14.1. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p1 231
32. y

tgx − y =1,y

π
2

= 1. (D
S. y = 2 sinx − 1)
33. sin y cos xdy = cos y sin ydx, y(0) =
π
4
.(D
S. cos x =
√
2 cos y)
34. y

sin x = y ln y, y

π
2

= 1. (D

1. Tru
.
´o
.
chˆe
´
tlu
.
u´yr˘a
`
ng h`am f(x, y)d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`ah`am d
˘a
’
ng cˆa
´
p cˆa
´
p m
d
ˆo
´
iv´o

o
.
.
cgo
.
i l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
’
ng
cˆa
´
pd
ˆo
´
iv´o
.
i c´ac biˆe
´
n x v`a y nˆe
´
u h`am f(x, y) l`a h`am d
˘a
’
ng cˆa
´
pcˆa

.
ida
.
ng
dy
dx
=
ϕ

y
x

.
Nh`o
.
ph´ep d
ˆo
’
ibiˆe
´
n
u =
y
x
ta du
.
ad
u
.
o

Nˆe
´
u u = u
0
l`a nghiˆe
.
mcu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh ϕ(u) − u = 0 th`ı phu
.
o
.
ng
tr`ınh d
˘a
’
ng cˆa
´
p c`on c´o nghiˆe
.
ml`ay = u
0
x.
2. C´ac phu
.
o

ng tr`ınh vi phˆan
i) Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan da
.
ng
y = f

a
1
x + b
1
y + c
1
a
2
x + b
2
y + c
2

,a
i
= const,b
i
= const,i=1, 2. (14.6)
c´o thˆe
’

b
1
a
2
b
2





= a
1
b
2
− a
2
b
1
=0.
D
ˆe
’
l`am viˆe
.
cd´o, ta d˘a
.
t x = u+ α, y = v + β v`a cho
.
n α v`a β sao cho vˆe

.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
a
1
α + b
1
β + c
1
=0,
(14.7)
a
2
α + b
2
β + c
2
=0.
T`ım nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o

.
c nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at
cu
’
a (14.6).
ii) Nˆe
´
u





a
1
b
1
a
2
b
2






.
ad
u
.
o
.
.
cvˆe
`
phu
.
o
.
ng tr`ınh t´ach biˆe
´
nb˘a
`
ng c´ach d
˘a
.
t z = a
2
x + b
2
y.
C
´
AC V
´
IDU

o
.
.
c
2
dy
dx
=1+

y
x

2
.
14.1. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p1 233
D˘a
.
t y = ux ⇒ y

= xu

+ u v`a thu du
.
o

y
x
−1
=lnCx ⇒
Cx = e
−
2x
y−x
Khi thu
.
.
chiˆe
.
nviˆe
.
c chia cho x v`a u −1tacˆa
`
n xem x =0v`au =1.
Kiˆe
’
m tra tru
.
.
ctiˆe
´
p ta thˆa
´
y x =0v`au =1(t´u
.
cl`ay = x)c˜ung l`a

1+ln
y
x

,y(1) = e
−
1
2
.
Gia
’
i. Trong phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
’
ng cˆa
´
p y

=
y
x

1+ln
y
x


⇒

du
u ln u
=

dx
x
+lnC ⇒ ln |ln u| =ln|x|+lnC
⇒ ln u = Cx.
Thay u bo
.
’
i
y
x
ta c´o
ln
y
x
= Cx ⇒ y = xe
Cx
.
D
´o l`a nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at. Thay diˆe
`

ng tr`ınh vi phˆan
V´ı d u
.
3. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh (x + y −2)dx +(x −y +4)dy =0.
Gia
’
i. Phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho tho
’
a m˜an diˆe
`
ukiˆe
.
n a
1
b
2
−a
2
b

.
o
.
ng
tr`ınh d
˜a cho tro
.
’
th`anh
(u + v)du +(u − v)dv =0. (14.8)
Phu
.
o
.
ng tr`ınh (14.8) l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
’
ng cˆa
´
p. D˘a
.
t v = zu ta thu
d
u
.
o

`
biˆe
´
nc˜u x v`a y ta c´o
(x +1)
2

1+2
y −3
x +1
−
(y −3)
2
(x +1)
2

= C
1
hay l`a
x
2
+2xy − y
2
−4x +8y = C. (C = C
1
+ 14). 
14.1. Phu
.
o
.


11
22





=0,t´u
.
c
l`a hˆe
.
x + y +1 =0
2x +2y − 1=0

vˆo nghiˆe
.
m. Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p n`ay ta d
˘a
.
t
z = x + y, dy = dz − dx

2. xy

= y(ln y − ln x). (DS. y = xe
1+Cx
)
3. (x
2
+ y
2
)dx − xydy = 0. (DS. y
2
= x
2
(ln x − C))
4. xy

cos
y
x
= y cos
y
x
− x.(D
S. sin
y
x
+lnx = C)
5. y

= e

2
dy =(y
2
− xy + x
2
)dx.(DS. ( x − y)lnCx = x)
8. xy

= y +

y
2
− x
2
.(DS. y +

y
2
− x
2
= Cx
2
, y = x)
9. (4x − 3y)dx +(2y −3x)dy = 0. (D
S. y
2
− 3xy +2x
2
= C)
10. (y −x)dx +(y + x)dy = 0. (D

+ y
2
=0)
14. ydy +(x −2y)dx.(D
S. x =(y − x)lnC(y −x))
15. ydx +(2
√
xy −x)dy = 0. (DS.
√
x +
√
y ln Cy =0)
16. xy

cos
y
x
= y cos
y
x
− x.(D
S. sin
y
x
+lnx = C)
17. (y +

x
2
+ y

.
cvˆe
`
phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
’
ng cˆa
´
p
sau
19. y

= −
x − 2y +5
2x − y +4
.(D
S.
y − x −3
(y + x +1)
3
= C)
20. (2x − y +1)dx +(2y −x − 1)dy =0.
(D
S. x
2
− xy + y

+2xy − y
2
− 4x +8y = C)
T`ım nghiˆe
.
m riˆeng cu
’
a c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
’
ng cˆa
´
p ho˘a
.
cdu
.
ad
u
.
o
.
.
c
vˆe
`
d

28. x
2
− y
2
+2xyy

=0,y(1) = 1. (DS. x
2
+2x + y
2
=0)
14.1.3 Phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh
Phu
.
o
.
ng tr`ınh da
.
ng
dy
dx
+ P (x)y = Q(x) (14.9)
trong d
´o P (x)v`aQ(x) l`a nh˜u

’
n h`am y v`a d
a
.
o h`am y

cu
’
a n´o tham gia trong phu
.
o
.
ng tr`ınh l`a
tuyˆe
´
n t´ınh, t´u
.
c l`a c´o bˆa
.
cb˘a
`
ng 1.
Nˆe
´
u Q(x) ≡ 0 th`ı (14.9) d
u
.
o
.
.

´
n
t´ınh khˆong thuˆa
`
n nhˆa
´
t.
Phu
.
o
.
ng ph´ap gia
’
i. Hai phu
.
o
.
ng ph´ap thu
.
`o
.
ng d
u
.
o
.
.
csu
.
’

´
t
dy
dx
+ P (x)y =0. (14.10)
Sau d
´o trong cˆong th´u
.
c nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
a (14.10) ta xem h˘a
`
ng
sˆo
´
C l`a h`am kha
’
vi cu
’
a x: C = C(x). Ta thu d
u
.
o
.
.
c h`am C = C(x)

ng ph´ap v`u
.
a nˆeu go
.
i l`a phu
.
o
.
ng ph´ap
Lagrange.
2
+
Phu
.
o
.
ng ph´ap d
ˆo
’
ibiˆe
´
n c`on go
.
il`aphu
.
o
.
ng ph´ap Bernoulli.
D
ˆe

t trong hai c´o thˆe
’
cho
.
nt`uy ´y, c`on
h`am kia d
u
.
o
.
.
c x´ac d
i
.
nh bo
.
’
i (14.11). Thˆong thu
.
`o
.
ng ta cho
.
n u(x) sao
cho biˆe
’
uth´u
.
c trong dˆa
´


+ P (x)u = 0. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh n`ay ta thu d
u
.
o
.
.
c u(x). Thˆe
´
u(x)
v`ao (14.11) ta c´o
v

u = Q(x)
v`a thu d
u
.
o
.
.
c nghiˆe
.
mtˆo
’

t´ınh d
ˆo
´
iv´o
.
i y m`a l`a tuyˆe
´
nt´ınhd
ˆo
´
iv´o
.
i x,t´u
.
c l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh c´o thˆe
’
d
u
.
avˆe
`
da
.
ng
dx
dy

isˆo
´
, x = x(y) l `a ˆa
’
n h`am.
14.1. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p1 239
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı d u
.
1. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh y

+3y = e
2x

.
o
.
ng tr`ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
t
y

+3y =0⇒
dy
y
= −3dx.
T`u
.
d
´othudu
.
o
.
.
c:
ln |y| = −3x +ln|C
1
|⇒y = ±C
1
e
−3x
= Ce

ng y = C(x)e
−3x
.Lˆa
´
yda
.
o h`am y

rˆo
`
ithˆe
´
c´ac biˆe
’
u
th ´u
.
ccu
’
a y v`a y

v`ao phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho ta c´o
C

(x)e

mtˆo
’
ng qu´at cu
’
a
phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜acho
y = C(x)e
−3x
=

1
5
e
5x
+ C
2

=
1
5
e
5x
+ C
2
e

t y = uv. Khi d´o y

= u

v + v

u. Thay v`ao phu
.
o
.
ng tr`ınh
ta thu d
u
.
o
.
.
c
u

v + uv

+3uv = e
2x
⇒ u[v

+3v]+u

v = e
2x

.
(14.14) suy ra
dv
3v
= −dx ⇒ v = e
−3x
.
Thˆe
´
v = e
−3x
v`ao (14.15) ta du
.
o
.
.
c
e
−3x
u

= e
2x
→ u

= e
5x
⇒ u =
1
5

.
tkˆe
´
t qua
’
. 
V´ı d u
.
3. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh
dy
dx
=
1
x cos y + a sin 2y
· (14.16)
Gia
’
i. Phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho khˆong pha
’

phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh d
ˆo
´
iv´o
.
i x v`a x

:
dx
dy
− x cos y = a sin 2y.
D
˘a
.
t x = u(y)v(y) ⇒
dx
dy
= u
dv
dy
+ v
du
dy
.Thˆe

= a sin 2y. (14.18)
Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh (14.17) ta thu d
u
.
o
.
.
c u = e
sin y
.Thˆe
´
kˆe
´
t qua
’
n`ay v`ao
(14.18) d
ˆe
’
t`ım v.Tac´o
e
siny
dv
dy

sin y

− 2a(sin y +1)e
−sin y
+ C

= −2a(sin y +1)+Ce
siny
. 
V´ı d u
.
4. Gia
’
i b`ai to´an Cauchy
x(x −1)y + y = x
2
(2x −1),y(2) = 4.
Gia
’
i. T`ım nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at du
.
´o
.
ida
.
ng

+ v =0, (14.19)
x(x −1)vu

= x
2
(2x − 1). (14.20)
Gia
’
i (14.19) ta thu d
u
.
o
.
.
c v =
x
x −1
.Thˆe
´
v`ao (14.20) ta c´o
u

=2x − 1 ⇒ u(x)=x
2
− x + C.
Do d
´o nghiˆe
.
mtˆo
’

.
c
4=C ·
2
2 − 1
+2
2
⇒ C =0⇒ y = x
2
.
Nhu
.
vˆa
.
y nghiˆe
.
mcu
’
a b`ai to´an Cauchy l`a y = x
2
. 
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
242 Chu
.

3. y

= x + y.(DS. y = Ce
x
− x −1)
4. y

+ x
2
y = x
2
.(DS. y =1+Ce
−
x
3
3
)
5. xy

+ y = 3. (DS. y =3+
C
x
)
6. xy

+ y = e
x
.(DS. y =
e
x

2
)
10. y

+ y = cos x.(DS. y = Ce
−x
+
1
2
(cos x + sin x))
11. y

cos x −y sin x = sin 2x.(DS. y =
C −cos 2x
2 cos x
)
12. xy

−2y = x
3
cos x.(DS. y = Cx
2
+ x
2
sin x)
13. xy

+ y =lnx + 1. (DS. y =lnx +
C
x

3
ln
2
x.(DS. y =(C + x
3
)lnx)
17. y

+ y cos x = sin 2x.(DS. y = 2(sin x − 1) + Ce
−sinx
)
18. y

−
2
x
y =
e
x
(x − 2)
x
.(D
S. y = Cx
2
+ e
x
)
19. y

+2xy =2x

iv´o
.
i x sau d
ˆay
20. y

=
y
2y ln y + y − x
.(D
S. x =
C
y
+ y ln y)
21. (e
−
y
2
2
− xy)dy − dx = 0. (DS. x =(C + y)e
−
y
2
2
)
22. (sin
2
y + xcotgy)y

= 1. (DS. x =(−cos y + C) sin y)

ln y.(DS. x = Cy − 1 − ln y)
27. (x
2
ln y − x)y

= y.(DS. x =
1
ln y +1− Cy
)
28. (2xy +3)dy − y
2
dx = 0. (DS. x = Cy
2
−
1
y
)
29. (y
4
+2x)y

= y.(DS. x = Cy
2
+
y
4
2
)
30. ydx +(x + x
2

.
t z(x)=e
−y
.
32. 3dy +(1+e
x+3y
)dx = 0. (DS. y = −
1
3
ln(C + x) −
x
3
)
Chı
’
dˆa
˜
n. D
˘a
.
t z(x)=e
−3y
.
Gia
’
i c´ac b`ai to´an Cauchy sau
33. ydx −(3x +1+lny)dy =0. y

−
1

.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
35. y

cos x −y sin x =2x, y(0) = 0. (DS. y =
x
2
cos x
)
36. y

− ytgx =
1
cos
3
x
, y(0) = 0. (D
S. y =
sin x
cos
2
x
)
37. y

+ y cos x = cos x, y(0) = 1. (DS. y =1)

cos x
, y(0) = 1. (D
S. y =
x
cos x
+1)
42. y

+ x
2
y = x
2
, y(2) = 1. (DS. y =1)
43. y

− y
1
sin x cos x
= −
1
sin x
− sin x, y

π
4

=1+
√
2
2

c, d
u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a phu
.
o
.
ng
tr`ınh Bernoolli.
C˜ung giˆo
´
ng nhu
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh, phu
.
o
.
ng tr`ınh Bernoulli
d

.
ng tr`ınh (14.21) c´o thˆe
’
d
u
.
avˆe
`
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
nt´ınhbo
.
’
i
ph´ep d
ˆo
’
ibiˆe
´
n
z = y
1−α
14.1. Phu
.
o
.

cho x
2
y
2
:
y

+
y
x
= y
−2
·
1
x
2
· (14.22)
D
´o l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh Bernolli. Thay y = uv v`ao (14.22) ta c´o:
u

v + v

u +
uv
x

d
´odˆe
’
t`ım u v`a v ta c´o hai phu
.
o
.
ng tr`ınh
1) v

+
v
x
= 0; 2) vu

=
1
x
2
u
2
v
2
·
Phu
.
o
.
ng tr`ınh 1) cho ta nghiˆe
.

C
3
⇒ u =
3

3x
2
2
+ C.
Do vˆa
.
y nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho c´o da
.
ng
y = uv =
3

3
2x

’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh
cho y
2
:
y
−2
y

− 2xy
−1
=2x
3
.
D
˘a
.
t z = y
−1
→−y
−2
y

= z

.Dod´o

+1− x
2
v`a do d´o nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho l`a
y =
1
Ce
−x
2
+1− x
2
· 
V´ı d u
.
3. Gia
’
iphu
.
o
.

1
+
Nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
ttu
.
o
.
ng ´u
.
ng l`a
y =
C
x
.
2
+
Nghiˆe

´o C(x) l`a h`am m´o
.
i chu
.
abiˆe
´
t. Thay
y =
C(x)
x
v`ao phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho ta thu du
.
o
.
.
c
C

(x)=C
2
(x)
ln x
x
2
⇒

1+Cx +lnx
· 
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
Gia
’
i c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh Bernoulli sau
1. y

+2xy =2xy
2
.(DS. y =
1
1+Ce
x
2
)
2. 3xy
2
y


= C + y)
4. y

+2xy = y
2
e
x
2
.(DS. y =
e
−x
2
C − x
)
5. y

− y cos x = y
2
cos x.(DS. y =
1
Ce
−sinx
− 1
)
6. 2y

sin x + y cos x = y
3
sin
2

´
n t´ınh ho˘a
.
cphu
.
o
.
ng tr`ınh Bernoulli. Gia
’
i c´ac
phu
.
o
.
ng tr`ınh d
´o.
7. y

− tgy = e
x
1
cos y
.(D
S. sin y =(x + C)e
x
.
Chı
’
dˆa
˜

.
t z = sin y.
10. yy

+1=(x −1)e
−
y
2
2
.(DS. x − 2+Ce
−x
= e
y
2
2
)
Chı
’
dˆa
˜
n. D
˘a
.
t z = e
y
2
2
11. y

+ x sin 2y =2xe

.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p1
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (14.23)
c´ac hˆe
.
sˆo
´
P v`a Q tho
’
am˜and
iˆe
`
ukiˆe
.
n
∂Q
∂x
=
∂P
∂y
(14.24)
248 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o

il`aphu
.
o
.
ng tr`ınh
vi phˆan to`an phˆa
`
n (ptvptp) v`a
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = dV (x, y) = 0 (14.25)
Phu
.
o
.
ng tr`ınh (14.23) l`a ptvptp khi v`a chı
’
khi c´ac h`am P, Q,
∂Q
∂x
,
∂P
∂y
liˆen tu
.
c trong miˆe
`
nd
o
.
nliˆen D ⊂ R
2

c t`ım theo c´ac phu
.
o
.
ng ph´ap sau.
1
+
T´ıch phˆan biˆe
’
uth´u
.
c dV (x, y) theo d
u
.
`o
.
ng L(A, M) ⊂ D bˆa
´
tk`y
gi˜u
.
a hai d
iˆe
’
m A(x
0
,y
0
)v`aM(x, y) v`a thu du
.

pkh´uc v´o
.
i c´ac ca
.
nh song song
v´o
.
i tru
.
cto
.
ad
ˆo
.
A(x
0
,y
0
), B(x, y
0
), M(x, y)):
V (x, y)=
x

x
0
P (t, y
0
)dt +
y

’
udiˆe
˜
nbo
.
’
i hai da
.
ng sau
1) V (x, y)=

Pdx+ ϕ(y), xem y l`a khˆong d
ˆo
’
i,
2) V (x, y)=

Qdy + ψ(x), xem x khˆong d
ˆo
’
i.
14.1. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p1 249
Dˆe
´

´othudu
.
o
.
.
c ϕ(y).
Ho˘a
.
ct`ımψ(x)du
.
.
a v`ao d
iˆe
`
ukiˆe
.
nl`a
∂V
∂x
= P (x, y) ⇒


Qdy


x
+ ψ

(x)=P(x, y)
v`a t`u

a (14.23) v´o
.
i µ m`a
phu
.
o
.
ng tr`ınh thu d
u
.
o
.
.
c trong kˆe
´
t qua
’
l`a ptvptp th`ı h`am µ(x, y)d
u
.
o
.
.
c
go
.
il`ath`u
.
asˆo
´

abiˆe
´
n x th`ı phu
.
o
.
ng tr`ınh
(14.23) c´o th`u
.
asˆo
´
t´ıch phˆan µ = µ(x)chı
’
phu
.
thuˆo
.
c x v`a d
u
.
o
.
.
c x´ac
d
i
.
nh bo
.
’

−
∂P
∂y

/P l`a h`am chı
’
cu
’
abiˆe
´
n y th`ı (14.23)
c´o th`u
.
asˆo
´
t´ıch phˆan µ = µ(y)chı
’
phu
.
thuˆo
.
c y v`a d
u
.
o
.
.
ct`ımt`u
.
phu

V´ı d u
.
1. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh
(x + y +1)dx +(x − y
2
+3)dy =0.
Gia
’
i. O
.
’
d
ˆa y P = x + y +1,Q = x − y
2
+3. V`ı
∂P
∂y
=1=
∂Q
∂x
nˆen vˆe
´
tr´ai cu
’

c
V =

P (x, y)dx + ϕ(y)=

(x + y +1)dx + ϕ(y)
=
x
2
2
+ yx + x + ϕ(y). (*)
D
ˆe
’
t`ım ϕ(y) ta cˆa
`
nsu
.
’
du
.
ng 2) v`a kˆe
´
t qua
’
v`u
.
athud
u
.

Thˆe
´
biˆe
’
uth´u
.
c ϕ(y) v`ao (*) ta thu d
u
.
o
.
.
c
V (x, y)=
x
2
2
+ xy + x −
y
3
3
+3y + C
1
.
Phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho c´o da

2
+ xy + x −
y
3
3
+3y + C
1
= C
2
.
14.1. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p1 251
D˘a
.
t6(C
2
− C
1
)=C -h˘a
`
ng sˆo
´
t`uy ´y v`a thu du
.
o


x
2
+ y
2
)dx +(−1+

x
2
+ y
2
)ydy =0.
Gia
’
i. Dˆe
˜
kiˆe
’
m tra r˘a
`
ng phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho l`a ptvptp. Thˆa
.
tvˆa
.
y

.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
a n´o c´o thˆe
’
viˆe
´
t
du
.
´o
.
ida
.
ng t´ıch phˆan d
u
.
`o
.
ng
(x,y)

(x
0
,y
0
)
[Pdx+ Qdy]=C.

), K(x, y
0
), N(x, y) v`a thu du
.
o
.
.
c
x

x
0
P (t, y
0
)dt +
y

y
0
Q(x, t)dt = C.
Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p n`ay ta cho
.
n M(0; 1) v`a c´o

x
2
+ t
2
]tdt = C
hay l`a
x +
1
3
(x
2
+ y
2
)
3/2
−
y
2
2
= C.
252 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
Nˆe

ng cu
’
ah˘a
`
ng sˆo
´
t`uy ´y. 
V´ı d u
.
3. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh
(x + y
2
)dx − 2xydy =0.
Gia
’
i. O
.
’
d
ˆay P = x + y
2
, Q = −2xy. Ta thˆa
´
y ngay phu

2
x
⇒ ln µ = −2ln|x|⇒µ =
1
x
2
·
Phu
.
o
.
ng tr`ınh
x + y
2
x
2
dx − 2
xy
x
2
dy =0
l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan to`an phˆa
`
n. Vˆe
´
tr´ai cu

.
d
´othudu
.
o
.
.
c t´ıch phˆan tˆo
’
ng qu´at
x = Ce
y
2
/x
. 
V´ı d u
.
4. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh
2xy ln ydx +(x
2
+ y
2

y

dy
= −
1
y
⇒ µ =
1
y
·
14.1. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p1 253
Nhˆan µ =
1
y
v´o
.
i hai vˆe
´
cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho ta thu du

y
2
+1dy =0⇒ x
2
ln y +
1
3
(y
2
+1)
3/2
= C. 
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
Gia
’
i c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh sau
1. (3x
2
+6xy
2

= C)
4. 2x cos
2
ydx +(2y − x
2
sin 2y)dy = 0. (DS. x
2
cos
2
y + y
2
= C)
5. (3x
2
+2y)dx +(2x −3)dy = 0. (DS. x
3
+2xy − 3y = C)
6. (3x
2
y − 4xy
2
)dx +(x
3
− 4x
2
y +12y
3
)dy =0.
(D
S. x

2
)dy = 0. (DS. 2xy −3x + y
3
= C)
10. (x +ln|y|)dx +

1+
x
y
+ sin y)dy =0.
(D
S.
x
2
2
+ x ln |y|+ y −cos y = C)
11. (3x
2
y
2
+7)dx +2x
3
ydy = 0. (DS. x
3
y
2
+7x = C)
12. (e
y
+ ye

15. (12x +5y − 9)dx +(5x +2y − 4)dy =0.
(D
S. 6x
2
+5xy + y
2
− 9x − 4y = C)
16. (3xy
2
− x
2
)dx +(3x
2
y − 6y
2
− 1)dy =0.
(D
S. 6y +12y
3
−9x
2
y
2
+2x
3
= C)
17. (ln y − 2x)dx +

x
y

y
+
x
2
+ y
2
2
= C)
19. (3x
2
−2x −y)dx +(2y − x +3y
2
)dy =0.
(D
S. x
3
+ y
3
− x
2
−xy + y
2
= C)
20.

sin y + y sin x +
1
x

dx +

− 2x
2
y − 2=Cx, µ =
1
x
2
)
22. (x
2
+ y)dx − xdy =0,µ = µ(x).
(D
S. x −
y
x
= C, µ = −
1
x
2
)
23. (x + y
2
) − 2xydy =0,µ = µ(x).
(D
S. x ln |x|−y
2
= Cx, µ =
1
x
2
)

3
(ln x − 1) = C, x =0,µ =
1
x
4
)
26. (x + sin x + siny)dx + cos ydy =0.
(D
S. 2e
x
sin y +2e
x
(x − 1) + e
x
(sin x − cos x)=C, µ = e
x
)
27. (2xy
2
− 3y
3
)dx +(7− 3xy
2
)dy =0.
(D
S. x
2
−
7
y

2
=0)
30. 3x
2
e
y
+(x
3
e
y
− 1)y

=0,y(0) = 1. (DS. x
3
e
y
− y = −1)
31.
2xdx
y
3
+
y
2
− 3x
2
y
4
dy =0,y(1) = 1. (DS. y = x)
14.1.6 Phu

.
o
.
ng tr`ınh Lagrange, trong d
´o ϕ(y

)v`aψ(y

) l`a c´ac h`am
d
˜a b i ˆe
´
tcu
’
a y

.
Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p khi ϕ(y

)=y

th`ı (14.28) c´o da
.