5.4. Ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i tuyˆe
´
n t´ınh 223
Nhu
.
vˆa
.
y L(x)=−x v`a do d´o x l`a vecto
.
riˆeng ´u
.
ng v´o
.
i gi´a tri
.
riˆeng
λ = −1.
2) 1
+
Ta c´o ma trˆa
.
ncu
’
a ph´ep biˆe
´
ndˆo
’

=0⇔ λ
2
− 14λ +13=0
⇔

λ
1
=1,
λ
2
=13.
2
+
Ca
’
hai gi´a tri
.
λ =1v`aλ =13dˆe
`
u l`a c´ac gi´a tri
.
riˆeng.
3
+
Dˆe
’
t`ım to
.
adˆo
.

(II)

(5 −λ
2
)ξ
1
+4ξ
2
=0,
8ξ
1
+(9− λ
2
)ξ
2
=0.
i) V`ı λ
1
=1nˆen hˆe
.
(I) c´o da
.
ng
4ξ
1
+4ξ
2
=0,
8ξ
1

ilu
.
o
.
.
ng t`uy ´y. V`ı vecto
.
riˆeng kh´ac khˆong
nˆen c´ac vecto
.
´u
.
ng v´o
.
i gi´a tri
.
riˆeng λ
1
= 1 l`a c´ac vecto
.
u(α
1
, −α
1
),
trong d´o α
1
=0l`at`uy ´y.
ii) Tu
.

.
cl`aξ
2
=2ξ
1
.D˘a
.
t ξ
1
= β ⇒ ξ
2
=2β.Vˆa
.
yhˆe
.
(I I) c´o nghiˆe
.
ml`a
ξ
1
= β, ξ
2
=2β.V`ı vecto
.
riˆeng kh´ac khˆong nˆen c´ac vecto
.
riˆeng ´u
.
ng
v´o

12
54

.
Gia
’
i. D
ath´u
.
cd˘a
.
c tru
.
ng cu
’
a ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i L
P (λ)=





1 −λ 2
54− λ



.
hai hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh

(1 −λ
i
)ξ
1
+2ξ
2
=0,
5ξ
1
+(4− λ
i
)ξ
2
=0,
i =1, 2.
V`ıd
i
.
nh th ´u
.
ccu

1
ξ
2
=
2
5
v`a do d´o ta c´o thˆe
’
lˆa
´
y vecto
.
riˆeng tu
.
o
.
ng ´u
.
ng l`a u =(2, 5) (ho˘a
.
cmo
.
i vecto
.
αu, α ∈ R,
α =0)
2
+
V´o
.

.
riˆeng v`a vecto
.
riˆeng cu
’
aph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i tuyˆe
´
n
t´ınh L trˆen R
3
v´o
.
i ma trˆa
.
n theo co
.
so
.
’
ch´ınh t˘a
´
cl`a
A =








1 −λ 14
2 −λ −4
−115−λ







= −λ
3
+6λ
2
−11λ +6
v`a
det(A −λE)=0⇐⇒



λ
1
=1,
λ
2
=2,

thuˆa
`
n nhˆa
´
t
(1 −λ)ξ
1
+ ξ
2
+4ξ
3
=0,
2ξ
1
− λξ
2
− 4ξ
3
=0,
−ξ
1
+ ξ
2
+(5− λ)ξ
3
=0.





⇒ nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at l`a (0, −4α, α), α =0t`uy ´y.
Vˆa
.
yv´o
.
i gi´a tri
.
riˆeng λ
1
= 1 ta c´o c´ac vecto
.
riˆeng ´u
.
ng v´o
.
in´ol`a
(0, −4α, α), α ∈ R, α =0.
2
+
Khi λ = 2 ta c´o
(∗) ⇒
−ξ
1
+ ξ
2
+4ξ

riˆeng ´u
.
ng
v´o
.
i λ =2l`a(β,β,0), β =0.
226 Chu
.
o
.
ng 5. Khˆong gian Euclide R
n
3
+
Khi λ = 3, thu
.
.
chiˆe
.
ntu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
o
.

i ma trˆa
.
n
A =



7 −12 6
10 −19 10
12 −24 13



.
Gia
’
i. Phu
.
o
.
ng tr`ınh d˘a
.
c tru
.
ng
P (λ)=





u
.
o
.
.
c x´ac d
i
.
nh
t`u
.
hai hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
(7 −λ
i
)ξ − 12η +6ζ =0,
10ξ −(19 + λ
i
)η +10ζ =0,
12ξ −24η + (13 − λ
i
)ζ =0; i =1, 2.
1
+
Khi λ = 1 ta c´o

.
o
.
ng du
.
o
.
ng v´o
.
imˆo
.
tphu
.
o
.
ng tr`ınh
ξ − 2η + ζ =0.
T`u
.
d´o suy r˘a
`
ng hˆe
.
c´o hai nghiˆe
.
mdˆo
.
clˆa
.
p tuyˆe

3
E)cu
’
ahˆe
.
b˘a
`
ng r = 2. Do d´ohˆe
.
tu
.
o
.
ng d
u
.
o
.
ng
v´o
.
ihˆe
.
hai phu
.
o
.
ng tr`ınh. Nghiˆe
.
m riˆeng cu

´
n t´ınh L tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i ma trˆa
.
nd´o.
Gia
’
i. Gia
’
su
.
’
x = ae
1
+ be
2
l`a vecto
.
t`uy ´y cu
’
am˘a
.
t ph˘a


= be
1
+ ae
2
.
Nhu
.
vˆa
.
y ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i L c´o t´ınh chˆa
´
t l`a: thay dˆo
’
i vai tr`o cu
’
a c´ac to
.
a
dˆo
.
cu
’
amˆo
˜

B
`
AI T
ˆ
A
.
P
Trong c´ac b`ai to´an (1 - 11) h˜ay ch´u
.
ng to
’
ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
id˜a c h o l `a
ph´ep bdtt v`a t`ım ma trˆa
.
ncu
’
ach´ung theo co
.
so
.
’
ch´ınh t˘a
´
c.
1. Ph´ep biˆe
´

ng hˆo
`
.
(DS. A
L
=

cos ϕ −sin ϕ
sin ϕ cos ϕ

)
228 Chu
.
o
.
ng 5. Khˆong gian Euclide R
n
2. Ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i L l`a ph´ep quay khˆong gian thu
.
.
cbachiˆe
`
umˆo
.
t g´oc ϕ
xung quanh tru

ng xOy.
(D
S.



100
010
000



)
4. Ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i L l`a t´ıch vecto
.
y =[a, x], trong d
´o a = a
1
x
1
+ a
2
x
2
+

2
a
1
0



)
Chı
’
dˆa
˜
n. Su
.
’
du
.
ng ph´ep biˆe
’
udiˆe
˜
n t´ıch vecto
.
du
.
´o
.
ida
.
ng di

(DS. E =






10 0
01 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
00 1






)
6. L l`a ph´ep biˆe

.
.
00 α






)
5.4. Ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i tuyˆe
´
n t´ınh 229
7. Ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i L c´o da
.
ng L(x)=x
2
e
1
+ x
3
e




0100
0010
0001
1000





)
8. Ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i L l`a ph´ep chiˆe
´
u vuˆong g´oc khˆong gian 3-chiˆe
`
ulˆen
tru
.
c∆lˆa
.
pv´o
.
i c´ac tru

3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3







)
Chı
’
dˆa
˜
n. Su
.
’

u R
3
theo phu
.
o
.
ng song song v´o
.
im˘a
.
t
ph˘a
’
ng vecto
.
e
2
,e
3
lˆen tru
.
cto
.
adˆo
.
cu
’
a vecto
.
e

ng th˘a
’
ng cho trong R
3
bo
.
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh x
1
= x
2
= x
3
.
(D
S. a)



001
100
010



nˆe

)
230 Chu
.
o
.
ng 5. Khˆong gian Euclide R
n
Trong c´ac b`ai to´an (12-22) cho hai co
.
so
.
’
(e):e
1
,e
2
, ,e
n
v`a
(E):E
1
, E
2
, ,E
n
cu
’
a khˆong gian R
n
v`a ma trˆa

.
ng ph´ap chung l`a: (i) t`ım ma trˆa
.
n chuyˆe
’
n T t`u
.
co
.
so
.
’
(e)dˆe
´
nco
.
so
.
’
(E); (ii) T`ım ma trˆa
.
n T
−1
; (iii) T`ım B
L
= T
−1
AT .
11. A
L

, E
1
= e
2
, E
2
= e
1
+ e
2
.(DS.

−23
1 −2

)
13. A
L
=

24
−33

, E
1
= e
2
− 2e
1
, E

.(DS.

56
−6 −8

)
15. A
L
=



0 −21
310
2 −11



, E
1
=3e
1
+ e
2
+2e
3
, E
2
=2e
1

15 −11 5
20 −15 8
8 −76



, E
1
=2e
1
+3e
2
+ e
3
, E
2
=3e
1
+4e
2
+ e
3
,
E
3
= e
1
+2e
2
+2e

− e
3
, E
2
=2e
1
−e
2
+2e
3
,
5.4. Ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i tuyˆe
´
n t´ınh 231
E
3
=3e
1
+ e
3
.(DS.



−211 7
−414 8

19. A
L
=

−14
50

, e
1
= E
1
+ E
2
, e
2
=2E
1
.(DS.

27
2 −3

)
20. A
L
=



12−3

−18 0
−210 2



)
21. A
L
=



2 −10
01−1
00 1



, e
1
=2E
1
+ E
2
−E
3
, e
2
=2E
1

3
→ R
3
ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i n`ao
l`a tuyˆe
´
n t´ınh (gia
’
thiˆe
´
t x =(x
1
,x
2
,x
3
) ∈ R
3
)
1) L(x
1
,x
2
,x
3
)=(x

;6x
1
+7x
2
+9x
3
;10,5x
1
+12x
2
+
13x
3
)
3) L(x
1
,x
2
,x
3
)=(x
2
+ x
3
,x
1
+ x
3
,x
1

, 3x
1
− x
2
+ x
3
).
6) L(x
1
,x
2
,x
3
)=(2x
1
+ x
2
,x
1
+ x
3
,x
2
3
).
7) L(x
1
,x
2
,x

.
c tru
.
ng cu
’
a ph´ep bdtt L
nˆe
´
u
1) L(e
1
)=2e
1
; L(e
2
)=5e
1
+3e
2
; L(e
3
)=3e
1
+4e
2
− 6e
3
, trong
d´o e
1

3
+5e
4
,
L(e
4
)=e
1
+7e
2
+4e
3
+6e
4
, trong d´o e
1
,e
2
,e
3
,e
4
l`a co
.
so
.
’
cu
’
a khˆong

l`a co
.
so
.
’
cu
’
a khˆong gian. (DS. λ
3
−6λ
2
+12λ =0)
24. Gia
’
su
.
’
trong co
.
so
.
’
e = {e
1
,e
2
} ph´ep bdtt L c´o ma trˆa
.
nl`a
A

c´o ma trˆa
.
n
A
L
∗
=

0 −2
11

.
T`ım ma trˆa
.
ncu
’
a c´ac ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i:
1) L + L
∗
trong co
.
so
.
’
e

)
25. Gia
’
su
.
’
trong co
.
so
.
’
e = {e
1
,e
2
,e
3
} ph´ep bdtt L c´o ma trˆa
.
n
A
L
=



20−2
11 0
30−1


−e
3
, E
3
= e
2
+e
3
ph´ep bdtt L
∗
c´o ma trˆa
.
n
A
L
∗
=



03 0
01−2
12 0



.
T`ım ma trˆa
.
ncu

so
.
’
E.(DS.



−2 −44
412−8
817−7



)
26. Gia
’
su
.
’
trong co
.
so
.
’
e = {e
1
,e
2
} ph´ep bdtt L c´o ma trˆa
.

L
∗
c´o ma trˆa
.
n
A
L
∗
=

3 −2
10

.
T`ım ma trˆa
.
ncu
’
a c´ac ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i
1) L◦L
∗
trong co
.
so
.

3

−1 −2
−74

)
234 Chu
.
o
.
ng 5. Khˆong gian Euclide R
n
4) L
∗
◦Ltrong co
.
so
.
’
E.(DS.
1
3

7 −10
1 −4

)
27. Gia
’
su

= {E
∗
1
, E
∗
2
},
E
∗
1
=(−6, −7), E
∗
2
=(−5, 6) ph´ep bdtt L
∗
c´o ma trˆa
.
nl`a

13
27

.T`ım
ma trˆa
.
ncu
’
a L◦L
∗
trong co

’
T
ea
, T
eb
v`a ´ap du
.
ng
cˆong th´u
.
c (5.22) dˆe
’
t`ım ma trˆa
.
n A
L
v`a A
L
∗
trong co
.
so
.
’
e.T`u
.
d´o
A
L◦L
∗

10
−21

; x
1
=

1
2

, x
2
=

0
3

, x
3
=

0
−1

.(DS. x
2
v`a x
3
)
29. A =

3
)
30. A =



002
200
020



; x
1
=



1
1
3



, x
2
=






; x
1
=



−1
2
0



, x
2
=



1
0
−3



, x
3
=


tco
.
so
.
’
n`ao d´obo
.
’
i ma trˆa
.
n A.
5.4. Ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i tuyˆe
´
n t´ınh 235
32. A =

24
−1 −3

.(DS.

4
−1

α,





12−2
10 3
13 0



.(D
S.



−2
1
1



α,



0
1
1




0
1



α,



0
1
0



β; α =0,β =0bˆa
´
tk`y)
36. Cho ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i tuyˆe
´
n t´ınh L : R
2
→ R
2
nhu

.
riˆeng cu
’
a ma trˆa
.
n
A =



2 −11
−12−1
001



(D
S. λ
1
= λ
2
=1,u =(α, α), α =0;λ
3
=3,v =(β,−β), β =0).
Chu
.
o
.
ng 6
Da

.
o
.
ng
Dath´u
.
cd˘a
’
ng cˆa
´
pbˆa
.
c hai cu
’
a c´ac biˆe
´
n x
1
,x
2
, ,x
n
du
.
o
.
.
cgo
.
i l`a da

n

i,j=1
a
ij
x
i
x
j
. (6.1)
D´ol`aph´ep tu
.
o
.
ng ´u
.
ng d˘a
.
ttu
.
o
.
ng ´u
.
ng mˆo
˜
i vecto
.
x =(x
1

x
2
.
.
.
x
n






,A=






a
11
a
12
a
1n
a
21
a
22

o
.
ng 237
th`ı thu du
.
o
.
.
c
ϕ(x
1
,x
2
, ,x
n
)=X
T
AX. (6.2)
D
-
i
.
nh l´y. Nˆe
´
u C l`a ma trˆa
.
ncu
’
aph´epbd
tt thu

o
.
.
c c´o ma trˆa
.
nl`aC
T
AC.
Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng da
.
ng
α
1
x
2
1
+ α
2
x
2
2
+ ···+ α
n
x

il`ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng ch´eo hay da
.
ng
ch´ınh t˘a
´
c.
Tiˆe
´
p theo ta tr`ınh b`ay nˆo
.
i dung cu
’
a c´ac phu
.
o
.
ng ph´ap du
.
ada
.
ng
to`an phu
.
o

iv´o
.
i c´ac biˆe
´
n x
1
, ,x
n
mo
.
ida
.
ng to`an phu
.
o
.
ng dˆe
`
udu
.
adu
.
o
.
.
cvˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a

kh´ac khˆong.
Khˆong gia
’
mtˆo
’
ng qu´at, c´o thˆe
’
cho r˘a
`
ng a
11
=0(nˆe
´
u khˆong th`ı
d
´anh sˆo
´
la
.
i). Khi d´ob˘a
`
ng ph´ep tr´ıch mˆo
.
tb`ınh phu
.
o
.
ng d
u
’

y
1
= λ
1
x
1
+ λ
2
x
2
+ ···+ λ
n
x
n
trong d´o λ
1
,λ
2
, ,λ
n
l`a c´ac h˘a
`
ng sˆo
´
, ϕ
2
(x
2
, ,x
n

.
n thuˆa
.
t to´an nhu
.
v`u
.
a tr`ınh b`ay,
238 Chu
.
o
.
ng 6. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
2
+
Tru
.
`o
.
ng ho

’
i tuyˆe
´
n t´ınh khˆong suy biˆe
´
n
x
j
= y
j
+ y
i
x
k
= y
k
,k = j
V´ı d u
.
1. D
u
.
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng
ϕ(x

ng ch´ınh t˘a
´
c.
Gia
’
i. Nh´om c´ac sˆo
´
ha
.
ng c´o ch´u
.
a x
1
th`anh mˆo
.
tcu
.
m v`a tr´ıch t`u
.
cu
.
md
´omˆo
.
tb`ınh phu
.
o
.
ng du
’

− (2x
2
+2x
3
)
2
+ x
2
2
+ x
2
3
+4x
2
x
3
=(x
1
+2x
2
+2x
3
)
2
−3x
2
2
− 3x
2
3

+
2
3
x
3
)
2
−
5
3
x
2
3
.
D`ung ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i tuyˆe
´
n t´ınh khˆong suy biˆe
´
n
y
1
= x
1
+2x
2

2
3
y
3
x
2
= y
2
−
2
3
y
3
x
3
= y
3
ta thu du
.
o
.
.
c
ϕ(·)=y
2
1
−3y
2
2
−

x
3
+4x
2
x
3
6.1. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng 239
vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c.
Gia
’
i. V`ı a
11
= a
22
= a
33
=0nˆen dˆa
`

x
1
= y
1
x
2
= y
1
+ y
2
x
3
= y
3





(6.4)
v`a thu d
u
.
o
.
.
c
ϕ(·)=y
1
(y

´
t ph´at t`u
.
da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng m´o
.
ithudu
.
o
.
.
c, tu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
trong
v´ıdu
.
1 ta c´o
ϕ(·)=

+
1
2
y
2
+3y
3

2
−
1
4
y
2
+ y
2
y
3
− 9y
3
.
Thu
.
.
chiˆe
.
n ph´ep biˆe
´
nd
ˆo

’
i ngu
.
o
.
.
c
y
1
= z
1
−
1
2
z
2
− 3z
3
,
y
2
= z
2
,
y
3
= z
3



240 Chu
.
o
.
ng 6. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
Nh´om c´ac sˆo
´
ha
.
ng c´o ch´u
.
a z
2
ta c´o
ϕ(·)=z
2
1
−
1
4

= z
2
− 2z
3
,
u
3
= z
3





⇒
z
1
= u
1
,
z
2
= u
2
+2u
3
,
z
3
= u

u
2
2
− 8u
2
3
.
Dˆe
’
t`ım ma trˆa
.
ncu
’
a ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
iho
.
.
p ta cˆa
`
n nhˆan c´ac ma trˆa
.
ncu
’
a
(6.4), (6.5) v`a (6.6). Ta c´o



=





1 −
1
2
−4
1
1
2
−2
00 1





= C.
Do ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i khˆong suy biˆe
´
ndu
.

− 2u
3
,
x
3
= u
3
.









D
ˆe
’
kiˆe
’
m tra ta t´ınh t´ıch C
T
AC.Tac´o
C
T
AC =










1 −
1
2
−4
1
1
2
−2
00 1





=




10 0
0 −
1
4

o
.
ng ph´ap Jacobi
Phu
.
o
.
ng ph´ap n`ay chı
’
´ap du
.
ng du
.
o
.
.
c khi mo
.
idi
.
nh th ´u
.
c con ch´ınh cu
’
a
ma trˆa
.
n A cu
’
ada






=0, ,∆
n
=










a
11
a
12
a
1n
a
21
a
22
a
2n

Cu
.
thˆe
’
ta c´o
D
-
i
.
nh l´y. Nˆe
´
uda
.
ng to`an phu
.
o
.
ng
ϕ(x
1
, ,x
n
)=
n

i,j=1
a
ij
x
i

n x
1
, ,x
n
dˆe
´
n c´ac biˆe
´
n
y
1
, ,y
n
sao cho
ϕ(·)=
∆
1
∆
0
y
2
1
+
∆
2
∆
1
y
2
2

y
3
+ ···+ α
n1
y
n
,
x
2
= y
2
+ α
32
y
3
+ ···+ α
n2
y
n
,

x
n
= y
n






j−1,i
∆
j−1
(6.9)
242 Chu
.
o
.
ng 6. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
o
.
’
dˆay ∆
j−1
l`a di
.
nh th´u
.
c con ch´ınh trong (6.7), c`on D
j−1,i

1, 2, ,i−1,i+1, ,j
V´ı d u
.
3. Du
.
ada
.
ng to`an phuwo
.
ng
ϕ(x
1
,x
2
,x
3
)=2x
2
1
+3x
2
2
+ x
2
3
− 4x
1
x
2
+2x

2 −21
−23−1
1 −11



v´o
.
ic´acdi
.
nh th ´u
.
c con ch´ınh
∆
1
=2, ∆
2
=2, ∆
3
=1.
Khi d´oda
.
ng to`an phu
.
o
.
ng d˜achodu
.
adu
.

.
ng d
˜a cho vˆe
`
da
.
ng (6.10).
N´o c´o da
.
ng
x
1
= y
1
+ α
21
y
2
+ α
31
y
3
,
x
2
= y
2
+ α
32
y

= −
−2
2
=1,
α
31
=(−1)
4
D
2,1
∆
2
=





−21
3 −1





2
= −
1
2
,

Nhu
.
vˆa
.
y
x
1
= y
1
+ y
2
−
1
2
y
3
,
x
2
= y
2
,
x
3
= y
3
.




1
x
3
+ x
2
2
+ x
2
3
vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c.
Gia
’
i. Ta c´o ma trˆa
.
ncu
’
a ϕ l`a
A =





2

3
= −
17
4
·
Khi d´o theo di
.
nh l´y Jacobi ta thu du
.
o
.
.
cda
.
ng ch´ınh t˘a
´
cl`a
ϕ(·)=2y
2
1
−
1
8
y
2
2
+17y
3
nh`o
.

3





244 Chu
.
o
.
ng 6. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
v´o
.
ic´achˆe
.
sˆo
´
du
.
o

α
31
=(−1)
4
D
2,1
∆
2
=






3
2
2
10






−
1
4
=8,
α

y ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
il`a
x
1
= y
1
−
3
4
y
2
+8y
3
,
x
2
= y
2
− 12y
3
,
x
3
= y
3


ng l`a ma trˆa
.
nd
ˆo
´
ix´u
.
ng, thu
.
.
cnˆen
b`ai to´an d
u
.
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c c´o thˆe
’
quy vˆe
`

ng |A − λE| = 0 l`a c´ac sˆo
´
d˘a
.
c tru
.
ng, c`on c´ac
vecto
.
riˆeng tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i c´ac sˆo
´
d
˘a
.
c tru
.
ng d
´o l`a c´ac hu
.
´o
.
ng ch´ınh cu

´
ix´u
.
ng l`a tru
.
.
c giao v´o
.
i nhau). M˘a
.
t
kh´ac v`ı A l`a ma trˆa
.
ndˆo
´
ix´u
.
ng thu
.
.
c nˆen n´o c´o n sˆo
´
d˘a
.
c tru
.
ng thu
.
.
c

.
.
cdu
’
n vecto
.
riˆeng dˆo
.
clˆa
.
p tuyˆe
´
n t´ınh. B˘a
`
ng ph´ep
tru
.
.
cchuˆa
’
nh´oatathudu
.
o
.
.
cmˆo
.
tco
.
so

.
.
cchuˆa
’
n(e)dˆe
´
nco
.
so
.
’
tru
.
.
cchuˆa
’
n(E)
lˆa
.
pnˆent`u
.
c´ac vecto
.
riˆeng cu
’
a ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
idˆo

vˆa
.
yd
ˆo
´
iv´o
.
imo
.
i ma trˆa
.
nd
ˆo
´
ix´u
.
ng thu
.
.
c A c´o thˆe
’
t`ım mˆo
.
t
ma trˆa
.
n tru
.
.
c giao T c`ung cˆa

i tru
.
.
c giao d
u
.
ada
.
ng to`an
phu
.
o
.
ng vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c.
1) Viˆe
´
t ma trˆa
.
n A cu
’
ada
.
ng to`an phu
.

’
i tru
.
.
c giao.
V´ı d u
.
5. Du
.
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng
ϕ(x
1
,x
2
)=27x
2
1
− 10x
1
x
2
+3x
2
3

o
.
ng tr`ınh d˘a
.
c tru
.
ng
|A −λE| =





27 − λ −5
−53− λ





=0⇔ λ
2
− 30λ +56=0.
Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh d˘a

o
.
.
t gia
’
ic´achˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
(27 − λ
i
)ξ
1
− 5ξ
2
=0,
−5ξ
1
+(3− λ
i
)ξ
2
=0
246 Chu
.
o
.

2
=0.
Do d´o ξ
2
=5ξ
1
.D˘a
.
t ξ
1
= α. Khi d´o ξ
2
=5α v`a do d´o vecto
.
riˆeng c´o
da
.
ng
u = αe
1
+5αe
2
.
b) Nˆe
´
u λ
2
= 28 th`ı ta gia
’
ihˆe

.
.
c vecto
.
riˆeng
v = −5βe
1
+ βe
2
.
T`u
.
d´othudu
.
o
.
.
c c´ac vecto
.
riˆeng chuˆa
’
n h´oa
E
1
=
1
√
26
e
1

.
.
c giao.
Tru
.
´o
.
chˆe
´
t ta lˆa
.
p ma trˆa
.
n chuyˆe
’
n T t`u
.
co
.
so
.
’
(e) sang co
.
so
.
’
(E)



.
.
c chuˆa
’
nnˆenT l`a ma trˆa
.
n tru
.
.
c
giao. N´o tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i tru
.
.
c giao cu
’
a c´ac biˆe
´

1
+
1
√
26
X

2
.
6.1. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng 247
T`u
.
d´o ta c´o
ϕ(·)=27

1
√
26
x

1
−
5
√

√
26
x

2

+3

5
√
26
x

1
+
1
√
26
x

2

2
=2x

1
2
+28x

2

.
ng trong co
.
so
.
’
tru
.
.
cchuˆa
’
n(E). Ta c´o
B = T
−1
AT = T
T
AT =

20
028

v`a do d
´o
ϕ(·)=2x

1
2
+28x

2

x
2
+4x
2
x
3
vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c.
Gia
’
i. 1
+
Lˆa
.
p v`a gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.

.
adˆo
.
c´ac vecto
.
riˆeng ta lˆa
`
nlu
.
o
.
.
t gia
’
ic´achˆe
.
phu
.
o
.
ng
tr`ınh
(3 −λ
i
)ξ
1
+2ξ
2
+0· ξ
3

2
= −1v`aλ
3
=5.