ðẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN-TIN
ðỀ THI THỬ

ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC, CAO ðẲNG 2011
Môn thi : TOÁN - khối A.
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao ñề)

I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm)
Câu I (2,0 ñiểm).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số
3
1
x
y
x
−
=
+
.

2.
Viết phương trình ñường thẳng d ñi qua ñiểm
(
)
1;1
I −
và cắt ñồ thị (C) tại hai ñiểm M, N sao
cho I là trung ñiểm của ñoạn MN.
Câu II


.
Câu III
(2,0 ñiểm).

1.
Cho x, y là các số thực thoả mãn
2 2
4 3
x xy y .
+ + =

Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức:

3 3
8 9
M x y xy
= + − .2.
Chứng minh
( )
2 2 2
1
2
a b c
ab bc ca a b c
a b b c c a
+ + + + + ≥ + +

2;1
M
và
tạo với các trục tọa ñộ một tam giác có diện tích bằng
4
.
Câu VI.a (
2,0 ñiểm
)
.

1. Giải bất phương trình
(
)
(
)
2 2
2
1 log log 2 log 6
x x x
+ + + > −
.
2. Tìm m ñể hàm số
3 2 2
3( 1) 2( 7 2) 2 ( 2)
y x m x m m x m m
= − + + + + − +
có cực ñại và cực tiểu.
Viết phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm cực ñại và cực tiểu khi ñó.


Câu VI.b (
2,0 ñiểm
)
.

1. Giải hệ phương trình
2 2
1
2 3
x y
y x x y
+

+ = +


=


.

2. Tìm trên mặt phẳng tọa ñộ tập hợp tất cả các ñiểm mà từ ñó có thể kẻ ñược hai tiếp tuyến ñến ñồ
thị hàm số
2
2 2
1
x x
y
x
− +

Giới hạn và tiệm cận:
lim 1; lim 1 1
x x
y y y
→−∞ →+∞
= = ⇒ =
là TCN.

( ) ( )
1 1
lim ; lim 1
x x
y y x
− +
→ − → −
= +∞ = −∞ ⇒ = −
là TCð
0,25 ñ

( )
2
4
' 0,
1
y x D
x
= > ∀ ∈
+
.
•


ðồ thị: ðT cắt Ox tại (3;0), cắt Oy tại (0;-3) và ñối xứng qua
(
)
1;1
−
.
4
2
-2
-5 5
x = -1
y = 1
y
x
O
0,25 ñ
Gọi d là ñường thẳng qua I và có hệ số góc k

(
)
2
2 4 0
f x kx kx k
= + + + =
có 2 nghiệm PB khác
1
−

0,25 ñ
ðẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
======================================================================== Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952

2( )
0
4 0 0
1 4 0
k
k k
f

≠


2
2sin .cos 6sin .cos 2 3.cos 6 3cos 3 3 8( 3.cos sin )
3 3 0
2cos ( 3cos sin ) 6.cos ( 3cos sin ) 8( 3cos sin ) 0
x x x x x x x x
x x x x x x x x
⇔ + − − + + − − =
⇔− − − − + − =

.
0,50 ñ

2
2
( 3 cos sin )( 2cos 6cos 8) 0
tan 3
3 cos sin 0
cos 1
cos 3cos 4 0
cos 4( )
x x x x
x
x x
x
x x
x loai
⇔ − − − + =

=


= +

⇔ ∈ Ζ

=


0,25 ñ
Ta có :
2 2
9 3
x y xy
= ⇔ = ±
.
0,25 ñ
. Khi:
3
xy
=
, ta có:
3 3
4
x y
− =
và
(
)
3 3
. 27
x y

3
xy
= −
, ta có:
3 3
4
x y
− = −
và
(
)
3 3
. 27
x y
− =

Suy ra:
(
)
3 3
;
x y
− là nghiệm PT
2
4 27 0( )
X X PTVN
+ + =
0,25 ñ
Ta ñặt
2

= − − + + =
0,25 ñ
Câu III
(2,0ñ)

Ý 1
(1,0ñ)

•

Xét hàm f(t) với
2 30 2 30
5 5
t ;
 
∈ −
 
 
, ta ñược:
0,5 ñ
ðẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
======================================================================== Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952

3

( ) ( )
35 12 30 35 12 30

1
2
c
c ca
c a
≥ −
+
(3).
0,25 ñ
Ý 2
(1,0ñ)

Cộng (1), (2), (3), ta có:
( )
2 2 2
1
2
a b c
ab bc ca a b c
a b b c c a
+ + + + + ≥ + +
+ + +

0,25 ñ
Gọi M là trung ñiểm BC, hạ AH vuông góc với A’M
Ta có: ( ' )
'
BC AM
BC AA M BC AH
BC AA

3
. ' ' '
3 2
16
ABC A B C
a
V = .
0,25 ñ
Gọi d là ðT cần tìm và
(
)
(
)
;0 , 0;
A a B b
là giao ñiểm của d với Ox,
Oy, suy ra:
: 1
x y
d
a b
+ =
. Theo giả thiết, ta có:
2 1
1, 8
ab
a b
+ = =
.
0,25 ñ

(
)
(
)
2
2 2 2 : 1 2 2 1 2 4 0
b d x y
= − + ⇒ − + + − =

0,25 ñ
Câu Va
(1,0ñ)

Với
(
)
(
)
3
2 2 2 : 1 2 2 1 2 4 0
b d x y
= − − ⇒ + + − + =
. KL
0,25 ñ
ðK:
0 6
x
< <
. BPT
(

So sánh với ñiều kiện. KL: Nghiệm BPT là
2 6
x
< <
.
0,25 ñ
Ta có
2 2
' 3 6( 1) 2( 7 2)
y x m x m m
= − + + + +

0,25 ñ
Câu VIa

(2,0ñ)

Ý 2
(1,0ñ) HS có Cð, CT khi phương trình
2 2
3 6( 1) 2( 7 2) 0
x m x m m
− + + + + =
có
hai nghiệm phân biệt. Hay
4 17
m < − hoặc

y y x q x r x
=

⇒ =

= +
Vậy phương trình ñường thẳng cần tìn là
2 3 2
2 2
( 8 1) ( 5 3 2)
3 3
y m m x m m m
= − − − + + + +

0,25ñ
PTCT elip có dạng:
2 2
2 2
1( 0)
x y
a b
a b
+ = > >0,25 ñ
Ta có:

4
a
=
. KL:
2 2
1
4 1
x y
+ =

0,25 ñ

(
)
(
)
2 2
1 0 , 1
y x x y y x y x y x y x
+ = + ⇔ − + − = ⇔ = = −
.
0,50 ñ
Khi:
1
y x
= −
thì
2
6
2 3 6 9 log 9


Gọi M(a;b) là một ñiểm thoả mãn ñề bài. Khi ñó ñường thẳng qua M
có dạng
( )
y k x a b
= − + Sử dụng ñiều kiện tiếp xúc cho ta hệ
2
1
1
1 ( )
1 ( ) (1)
1
1
1
1
1 (*)
1 ( 1) (2)
( 1)
1
x k x a b
x k x a b
x
x
k
x k x
x
x

−Kết hợp với (*) cho ta
[ ]
2
2 2 2
1
1
(1 )
( 1) 2 (1 ) 2 4 0
1
2
k
k
k a b
a k a b k b
k
≠

≠

 
⇔
 
− +
 
− + − + + − =
− =



5

Hay
[ ]
2
2 2
2
2 2
1 0
1
4
1 ( 1) 4
( 1)
1 0
( 1) 2 (1 ) 2 4 0
a
a
b
a b
a
a b
a a b b

− ≠
≠


−
