thˆe
’
t`ım du
.
´o
.
ida
.
ng
˜y =˜y
1
+˜y
2
trong d´o ˜y
1
l`a nghiˆe

+ a
1
y

+ a
2
y = f
2
(x).
V´ı du
.
4. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh y

− 2y

+ y = x + 1 (da
.
ng I)
Gia
’
i. Nghiˆe
.
mtˆo
’

´
0 khˆong l`a nghiˆe
.
m
cu
’
a ptd
tv`adod´o r = 0 v`a nghiˆe
.
m riˆeng cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a c h o
(tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p I) cˆa
`
n t`ım du
.
´o
.

.
sˆo
´
cu
’
a c´ac l˜uy th`u
.
ac`ung bˆa
.
ccu
’
a x ta
thu d
u
.
o
.
.
c A =1,−2A + B =1⇒ A =1,B = 3. Do vˆa
.
y˜y = x +3 v`a
y =˜y + Y =3+x + e
x
(C
1
+ C
2
x). 
V´ı du
.

´
ttu
.
o
.
ng ´u
.
ng
c´o da
.
ng Y = C
1
e
x
+ C
2
e
3x
.V`ıvˆe
´
pha
’
i f(x)=xe
x
nˆen (xem II) ta
c´o P
n
(x)=x, α =1v`anhu
.
vˆa

ida
.
ng
˜y =(Ax + B)xe
x
T´ınh ˜y

,˜y

rˆo
`
ithˆe
´
v`ao phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho ta thu du
.
o
.
.
c A = −
1
4
,
B = −
1
4

. 
14.2. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p cao 269
V´ı du
.
6. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh y

+ y = sin x (da
.
ng II I).
Gia
’
i. Phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.

sin x.V`ı f(x)=sinx =0·cos x +1·sin x nˆen a =0,
b =1,β =1. V`ı iβ = i l`a nghiˆe
.
md
o
.
ncu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng
nˆen r = 1 v`a nghiˆe
.
m riˆeng cˆa
`
nt`ımdu
.
´o
.
ida
.
ng
˜y =(A cos x + B sin x)x.

ng tr`ınh y

+ y = sin 2x (da
.
ng II I).
Gia
’
i. Tu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
trong v´ıdu
.
6 ta c´o
Y = C
1
cos x + C
2
sin x.
Phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho c´o β =2. V`ıiβ =2i khˆong l`a nghiˆe

3
.
Do d
´o
y =˜y + Y = −
1
3
sin 2x + C
1
cos x + C
2
sin x. 
V´ı du
.
8. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh y

− 2y

+ y = sin x + e
−x
(da
.
ng V).
Gia

`
n nhˆa
´
ttu
.
o
.
ng ´u
.
ng c´o da
.
ng
Y = e
x
(C
1
+ C
2
x).
270 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
V`ıvˆe
´

, trong d´o ˜y
1
l`a
nghiˆe
.
m riˆeng cu
’
a
y

− 2y

+ y = sin x (14.45)
c`on ˜y
2
l`a nghiˆe
.
m riˆeng cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh
y

− 2y

+ y = e
−x

ng ˜y
1
= A cos x + B sin x.
Thay ˜y
1
,˜y

1
,˜y

1
v`ao (14.45) ta thu du
.
o
.
.
c A =
1
2
, B =0:
˜y
1
=
1
2
cos x.
T`ım ˜y
2
.Vˆe
´

.
ng
˜y
2
= Ae
−x
.
Thay ˜y
2
,˜y

2
,˜y

2
v`ao (14.46) ta thu du
.
o
.
.
c A =
1
4
v`a do vˆa
.
y
˜y
2
=
1

x
(C
1
+ C
2
x). 
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
14.2. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p cao 271
Gia
’
i c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan sau
1. y

− 5y

2
sin 3x))
4. y

− 3y

+2y = 0. (DS. y = C
1
e
x
+ C
2
e
2x
)
5. y

− 4y

+4y = 0. (DS. y = e
2x
(C
1
+ C
2
x))
6. y

− 2y


3x
)
9. y

− 2y

+2y =0;y(0) = 0, y

(0) = 1. (DS. y = e
x
sin x)
10. y

− 2y

+3y =0;y(0) = 1, y

(0) = 3.
(D
S. y = e
x
(cos
√
2x +
√
2 sin
√
2x))
11. y


1
x + C
2
)e
−x
+
1
4
e
x
)
14. y

− 3y

+2y = e
x
.(DS. y = C
1
e
2x
+(C
2
− x)e
x
)
15. y

+ y



− 2y = xe
−x
.(DS. y = C
1
e
x
√
2
+ C
2
e
−x
√
2
−(x − 2)e
−x
)
18. y

− 4y =8x
3
.(DS. y = C
1
e
2x
+ C
2
e
−2x


+4y = 3 sin 2x.(DS. y = C
1
cos 2x + C
2
sin 2x −
3
4
x cos 2x)
21. y

+4y = sin 2x.(DS. y = C
1
cos 2x + C
2
sin 2x −
1
4
x cos 2x)
22. y

+ y = x cos x.
(D
S. y = C
1
cos x + C
2
sin x +
1
4


−3y

+2y = e
3x
(x
2
+ x).
(D
S. y = C
1
e
x
+ C
2
e
2x
+
e
3x
2
(x
2
− 2x + 2))
25. y

+ y = x +2e
x
.(DS. y = C
1


+8y = e
x
+ e
2x
.
(D
S. y =
1
3
e
x
−
1
2
xe
2x
+ C
1
e
2x
+ C
2
e
4x
)
28. y

+9y = e
x

)
30. y

+ y = 4 cos x +(x
2
+1)e
x
.
(D
S. y = C
1
cos x + C
2
sin x +2x sin x + e
x
(1 −x +
1
2
x
2
))
31. y

−6y

+9y =25e
x
sin x.
(D
S. y =(C

o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p cao 273
33. y

+ y

=4x
2
e
x
.(DS. y = C
1
+ C
2
e
−x
+(2x
2
− 6x +7)e
x
)
34. y

+10y

+25y =4e
−5x

n)v´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
h˘a
`
ng
Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan da
.
ng
L(y) ≡ y
(n)
+ a
1
y
(n−1)
+ ···+ a
n−1
y

+ a
n
y = 0 (14.47)
trong d

n t´ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
tcˆa
´
p n (ptvptn cˆa
´
p n)v´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
h˘a
`
ng.
1. Nˆe
´
u y
1
(x)v`ay
2
(x) l`a nghiˆe
.
mcu
’
a (14.47): Ly =0th`ıy =
C
1

.
mcu
’
a (14.47).
Lu
.
o
.
.
cd
ˆo
`
gia
’
i phu
.
o
.
ng tr`ınh (14.47)
Xuˆa
´
t ph´at t`u
.
ptvptn
L(y) ≡ y
(n)
+ a
1
y
(n−1)

n−1
+ ···+ x
n−1
λ + A
n
=0



T`ım nghiˆe
.
mcu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng
ϕ =0:λ
1
,λ
2
, ,λ
n
.

a ptvptn:L(y)=0



Nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh L(y)=0
y = C
1
y
1
(x)+C
2
y
2
(x)+···+ C
n
y
n
(x)
C
1

aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c
tru
.
ng d
ˆo
´
iv´o
.
iphu
.
o
.
ng tr`ınh (14.47). Khi d
´ot`uy thuˆo
.
c v`ao d˘a
.
c t´ınh
cu
’
a nghiˆe
.
m λ

s˜e tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i nghiˆe
.
m
riˆeng cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh (14.47) l`a
e
λ
i
x
,i= 1,n
v`a nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
a (14.47) s˜e l`a

c tru
.
ng c´o nghiˆe
.
mbˆo
.
ich˘a
’
ng ha
.
n λ
1
=
λ
2
= ··· = λ
k
=
˜
λ v`a n − k nghiˆe
.
m c`on la
.
idˆe
`
u kh´ac nhau th`ı c´ac
nghiˆe
.
m riˆeng d
ltt s˜e l`a

λx
+ C
2
xe
˜
λx
+ ···+ C
k
x
k−1
e
˜
λx
+ C
k+1
e
λ
k+1
x
+ ···+ C
n
e
λ
n
x
.
(14.49)
3
+
Nˆe

nd
ˆe
’
x´ac di
.
nh ta gia
’
thiˆe
´
t λ
1
= α + iβ, λ
2
= α −iβ,
14.2. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p cao 275
λ
3
= γ +iδ, λ
4
= γ −iδ v`a c´ac nghiˆe
.
m c`on la
.
idˆe

.
ng
y = C
1
e
αx
cos βx + C
2
e
αx
sin βx+ C
3
e
γx
cos δx
+ C
4
e
γx
sin δx + C
5
e
λ
5
x
+ ···+ C
n
e
λ
n

th`ı λ
2
= α −iβ c˜ung l`a nghiˆe
.
mbˆo
.
i k cu
’
a n´o. C´ac
nghiˆe
.
md
ltt s˜e l`a
e
αx
cos βx,e
αx
sin βx, xe
αx
cos βx, xe
αx
sin βx, ,
x
k−1
e
αx
cos βx,x
k−1
e
αx

.
1. T`ım nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh
y
(3)
− 2y
(2)
− 3y

=0.
Gia
’
i. Lˆa
.
pphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.

o
.
.
c nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at
y = C
1
+ C
2
e
−x
+ C
3
e
3x
. 
V´ı du
.
2. C˜ung ho
’
inhu
.
trˆen v´o
.
iphu
.
o

.
ng
λ
3
+2λ
2
+ λ =0.
T`u
.
d
´o suy ra λ
1
= λ
2
= −1, λ
3
= 0. C´ac nghiˆe
.
m n`ay dˆe
`
u thu
.
.
cv`a
λ = −1 l`a nghiˆe
.
mk´epnˆen´apdu
.
ng (14.49) ta thu d
u

.
ng tr`ınh
y
(3)
+4y
(2)
+13y

=0.
Gia
’
i. Phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng λ
3
+4λ
2
+13λ = 0 c´o c´ac nghiˆe
.
m
λ
1
=0,λ

ng tr`ınh
y
(5)
−2y
(4)
+2y
(3)
− 4y
(2)
+ y

− 2y =0.
Gia
’
i. Phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng
λ
5
− 2λ
4
+2λ
3

ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh c´o da
.
ng
y = C
1
e
2x
+ C
2
cos x + C
3
x cos x + C
4
sin x + C
5
x sin x
= C
1
e
2x
+(C
2
+ C
3

Gia
’
i. Lˆa
.
pphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng
λ
4
+4λ
3
+8λ
2
+8λ +4=0⇔ (λ
2
+2λ +2)
2
=0.
N´o c´o c´ac nghiˆe
.
mk´epph´u
.
c λ

xe
−x
cos x + C
4
xe
−x
sin x
= e
−x
[C
1
+ C
3
x] cos x + e
−x
[C
2
+ C
4
x] sin x. 
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
Gia
’
i c´ac phu

−x
(C
2
cos
√
3x + C
3
sin
√
3x))
3. y
(4)
−y = 0. (DS. y = C
1
e
x
+ C
2
e
−x
+ C
3
cos x + C
4
sin x)
4. y
(3)
−3y

− 2y = 0. (DS. y = e

(2)
+13y

= 0. (DS. y = C
1
+ e
3x
(C
2
cos 2x + C
3
sin 2x))
7. y
(4)
+13y
(2)
+36y =0.
(D
S. y = C
1
cos 2x + C
2
sin 2x + C
3
cos 3x + C
4
sin 3x)
Gia
’
i c´ac b`ai to´an Cauchy sau d

(3)
−3y
(2)
+3y

− y =0;y(0) = 1, y

(0) = 2, y

(0) = 3.
(D
S. y = e
x
(1 + x))
278 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
11. y
(3)
+ y
(2)
=0;y(0) = 1, y

(0) = 0, y

y
(n)
+ a
1
y
(n−1)
+ ···+ a
n−1
y

+ a
n
y = f(x) (14.51)
Tu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
tru
.
`o
.
ng ho
.
.
pphu

m
riˆeng n`ao d
´ocu
’
a (14.51). Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
ptˆo
’
ng qu´at ph´ep t´ıch phˆan
phu
.
o
.
ng tr`ınh (14.51) c´o thˆe
’
thu
.
.
chiˆe
.
n nh`o
.
phu
.
o

i nghiˆe
.
m riˆeng
cu
’
a (14.51) d
u
.
o
.
.
ct`ımbo
.
’
iphu
.
o
.
ng ph´ap d
o
.
n gia
’
nho
.
n: d
´o l`a phu
.
o
.

cl`a
f(x)=e
αx
[P

(x) cos βx+ Q
m
(x) sin βx]
trong d
´o P

(x)v`aQ
m
(x) l`a nh˜u
.
ng d
ath´u
.
cbˆa
.
c  v`a m tu
.
o
.
ng ´u
.
ng.
Trong tru
.
`o

P
k
(x) cos βx+
˜
Q
k
(x) sin βx

k = max(, m),
˜
P
k
v`a
˜
Q
k
l`a nh˜u
.
ng d
ath´u
.
cbˆa
.
c k cu
’
a x da
.
ng tˆo
’
ng qu´at

.
mcu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng
th`ı r = 0).
Nˆo
.
i dung cu
’
aphu
.
o
.
ng ph´ap biˆe
´
n thiˆen h˘a
`
ng sˆo
´
Lagrange d
ˆo

clˆa
.
p tuyˆe
´
n
t´ınh cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
ttu
.
o
.
ng ´u
.
ng cu
’
a (14.51) v`a
Y (x)=C
1
y
1
(x)+C
2

t`uy ´y.
Ta s˜e t`ım nghiˆe
.
mcu
’
a (14.51) du
.
´o
.
ida
.
ng
y = C
1
(x)y
1
(x)+C
2
(x)y
2
(x)+···+ C
n
(x)y
n
(x) (14.52)
trong d
´o C
1
(x), ,C
n




y
1
(x)C

1
(x)+y
2
(x)C

2
(x)+···+ y
n
(x)C

n
(x)=0,
y

1
(x)C

1
(x)+y

2
(x)C


1
, ,y
n
l`a dltt nˆen di
.
nh th´u
.
ccu
’
ahˆe
.
(Wronskian) luˆon =0
v`a hˆe
.
c´o nghiˆe
.
m duy nhˆa
´
t:
dC
i
(x)
dx
= ϕ
i
(x) ⇒ C
i
(x)=

ϕ

Nhˆa
.
n x´et. D
ˆo
´
iv´o
.
iphu
.
o
.
ng tr`ınh cˆa
´
p2hˆe
.
(14.53) c´o da
.
ng

y
1
(x)C

1
(x)+y
2
(x)C

2
(x)=0,

.
imˆo
.
tsˆo
´
da
.
ng vˆe
´
pha
’
i kh´ac nhau cu
’
a (14.51)
280 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
Vˆe
´
pha
’
icu
’
aphu

mcu
’
a
phu
.
o
.
ng tr`ınh
d
˘a
.
c tru
.
ng
˜
P
m
(x)
I P
m
(x)
2. Sˆo
´
0 l`a nghiˆe
.
m
bˆo
.
i s cu
’

.
o
.
ng Nghiˆe
.
mcu
’
aphu
.
o
.
ng C´ac da
.
ng
N
◦
tr`ınh vi phˆan tr`ınh d˘a
.
c tru
.
ng nghiˆe
.
m riˆeng
Sˆo
´
α khˆong pha
’
il`a
nghiˆe
.

’
aphu
.
o
.
ng
tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng x
s
˜
P
m
(x)e
αx
1. sˆo
´
±iβ khˆong
˜
P
k
(x) cos βx+
pha
’
i l`a nghiˆe
.
m

˜
P
k
(x) cos βx
bˆo
.
i s cu
’
aphu
.
o
.
ng
˜
Q
k
(x) sin βx],
tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng k = max(m, n)
1. Sˆo
´
α ± iβ khˆong [
˜
P
k
(x) cos βx+

m
(x) sin βx]
2. Sˆo
´
α ±iβ l`a x
s
[
˜
P
k
(x) cos βx+
nghiˆe
.
mbˆo
.
i s
˜
Q
k
(x) sin βx]e
αx
,
cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh k = max(m, n)
d

.
ng I-IV o
.
’
ba
’
ng v`a ˜y
1
, ˜y
2
, ,˜y
m
l`a c´ac nghiˆe
.
m
riˆeng tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i f
i
(x), i = 1,m th`ı
˜y =˜y
1
+˜y
2

.
V´ı du
.
1. Gia
’
i c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh
1) y
(3)
− y
(2)
+ y

− y = x
2
+ x;
2) y
(3)
− y
(2)
=12x
2
+6x.
Gia
’
i. 1) Phu
.

.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i 1) c´o nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at l`a
Y = C
1
e
x
+ C
2
cos x + C
3
sin x
(o
.
’
d
ˆay sˆo
´
α = 0). V`ısˆo
´
α = 0 khˆong l`a nghiˆe

´o A
1
, A
2
, A
3
l`a nh˜u
.
ng hˆe
.
sˆo
´
cˆa
`
nd
u
.
o
.
.
c x´ac d
i
.
nh. Thˆe
´
nghiˆe
.
m riˆeng ˜y
v`ao phu
.

`
ng A
1
= −1, A
2
= −3, A
3
= −1. Do d´o˜y = −x
2
−3x−1
v`a nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at c´o da
.
ng
y = Y +˜y = C
1
e
x
+ C
2
cos x + C
3
sin x −x
2
− 3x − 1.
2) Phu
.

ng tr`ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
ttu
.
o
.
ng
´u
.
ng v´o
.
i 2) c´o da
.
ng
Y = C
1
+ C
2
x + C
3
e
x
.
14.2. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa

x
2
+ A
2
x + A
3
)=A
1
x
4
+ A
2
x
3
+ A
3
x
2
.
Thˆe
´
˜y v`ao phu
.
o
.
ng tr`ınh 2), ta thu d
u
.
o
.

3
−15x
2
.
Nhu
.
vˆa
.
y
y = Y +˜y = C
1
+ C
2
x + C
3
e
x
−x
4
− 5x
3
−15x
2
. 
V´ı du
.
2. Gia
’
iphu
.

c tiˆen ta biˆe
´
nd
ˆo
’
ivˆe
´
pha
’
icu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh. Ta c´o
4 cos x cos 3x + 6 sin
2
x = 2 cos 4x − cos 2x +3.
Khi d
´o
y
(3)
− 2y
(2)
+2y

= 2 cos 4x − cos 2x +3.
Nghiˆe
.

’
t`ım nghiˆe
.
m riˆeng, ta s˜e ´ap du
.
ng nhˆa
.
nx´etd˜a nˆeu: Ta cˆa
`
nt`ım
nghiˆe
.
m riˆeng cu
’
a ba phu
.
o
.
ng tr`ınh
y
(3)
− 2y
(2)
+2y

= 2 cos 4x,
y
(3)
− 2y
(2)

65
(cos 4x −
7
4
sin 4x); ˜y
2
=
1
10
(
1
2
sin 2x −cos 2x); ˜y
3
=
3
2
x.
Do d
´o
˜y =˜y
1
+˜y
2
+˜y
3
=
1
65
(cos 4x −

7
4
sin 4x)
+
1
10

sin 2x
2
− cos 2x

+
3
2
x. 
V´ı du
.
3. T`ım nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh
y
(3)

ng ´u
.
ng y
(3)
+ y

=0l`a
Y = C
1
+ C
2
cos x + C
3
sin x.
Ta t`ım nghiˆe
.
m riˆeng cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh khˆong thuˆa
`
n nhˆa
´
tb˘a
`
ng
phu




C

1
+ C

2
cos x + C

3
sin x =0,
−C

2
sin x + C

3
cos x =0,
−C

2
cos x −C

3
sin x =tgx.
Nhˆan phu
.
o

.
d
´o C

3
= −
sin
2
x
cos x
.Tiˆe
´
pd
ˆe
´
n,
cˆo
.
ng phu
.
o
.
ng tr`ınh th´u
.
nhˆa
´
tv´o
.
iphu
.

sin x −ln



tg

π
4
+
x
2




v`a do d
´o nghiˆe
.
m riˆeng cˆa
`
n t`ım c´o da
.
ng
˜y = −ln |cos x| + cos
2
x + sin x

sin x −ln



.
˜y v`a Y ta thu d
u
.
o
.
.
c nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜acho
y = Y +˜y = C
1
+ C
2
cos x + C
3
sin x
−ln|cos x|−sin xln




Gia
’
i. D
ˆa
`
u tiˆen t`ım nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh thuˆa
`
n
nhˆa
´
t. Dˆe
˜
thˆa
´
yr˘a
`
ng
Y = C
1
e

ccho
.
n nghiˆe
.
m riˆeng theo vˆe
´
pha
’
i v`a nghiˆe
.
mcu
’
a
ptd
tnhu
.
o
.
’
trˆen l`a khˆong thu
.
.
chiˆe
.
nd
u
.
o
.
.

.
o
.
ng ph´ap tˆo
’
ng qu´at c´o thˆe
’
´ap du
.
ng cho phu
.
o
.
ng tr`ınh v´o
.
ivˆe
´
pha
’
i liˆen tu
.
cbˆa
´
tk`y f(x)).
Ta lˆa
.
phˆe
.
phu
.

.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
T`u
.
d
´o suy ra C

1
(x)=−tgx, C

2
(x)=1v`adod´o
C
1
(x)=

−tgxdx =ln|cos x|+
˜
C
1
,
C
2
(x)=

cos x +

x +
˜
C
2

e
2x
sin x,
trong d
´o
˜
C
1
,
˜
C
2
l`a nh˜u
.
ng h˘a
`
ng sˆo
´
t`uy ´y. 
V´ı du
.
5. Gia
’

.
o
.
ng tr`ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
tl`a
Y = C
1
+ C
2
e
x
.
D
˘a
.
t C
1
= C
1
(x), C
2
= C
2
(x). Ta lˆa
.
phˆe
.

x
=
1
1+e
x



(v`ı y
1
(x)=1⇒ y

1
(x)=0;y
2
(x)=e
x
⇒ y

2
(x)=e
x
). Gia
’
ihˆe
.
n`ay ta
thu d
u
.

2
(x)=−e
−x
− x + ln(1 + e
x
)+
˜
C
2
.
T`u
.
d
´othudu
.
o
.
.
c nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at
y = −x + ln(1 + e
x
)+e
x

−e
−x

C
1
.
T´ınh y

(x)rˆo
`
i thay x =0v`ay

(0) = 2 v`ao ta c´o
2=−1+
˜
C
2
+ln2⇒
˜
C
2
=3−ln2
˜
C
1
= −ln 2 −1.
Sau c`unh nghiˆe
.
m riˆeng cˆa
`
nt`ımc´oda
.
ng

ng tr`ınh sau
1. y
(3)
+ y = x.(DS. ˜y = A
1
+ A
2
x)
2. y
(3)
+ y

= 2. (DS. ˜y = Ax)
3. y
(3)
+ y
(2)
= 3. (DS. ˜y = Ax
2
)
4. y
(4)
−y = 1. (DS. ˜y = A, A = const)
5. y
(4)
−y

= 2. (DS. ˜y = Ax)
6. y
(4)

−x
.(DS. ˜y = Ax
2
e
−x
)
10. y
(4)
+2y
(3)
+ y
(2)
= xe
−x
.(DS. ˜y =(A
1
x
2
+ A
2
x
3
)e
−x
)
11. y
(4)
+4y
(2)
+4y = sin 2x.(DS. ˜y = A

.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh khˆong thuˆa
`
n nhˆa
´
t sau
13. y
(3)
+ y
(2)
= 1. (DS. y = C
1
+ C
2
x + C
3
e
−x
+
x
2
2
)
14. 3y
(4)
+ y

S. y = C
1
cos x + C
2
sin x +(C
3
+ C
4
x)e
x
+1)
16. y
(3)
− y
(2)
+ y

− y = x
2
+ x.
(D
S. y = C
1
e
x
+ C
2
cos x + C
3
sin x −(x

(4)
− 2y
(2)
+ y = cos x.
(D
S. y =(C
1
+ C
2
x)e
x
+(C
3
+ C
4
x)e
−x
+
1
4
cos x)
19. y
(3)
− 3y
(2)
+3y

− y = e
x
cos x.

e
√
3x
+ C
4
e
−
√
3x
−
x
4
4
− x
2
)
21. 4y
(3)
+ y

=3e
x
+ 2 sin
x
2
.
(D
S. y = C
1
+ C

+12x
2
+ C
1
+ C
2
x + C
3
e
−x
)
23. y
(3)
− 5y
(2)
+8y

− 4y = e
2x
.
(D
S. y = C
1
e
x
+(C
2
+ C
3
x)e