THI TH TON I HC - CAO NG HTTP://EBOOK.HERE.VN
NGY 8 THNG 6 - NM 2010

PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7 ủim)
Cõu I (2 ủim)
Cho hàm số
1
12

+
=
x
x
y
có đồ thị (C).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
2. Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B .
Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất

Cõu II (2 ủim) :
1. Gii h phng trỡnh:
2 2
2 2
12
12
x y x y
y x y

+ + =


4
1 2 1 2 1
x x m x x x x m
+ + =

Tỡm m ủ phng trỡnh cú mt nghim duy nht.

PHN RIấNG
(3 ủim): Thớ sinh ch lm mt trong hai phn (Phn 1 hoc phn 2)
1. Theo chng trỡnh chun
.
Cõu VI.a (2 ủim)
1. Cho

ABC cú ủnh A(1;2), ủng trung tuyn BM:
2 1 0
x y
+ + =
v phõn giỏc trong CD:

1 0
x y
+ =
. Vit phng trỡnh ủng thng BC.
2. Cho ủng thng (D) cú phng trỡnh:
2
2
2 2
x t
y t

cú phng trỡnh tham s
1 2
1
2
x t
y t
z t
= +


=


=

.Mt ủim M thay
ủi trờn ủng thng

, tỡm ủim M ủ chu vi tam giỏc MAB ủt giỏ tr nh nht.
Cõu VII.b (1 ủim) Cho a, b, c l ba cnh tam giỏc. Chng minh
1 1 2
2
3 3 2 3 3
b c
a
a b a c a b c a c a b

+ + + + <

+ + + + + +



=

+


=
xx
xx
y

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-; 1) và (1;+)
. Cực trị : Hàm số đ cho không có cực trị 0,25
. Tiệm cận:
=

+
=




1
12
limlim
1

1
12
limlim =

+
=


x
x
y
x
x

Vậy đờng thẳng y= 2 là tiệm cận ngang

0,25
* Bảng biến thiên:
x
-
1
+

y' - -
y 2
-


3
2;
0
0
x
x
(C)
* Tiếp tuyến tại M có dạng:
1
3
2)(
)1(
3
0
0
2
0

++


=
x
xx
x
y


63.212
1
6
2
1
0
0
==

x
x
(đvdt)

0,25

0,25

* IAB vuông có diện tích không đổi => chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA= IB
(HS tự chứng minh).




=
+=
=
0,5

Cõu í

Ni dung i
m
II 2,00
1 1,00
1)

CõuII:2. Gii phng trỡnh:
( )
(
)
3
sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3 cos sinx 3 3 0
x x c x c x x
+ + =
.
3)sincos.3(833cos36cos.32cos.sin6cos.sin2
033)sincos.3(82cos.33cos.32)3(cos2sin
232
3
+++
=++
xxxxxxxx

x
x
xx
xx
xxxx






=
+=
k
kx
kx
,
2
3


0,50
1 1,00

iu kin:
| | | |
x y


.
H phng trỡnh ủó cho cú dng:
0,25

2
12
12
2
u v
u u
v
v
+ =


 

− =
 

 

4
8
u
v

− =

⇔
 
=
+ =



(I)
+
2 2
3
3
9
9
u
x y
v
x y

=

− =

⇔
 
=
+ =


2 2
0 0
0
| 4 | 2 2
4 2 6 0
6
4 2 2 0
x x
x
x x x x
x x x x x
x
x x x x x
≥ ≥
 
=

 

 
− = ⇔ ⇔ ⇔ =
− = − =
 

 
 

=
− = − − =


∀ ∈ − ≤
nên
2 2
| 4 | 4
x x x x
− = − +
⇒

( )
2
2
0
4
4 2
3
I x x x dx
= − + − =
∫

0,25
Tính
( )
6
2
2
| 4 | 2
K x x x dx
= − −
∫


S = + =

1,00
IV 0,25
Gọi H, H’ là tâm của các tam giác ñều ABC, A’B’C’. Gọi I, I’ là trung ñiểm của AB,
A’B’. Ta có:
( ) ( ) ( )
' ' ' ' '
'
AB IC
AB CHH ABB A CII C
AB HH
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥


Suy ra hình cầu nội tiếp hình chóp cụt này tiếp xúc với hai ñáy tại H, H’ và tiếp xúc với
mặt bên (ABB’A’) tại ñiểm


Trong ñó:
2 2 2
2 2
4x 3 3 3r 3
3 6r 3; ' ; 2r
4 4 2
x
B x B h
= = = = = =

0,25

Từ ñó, ta có:
2 2 3
2 2
2r 3r 3 3r 3 21r . 3
6r 3 6r 3.
3 2 2 3
V
 
 
= + + =
 
 

0,25
VIa 2,00
1


∈ + + = ⇒ + + = ⇔ = − ⇒ −
 
 

0,25 0,25
Từ A(1;2), kẻ
: 1 0
AK CD x y
⊥ + − =
tại I (ñiểm
K BC
∈
).
Suy ra
(
)
(
)
: 1 2 0 1 0
AK x y x y
− − − = ⇔ − + =
.

Tọa ñộ ñiểm I thỏa hệ:
( )
1 0
0;1

Gọi (P) là mặt phẳng ñi qua ñường thẳng
∆
, thì
( ) //( )
P D
hoặc
( ) ( )
P D
⊃
. Gọi H là hình chiếu
vuông góc của I trên (P). Ta luôn có
IH IA
≤
và
IH AH
⊥
.
Mặt khác
( ) ( )
(
)
( )
(
)
( )
, ,
d D P d I P IH
H P

= =

r uur
, cùng phương với
(
)
2;0; 1
v
= −
r
.
Phương trình của mặt phẳng (P
0
) là:
(
)
(
)
2 4 1. 1 2x - z - 9 = 0
x z− − + =
.
VIIa
ðể ý rằng
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1 0

xy yz zx yz zx xy
x y z
yz xy z
z y
x
yz zx y xy z
z y
x
z y y z
 
+ + + + ≤ + + + + +
 
+ + + + + +
 
≤ + + +
+ +
 
= − − +
 
+ + +
 
 
≤ − − +
 
+ +
 
=
vv
1,00
Ta có:

Mặt khác:
D
. 4
ABC
S AB CH
= =
(CH: chiều cao)
4
5
CH⇒ =
.
0,25

Ngoài ra:
( )
( ) ( )
4 5 8 8 2
; , ;
| 6 4 | 4
3 3 3 3 3
;
5 5
0 1;0 , 0; 2
t C D
t
d C AB CH
t C D

   
= ⇒

Vì AB không ñổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất.
ðường thẳng
∆
có phương trình tham số:
1 2
1
2
x t
y t
z t
= − +


= −


=

.
ðiểm
M
∈∆
nên
(
)
1 2 ;1 ;2
M t t t
− + −
.
( ) ( ) ( ) ( )

u t=
r
và
(
)
3 6;2 5
v t= − +
r
.
Ta có
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
| | 3 2 5
| | 3 6 2 5
u t
v t

= +




= − +



ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
,
u v
r r
cùng hướng
3 2 5
1
3 6
2 5
t
t
t
⇔ = ⇔ =
− +

(
)
1;0;2
M⇒ và
(
)
min 2 29
AM BM+ = .
0,25
Vậy khi M(1;0;2) thì minP =
(
)
2 11 29
+

x y z
y z z x x y
+ +
= + +
+ + + +
= + +
+ + +

0,50

Ta có:
( ) ( )
2
2
z z
x y z z x y z z x y
x y z x y
+ > ⇔ + + < + ⇔ >
+ + +
.
Tương tự:
2 2
; .
x x y y
y z x y z z x x y z
< <
+ + + + + +

Do ñó:
(

+ − + − − − =
(1)
ðiều kiện :
0 1
x
≤ ≤

Nếu
[
]
0;1
x ∈
thỏa mãn (1) thì 1 – x cũng thỏa mãn (1) nên ñể (1) có nghiệm duy nhất thì cần có ñiều kiện
1
1
2
x x x
= − ⇒ =
. Thay
1
2
x
=
vào (1) ta ñược:
3
0
1 1
2. 2.
1
2 2

4
2 2
4 4
1 2 1 2 1 1
1 2 1 1 2 1 0
1 1 0
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
+ − − − − − = −
⇔ + − − − + + − − − =
⇔ − − + − − =

+ Với
4 4
1
1 0
2
x x x
− − = ⇔ =

+ Với
1
1 0
2
x x x
− − = ⇔ =

Trường hợp này, (1) cũng có nghiệm duy nhất.