SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ THI KHẢO SÁT ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2010-2
011
TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC
MÔN TOÁN 12 - KHỐI A -LẦN 3
Thời gian 180 phút ( không kể giao đề )
PHẦN A : DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THI SINH .(
7,0 điểm
)
Câu I:(2,0 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x
3
– 3x
2
+ 2
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
2
2 2
1
m
x x
x
Câu II
(2,0 điểm ) 1) Giải phương trình :
5
0
4
ln
4
x
I x dx
x
Câu IV
:( 1,0 điểm ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a ,tam giác
SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC).Hai mặt phẳng (SCA) và
(SCB) hợp với nhau một góc bằng
0
60
.Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a .
Câu V
:(1,0 điểm ) Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn :2x+3y+z=40.Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
2 2 2
2 1 3 16 36
S x y z
A 1; 3;0 ,B 5; 1; 2 .
Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho
MA MB
đạt giá
trị lớn nhất.
Câu VII.a
(1,0 điểm): Tìm số nguyên dương n thoả mãn đẳng thức :
0 1 2 3 n
n n n n n
1 1 1 1 1023
C C C C C
2 3 4 n 1 10
PHẦN 2 ( Dành cho học sinh học chương trình nâng cao )
Câu VI.b
1. (1.0 điểm
) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD
có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng
03:
1
yxd
z t
Viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của d
1
và d
2CâuVII.b
( 1,0 điểm) Tính tổng:
2 1 2 2 2 3 2 2010 2 2011
2011 2011 2011 2011 2011
1 2 3 2010 2011 S C C C C C…………………………………….…….Hết Trường thpt Chuyên Vĩnh Phúc
kú thi khẢo SÁT ®¹i häc n¨m 2011
Môn Toán 12 -Khối
A
Sự biến thiên:
2
3 6
y' x x.
Ta có
0
0
2
x
y'
x
,
y 0 x 0 x 2
h/s đồng biến trên các khoảng
;0 & 2;
3 2
lim y lim x 1
x x
0,25
Bảng biến thiên:
x
0 2
y'
0
0
y
f(x)=(x^3)-3*(x)^2+2
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
y
2
Biện luận số nghiệm của phương trình
2
m
x 2x 2
x 1
theo tham số m.
1,00
Ta có
2 2
2
1
2 2 1
1
f x khi x
y x x x
f x khi x
nờn
C'
bao gồm:
+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng
1
x .
+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng
1
x
qua Ox.
0,25
Đồ thị đường thẳng y=m song song với trục ox
Dựa vào đồ thị ta có:
+
2
m :
Phương trình vô nghiệm;
+
2
m :
Phương trình có 2 nghiệm kép
+
2 0
m :
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt;
+
0
m :
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
5 5
2 sin 2 sin 1
12 12
x
0.255 5 1 5 5
sin 2 sin sin sin 2 sin sin
12 12 4 12 4 12
2
2cos sin sin
3 12 12
x x
0,50
2
Giải hệ phương trình:
2 8
2 2 2 2
log 3log ( 2)
1 3
x y x y
x y x y
v x y
ta có hệ:
2 2 2 2
2 ( ) 2 4
2 2
3 3
2 2
u v u v u v uv
u v u v
uv uv
0,25đ
4
uv
u v
u v
(vì u>v). Từ đó ta có: x =2; y
=2.(T/m)
KL: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y)=(2; 2).
0,25đ
III
Tính tích phân:
1
2
3
2
0
4
ln
4
0,50
Do đó
1
1
2
4
2
AK SC SC AKB
SC KB
0
SAC ; SBC KA;KB 60
0 0
AKB 60 AKB 120
Nếu
0
AKB 60
thì dễ thấy
KAB
đều
thay
a
KH
2 3
0,25
0,25
0,25
và
a 3
HC
2
vào ta được
a 6
SH
2 2
2 2 2 2
2 2 3 12 6
S x y z
Trong hệ toạ độ OXY xét 3 véc
tơ
a 2x;2 ,b 3y;4 ,c z;6
,
a b c 2x 3y z;2 12 6 40;20
2 2 2
2 2 2
a 2x 2 , b 3y 12 , c z 6
x 2,y 8,z 12
thì
S 20 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng
20 5
đạt được khi :
x 2,y 8,z 12
0,25
0,25 0,25
0,25
VIA
.Mặt khác A,C nằm về 2 phía của đường thẳng DM
nên chỉ có A
1;5
thoả mãn.
Gọi D
m;m 2
DM
thì
AD m 1;m 7 ,CD m 3;m 1
Do ABCD là hình vuông
2 2 2 2
m 5 m 1
DA.DC 0
m 1 m 7 m 3 m 1
DA DC
1;5
,
B 3; 1
, D
5;3
0,25 0,25
0,25 0,25
'
B
đối xứng với B qua (P)
'
B 1; 3;4
.
' '
MA MB MA MB AB
Đẳng thức xẩy ra khi
'
M,A,B
thẳng hàng
'
M P AB
.Mặt khác phương trình
'
x 1 t
AB : y 3
z 2t
0,25
0,25
0,25
VII
A
Tìm số nguyên dương n thoả mãn đẳng thức :
0 1 2 3 n
n n n n n
1 1 1 1 1023
C C C C C
2 3 4 n 1 10
1,00
Xét khai triển:
n 1
0 1 2 3 n
n n n n n
2 1 1 1 1 1 1023
C C C C C
n 1 2 3 4 n 1 n 1
n 1 n 1 10
2 1 1023 2 1024 2 n 1 10 n 9
vậy
n 9
2/3y
2/9x
06yx
03yx
. Vậy
2
3
;
2
9
I
Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M là trung điểm cạnh AD
OxdM
1
Suy ra M( 3; 0)
Theo giả thiết:
22
23
12
AB
S
AD12AD.ABS
ABCD
ABCD
Vì I và M cùng thuộc đường thẳng d
1
ADd
1
0,25đ
Đường thẳng AD đi qua M ( 3; 0) và vuông góc với d
1
nhận
)1;1(n
13x
x3y
2)x3(3x
3xy
2y3x
3xy
2
2
2
2
3
;
2
9
I
là trung điểm của AC suy ra:
213yy2y
729xx2x
AIC
AIC
Tương tự I cũng là trung điểm của BD nên ta có B( 5; 4)
Vậy toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1)
0,25đ
2
phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của d
1
và d
2
1,00
= - 10
0Vậy d
1
chéo d
2
0,25đ Gọi A(2 + t; 1 – t; 2t)
d
1
B(2 – 2t’; 3; t’)
d
21
2
. 0
. 0
AB u
AB u
; B (2; 3; 0)
Đường thẳng
qua hai điểm A, B là đường vuông góc chung của d
1
và d
2
.
Ta có
:
2
3 5
2
x t
y t
z t
2011
0 1 2 2 3 3 2011 2011
2011 2011 2011 2011 2011
1 x C C x C x C x C x
(1)
Lấy đạo hàm hai vế
1
ta được:
2010
1 2 2 3 2010 2011
2011 2011 2011 2011
2011 1 x C 2xC 3x C 2011x C
nhân hai vế với x ta được:
2010
1 2 2 3 3 2011 2011
2011 2011 2011 2011
2011x 1 x xC 2x C 3x C 2011x C
Thay x=1 vào hai vế của (3) ta được:
2010 2009 2 1 2 2 2 3 2 2011
2011 2011 2011 2011
2011 2 2010.2 1 C 2 C 3 C 2011 C
Vậy S=2011.2012.
2009
20,25 0,25
Copyright: Tài liệu đại học ©