KỸ THUẬT SIÊU CAO TẦN
Chương 3
MA TRẬN TÁN XẠ
Khái niệm

Với các mạch ñiện hoạt ñộng tại tần số thấp (là tần
số mà tại ñó,kích thước của mạch ñiện rất nhỏ so với
bước sóng lan truyền),chúng thường ñược coi như là
các phần tử thông số tập trung và tại bất kỳ ñiểm
nào của mạch ñiện,ta có thể xác ñịnh ñược ñiện áp
và ñòng ñiện.

Giữa các ñiểm ñấu nối chung,không có sự lệch pha
ñáng kể của sóng.
Khái niệm

Với các mạch ñiện hoạt ñộng tại tần số siêu cao (kích
thước của mạch ñiện so sánh ñược với bước sóng),ta
không thể sử dụng cách giải ñơn giản như vậy.

Phương pháp giải trực tiếp từ hệ phương trình
maxwell là phương pháp tổng quát và hoàn chỉnh
nhất,áp dụng cho mọi cấu trúc,mọi tần số,và tìm
ñược ñiện trường và từ trường tại mọi ñiểm trong
không gian.
Khái niệm

Tuy nhiên,việc giải trực tiếp từ hệ phương trình
maxwell lại không ñơn giản và không phải lúc nào
cũng thực hiện ñược.


cửa (tượng trưng cho một phần của mạch ñiện) ñặt
trong mạch ñiện sẽ ñược coi như một phần tử dã
ñược xác ñịnh (bởi ma trận ñặc tính) , và ta dễ dàng
áp dụng các ñịnh luật kirchhoff ñể giải tích mạch như
các phương pháp thông thường.
Khái niệm

Một mạng n cửa ñược ñánh số từ cửa 1 ñến cửa n. Tại
mỗi cửa j , có một nguồn tín hiệu E
J
và một nội trở
nguồn Z
oJ
(ñược chọn làm trở kháng chuẩn cho cửa j ñó)
Khái niệm

ðiện áp và dòng ñiện tại ngõ vào cửa j bất kỳ là tổng của
sóng tới và sóng phản xạ:
•
V
j
= V
ij
+ V
rj
•
I
j
= I
ij

L
=
L
L
ZZ
Z
EV
+
=
0
L
ZZ
E
I
+
=
0
Ma trận tán xạ - các hệ số
Dẫn dắt ban ñầu

Ở vùng tần số siêu cao, ñiện áp và dòng ñiện tại bất kì ñiểm nào
cũng ñều ñược coi là tổng của 1 sóng tới và 1 sóng phản xạ.

Dòng ñiện sóng tới ñược ñịnh nghĩa là dòng ñiện trong mạch khi
có sự phối hợp trở kháng

ðiện áp sóng tới ñược tính khi có sự
phối hợp trở kháng:
0
*

=
Ma trận tán xạ - các hệ số
Dẫn dắt ban ñầu

Sóng phản xạ ñiện áp là
ir
VVV −=
i
L
L
r
V
ZZ
ZZ
Z
Z
V
+
−
=
0
*
0
*
0
0
Ma trận tán xạ - các hệ số
Dẫn dắt ban ñầu

Tương tự, sóng phản xạ dòng ñiện là:

L
i
r
v
ZZ
ZZ
Z
Z
V
V
S
+
−
=
=
0
*
0
*
0
0
i
r
i
I
I
S =
L
L
ZZ

rr
IZV
0
=
Ma trận tán xạ - các hệ số
Dẫn dắt ban ñầu

Cho mạng n cửa. Xét cửa thứ j

Tại cửa j gồm nguồn E
j
, nội trở R
0j
, V
ij
,V
rj
, I
ij
, I
rj
là hiệu ñiện
thế tới/về và cường ñộ dòng ñiện tới/về.

V
j
, I
j
là hiệu ñiện thế và cường ñộ dòng ñiện tại ngõ vào
bằng tổng của sóng tới và sóng phản xạ:











=
in
i
i
i
V
V
V
V
.
.
.
2
1
[ ]


























=
in
i
i
i
I
I
I
I
.

I
I
I
I
.
.
.
2
1
Ma trận tán xạ - các hệ số
Dẫn dắt ban ñầu
[
]
[
]
[
]
ri
VVV +=
[
]
[
]
[
]
ri
III −=
[
]
[

[
]
iir
ISI =
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]

Trong lĩnh vực siêu cao tần, việc sử dụng các ñại
lượng ñiện áp và dòng ñiện tại ngõ vào ñể mô tả
sóng tới và sóng phản xạ chỉ có ý nghĩa về mặt lý
thuyết chứ không giúp ích cụ thể trong thực nghiệm.
Vì:

Không thể ño ñạc chính xác giá trị ñiện áp và dòng ñiện tại
các ñiểm trong mạng,

ðại lượng có thể ño ñạc duy nhất là công suất của sóng.
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]

Ma trận tán xạ [S] ( Scattering Matrix) của một
mạng n cửa ñược xây dựng từ quan hệ của các ñại
lượng
[a] và [b] liên quan ñến công suất sóng tới
và sóng về (khác với sóng phản xạ).

Với mạng n cửa , tại mỗi cửa thứ j ñều có một thành
phần sóng tới a
j
( sóng ñi vào cửa) và một thành phần

[Z
o
] là ma trận trở kháng chuẩn ñược ñịnh nghĩa ở phần trước.

[I
i
], [I
r
] là các ñại lượng dòng ñiện sóng tới và sóng phản xạ ñược
biễu diễn dưới dạng ma trận các vectơ cột n phần tử.
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
[ ]
















=

.
.
b
b
b
b
[ ]
[ ]
[
]
( )
[ ]
i
I
ZZ
a
2
2
1
*
00
+
=
[ ]
[ ]
[
]
( )
[ ]
r

i
IRa
2
1
0
=
[ ] [ ] [ ]
r
IRb
2
1
0
=
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]

Ma trận [S] biểu diễn quan hệ giữa các ñại lượng
sóng tới và sóng về tại các cửa.

Biết ñược các thông số của ma trận [S] có nghĩa là

Biết ñược ñặc tính hoạt ñộng của mạng n cửa.

Tính ñược các công suất sóng ra khi ñã biết ñược các
công suất sóng ñưa vào.

Không cần biết ñến cấu trúc mạch ñiện bên trong của
mạng n cửa.
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]

=
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]

Ta còn có thể tính [S] từ các ma trận hệ số phản xạ ñiện áp
[S
v
] ñược ñịnh nghĩa ở phần trước
[
]
[
]
[
]
[
]
1/2 1/2
. .
o v o
S R S R
−
=
[ ] [ ]
.
ol
kl vkl
ok
R
S S
R

Mặt khác các ñại lượng ño ñược lại là ñiện áp V
j
và
dòng ñiện I
j
tại mỗi cửa j.
Trong ñó V
j
, I
j
lần lượt là tổng của một sóng tới và
sóng về.
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
Liên hệ giữa sóng tới và sóng về với ñiện áp và dòng ñiện

Xét tại cửa thứ j của mạng n cửa
rjijj
VVV +=
rjijj
III −=
ijjij
IZV
*
0
=
rjjrj
IZV
0
=

Liên hệ giữa sóng tới và sóng về với ñiện áp và dòng ñiện

ðể tìm quan hệ giữa sóng về b
j
với V
j
và I
j
, ta lại tính
j
jjj
rjjj
R
IZV
IRb
0
*
0
0
2
.
−
=
=
j
j
jj
j
j
jj

(*)
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
Liên hệ giữa sóng tới và sóng về với ñiện áp và dòng ñiện

Nếu Z
0j
là ñiện trở thuần ( ) thì

ðiện áp chuẩn hóa v
j
tại cửa thứ j

Dòng ñiện chuẩn hóa i
j
tại cửa thứ j

Do ñó từ (*) ta suy ra
j
j
jj
R
V
ba
0
=+
jj
RZ
00
≡

Ý nghĩa các ñại lượng [a] và [b]

Xét tại cửa thứ j của mạng n cửa như hình, ta có công
suất trung bình P
j
ñược truyền vào phía trong của cửa j là
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
Ý nghĩa các ñại lượng [a] và [b]

Xét tại cửa thứ j của mạng n cửa như hình, ta có công
suất trung bình P
j
ñược truyền vào phía trong của cửa j là
->

Trong ñó

tượng trưng cho công suất sóng tới P
ij
của cửa j

tượng trưng cho công suất sóng về P
rj
của cửa j

Như vậy, 1 phần công suất tới sẽ phản xạ ngược ra khỏi cửa j, chỉ
1 phần công suất tới truyền vào phía trong mạng n cửa.
{
}


P
j
dương thì công suất của nguồn ñược truyền vào mạng

P
j
âm thì nguồn nhận công suất phát ra từ mạng tại cửa j.

Nếu mạng n cửa là
thụ ñộng và không tổn hao
, tổng các
công suất truyền vào phía trong mạng phải bằng 0 (ñịnh
luật bảo toàn công suất).
{
}
2 2
1
0
n
j j
j
a b
=
− =
∑
[
]
[
]

Ma trận tán xạ [S]
ðặc tính của ma trận tán xạ [S]
ðịnh lý
Kronecker
Kronecker:

Ngoài tính chất ñối xứng, các hệ số S
kl
của ma trận của
mạng n cửa không tổn hao còn phải thỏa mãn ñịnh lý
Kronecker:
ij
n
k
kj
ik
SS
δ
=
∑
=1
*
.
* *
[ ] .[ ] [ ].[ ] [ ]
S S S S U
= =
1;
;
ij

ðặc tính của ma trận tán xạ [S]

ðịnh lý
Kronecker
Kronecker cho phép ta giảm ẩn số tương ñương của
các hệ số S
kl
của ma trận [S].

Ví dụ ta xét mạng hai cửa không tổn hao và thuận nghịch:


ðịnh lý
Kronecker
Kronecker cho phép ta biến ñổi thành 4 phương trình:
11 12
21 22
[ ]
S S
S
S S
 
=
 
 
21 11 22 12
0
S S S S
∗ ∗
+ =

22
là góc pha của số phức S
11
và S
22
11 22
S S q
= =
0 1
q
≤ ≤
11
11
22
22
j
j
S qe
S qe
ϕ
ϕ

=

=

Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
ðặc tính của ma trận tán xạ [S]
Ma trận tán xạ [S] của mạng 2 cửa có dạng

2
12 21
1 .
j
S S q e
θ
= = −
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
Ý nghĩa vật lý của các hệ số S
kl
của ma trận [S]
Xét một mạng hai cửa thụ ñộng không tổn hao và thuận nghịch
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
Ý nghĩa vật lý của các hệ số S
kl
của ma trận [S]

Sóng tới tại cửa j:

Sóng về tại cửa j:
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
Ý nghĩa vật lý của các hệ số S
kl
của ma trận [S]
Ý nghĩa của S
11
:

kháng chuẩn là R
01
và trở kháng nhìn vào cửa 1 là Z
11
, trong
ñiều kiện cửa 2 không có nguồn E
2
(E
2
= 0) và ñược kết
thúc bởi tải R
02
phối hợp.
0
2
1
1
11
=
=
a
a
b
S
0111
0111
11
RZ
RZ
S

11
S
0
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
11
== akhi
a
b
S
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
Ý nghĩa vật lý của các hệ số S
kl
của ma trận [S]
Ý nghĩa của S
22
:

S
22
chính là hệ số phản xạ ñiện áp tại cửa vào 2 với trở

+
−
=
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
Ý nghĩa vật lý của các hệ số S
kl
của ma trận [S]
tượng trưng cho hệ số phản xạ công suất tại cửa 2.
2
22
S
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
Ý nghĩa vật lý của các hệ số S
kl
của ma trận [S]
Ý nghĩa của S
21
:
Hệ số
S
21
: thể hiện hệ số truyền ñạt từ cửa 1 sang cửa 2
0
2
1
2
21
=

a
a
b
S
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
Ý nghĩa vật lý của các hệ số S
kl
của ma trận [S]
Ý nghĩa của S
21
:

tượng trưng cho tỉ số giửa công suất tín hiệu ra khỏi
cửa 2 ñể ñến tải R
02
với công suất tín hiệu ñến tại cửa 1.
ñược gọi là
h
h
ệ
ệ
s
s
ố
ố
truy
truy
ề
ề

a 2.
a 2.
2
21
S
2
1
2
2
0
2
1
2
2
2
21
2
1
2
1
2
a
b
a
b
S
a
==
=
Ma trận tán xạ - các hệ số

1
2
11
2
21
=+ SS
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
Ý nghĩa vật lý của các hệ số S
kl
của ma trận [S]
Ý nghĩa của S
12
:

S
12
là tỉ số giữa sóng ra tại cửa 1 khi ñặt sóng tới tại
cửa 2 trong ñiều kiện không có sóng tới tại cửa 1
(nguồn E
1
= 0 và cửa 1 ñược kết thúc bởi tải R
01
phối
hợp)

tượng trưng cho tỉ số giửa công suất tín hiệu ra
khỏi cửa 1 ñể ñến tải R
01
với công suất tín hiệu ñến tại

ử
a 2
a 2
ñ
ñ
ế
ế
n c
n c
ử
ử
a 1.
a 1.
0
1
2
1
12
=
=
a
a
b
S
2
12
S
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]
Ý nghĩa vật lý của các hệ số S

1
, nội trở R
01
,
trở kháng nhìn vào cửa 1 có giá trị Z
11
.
Cửa 2 gồm nguồn E
2
, nội trở R
02
,
trở kháng nhìn vào cửa 2 có giá trị Z
22
. Cho

Z
1
=(50-j75) Ὠ

Z
2
=(60+j50) Ὠ

Z
3
=(20-j25) Ὠ.
Xác ñịnh ma trận [S]
Ma trận tán xạ - các hệ số
Ma trận tán xạ [S]

ñược ma trận [S] chung của toàn hệ thống
.
Liên quan ma trận tán xạ và các ma trận
ñặc tính khác

Tiếp theo, ngoài ma trận [S], chúng ta lần lượt
xem xét một số dạng ma trận khác

Biểu diễn ñược ñặc tính của mạng nhiều cửa

Mỗi dạng có ưu nhược ñiểm và công dụng riêng

Mối liên quan giữa chúng với ma trận [S]

Có thể chuyển hóa dạng biểu diễn và tính toán dễ dàng.
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác
Ma trận trở kháng

Từ các vectơ ñiện áp [V] và vectơ dòng ñiện [I] của mạng n
cửa, ma trận trở kháng [Z], cũng là một ma trận ñặc tính của
mạng, ñược ñịnh nghĩa như sau:
[V] = [Z].[I]

[Z] – là ma trận phức nxn (Ohms)

Tuy nhiên ñể tổng quát hóa phép biểu diễn, các ñại lượng vectơ
ñiện áp và vectơ dòng ñiện phải là các ñại lượng chuẩn hóa
theo ñiện trở chuẩn tại các cửa,
[v] = [R


3
.
.
0
n
R
R
R
R
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
 
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác
Ma trận trở kháng

[v] = [z].[i]

[V] = [R
0
]

và sóng về [b].
[v] = [a] + [b]
[i] = [a] – [b]
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác
Ma trận trở kháng

[U] là ma trận ñơn vị bậc n.
[S] = ([z] + [U])
-1
.([z] – [U])
[z] = ([U] + [S]). ([U] – [S])
-1

Biểu thức trên thể hiện mối liên quan thuận nghịch
giữa ma trận tán xạ [S] mà ma trận trở kháng chuẩn
hóa [z] của mạng nhiều cửa.
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác
Ma trận trở kháng

Việc sử dụng ma trận trở kháng [z] sẽ rất thuận lợi trong
trường hợp các cửa của mạng nhiều cửa ñược mắc nối tiếp
nhau.

Ma trận trở kháng của các mạng 2 cửa thành phần lần lượt
là [z
a
] và [z
b

-1/2
= [G
0
]
1/2
[y][G
0
]
1/2

Trong ñó : [G
0
] = [R
0
]
-1
là ma trận ñường chéo nxn, tượng
trưng cho ñiện dẫn chuẩn tại các cửa của mạng.
[y] = [R
0
]
1/2
[Y][R
0
]
1/2
= [G
0
]
-1/2

[y] = [y
a
a
] + [y
] + [y
b
b
]
]
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác
Ma trận truyền ñạt

Ma trận truyền ñạt [T] (
Transfer Matrix
) ñược ñịnh nghĩa cho
mạng 2 cửa.
Các sóng tới và về tại các cửa vẫn là sóng a và b, nhưng trong
hệ phương trình ñặc tính chúng ñược xếp thứ tự khác với hệ
phương trình của ma trận
[S]
b
2
= T
11
a
1
+ T
12
b

 
 
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác
Ma trận truyền ñạt

Như vậy so sánh với ñịnh nghĩa của ma trận [S], viết lại dưới
ñây ở dạng tường minh cho mạng 2 cửa :
1 11 12 1
2 21 22 2
S
S
b S a
b S a
     
=
     
     
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác
Ma trận truyền ñạt
( )
( )
21
1 1 2
22 22
11 22 12 21 12
2 1 22
22 22
1

=
−
 
 
 
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác
Ma trận truyền ñạt

Nếu mạng 2 cửa có tính thuận nghịch (
reciprocity
) thì [S] ñối
xứng (S
12
= S
21
) ,
do ñó, ñiều kiện của
[T] là : T
11
T
22
– T
12
T
21
= 1
Ta cũng có quan hệ giữa
[T] và [S] :
[ ]

Ma trận truyền ñạt

Mạng 2 cửa thứ nhất và thứ 2 lần lượt ñược biểu diễn bằng ma
trận tán xạ
[S
A
] và [S
B
] hoặc ma trận truyền ñạt [T
A
] và [T
B
] .

Ở ñây ñể tính ma trận tán xạ tổng [S], ta không thể suy ra trực
tiếp từ
[S
A
] và [S
B
] .

Trong khi ñó, nếu dùng cách biểu diễn qua ma trận [T
A
] và [T
B
]
a
2A
≡ b

s s s
s s
D
= +
12 12
12
.
A B
s s
S
D
=
21 21
21
.
A B
s s
S
D
=
12 21 22
22 22
B B B
B
s s s
s s
D
= +
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác

Ma trận ABCD ñược ñịnh nghĩa theo quan hệ sau
1 2
1 2
B
.
D
V V
A
I C I
   
 
=
   
 
 
   
Liên quan ma trận tán xạ và
các ma trận ñặc tính khác
Ma trận ABCD

Nhờ ñặc tính truyền ñạt trên, ma trận ABCD ñược áp dụng
hữu hiệu cho hệ thống gồm nhiều mạng hai cửa liên tiếp
nhau (cascode), như hình .

Nếu gọi ABCD
a
, ABCD
b
,…,ABCD
k

o1
, Z
o2
lần lượt là trở kháng chuẩn ñược chọn cho
cửa 1 và cửa 2 ñối với ma trận [S], và :

Chú ý rằng khi S
21
= 0 thì các ñại lượng A, B, C, D ñểu không
xác ñịnh.

Tuy nhiên, trong thực tế, hệ số S
21
tượng trưng cho hệ số
truyền tín hiệu từ cửa 1 ñến cửa 2 thường khác 0 ở các tần số
siêu cao.
(
)
(
)
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
11 22 01 0 2 21
11 22 01 02 21
11 22 21 01 02
11 22 02 01 21

02 01 02 01
11
02 01 02 01
01 02
12
02 01 02 01
01 02
21
02 0

48
2

49
2
AZ B CZ Z DZ
S
AZ B CZ Z DZ
AD BC Z Z
S
AZ B CZ Z DZ
Z Z
S
AZ B CZ
+ − −
=
+ + +
−
=
+ + +