CHƯƠNG 1
TÍN HIỆU SỐ VÀ HỆ XỬ LÝ SỐ
Chương một trình bầy các khái niệm cơ bản về tín hiệu và
hệ xử lý tín hiệu nói chung, cũng như tín hiệu số và hệ xử lý số
nói riêng, các cách biểu diễn tín hiệu số và hệ xử lý số, các
phương pháp phân tích hệ xử lý số theo hàm thời gian.
1.1. Khái niệm về tín hiệu và hệ xử lý tín hiệu
Để xác định đối tượng và phạm vi nghiên cứu của lĩnh vực
xử lý tín hiệu số, trước hết cần nắm được các khái niệm và thuật
ngữ cơ bản về tín hiệu và các hệ xử lý tín hiệu.
1.1.1 Khái niệm và phân loại tín hiệu
1.1.1.1 Khái niệm về tín hiệu : Tín hiệu là một dạng vật chất có
một đại lượng vật lý được biến đổi theo quy luật của tin tức.
Có nhiều loại tín hiệu khác nhau, ví dụ như các tín hiệu âm
thanh, ánh sáng, sóng âm, sóng điện từ, tín hiệu điện vv Mỗi
lĩnh vực kỹ thuật thường sử dụng một số loại tín hiệu nhất định.
Trong các lĩnh vực có ứng dụng kỹ thuật điện tử, người ta thường
sử dụng tín hiệu điện và sóng điện từ, với đại lượng mang tin tức
có thể là điện áp, dòng điện, tần số hoặc góc pha.
Mỗi loại tín hiệu khác nhau có những tham số đặc trưng riêng,
tuy nhiên tất cả các loại tín hiệu đều có các tham số cơ bản là độ
lớn (giá trị), năng lượng và công suất, chính các tham số đó nói
lên bản chất vật chất của tín hiệu
Tín hiệu được biểu diễn dưới dạng hàm của biến thời gian x(t),
hoặc hàm của biến tần số X(f) hay X(
ω
).
1.1.1.2 Phân loại tín hiệu
Theo dạng của biến thời gian t và giá trị hàm số x(t), người ta
phân loại tín hiệu như sau :
a. Tín hiệu liên tục x(t) là tín hiệu có biến thời gian t liên tục.

n
Trên hình 1.2a là đồ thị của tín hiệu rời rạc có giá trị liên tục
(có thể nhận giá trị bất kỳ tại mỗi thời điểm rời rạc). Trên hình
1.2b là tín hiệu rời rạc có giá trị được lượng tử hóa từ tín hiệu trên
hình 1.2a

a. Giá trị liên tục. b. Giá trị được lượng tử
hóa. Hình 1.2 : Đồ thị các tín hiệu rời rạc.
c. Tín hiệu lượng tử là tín hiệu chỉ nhận các giá trị xác định
bằng số nguyên lần một giá trị cơ sở gọi là giá trị lượng tử.
Quá trình làm tròn tín hiệu có giá trị liên tục hoặc gián đoạn
thành tín hiệu lượng tử được gọi là quá trình lượng tử hóa.
Trên hình 1.1b là tín hiệu liên tục được lượng tử hóa từ tín
hiệu trên hình 1.1a. Trên hình 1.2b là tín hiệu rời rạc được lượng
tử hóa từ tín hiệu trên hình 1.2a
d. Tín hiệu tương tự là tín hiệu liên tục có giá trị liên tục
hoặc lượng tử.
Nhiều tài liệu gọi tín hiệu tương tự theo tiếng Anh là tín hiệu
Analog. Các tín hiệu liên tục trên hình 1.1a và 1.1b là tín hiệu
tương tự.
e. Tín hiệu xung là tín hiệu có giá trị hàm số đoạn loại một.
Tín hiệu xung có thể là tín hiệu liên tục hoặc rời rạc. Trên
hình 1.1c là tín hiệu xung liên tục một cực tính, còn trên hình 1.2
là các tín hiệu xung rời rạc.
nT
x(nT)
x(nT)
nT
f. Tín hiệu số là một nhóm xung được mã hóa theo giá trị
lượng tử của tín hiệu tại các thời điểm rời rạc cách đều nhau.

0T 1T 2T
3T
4T 5T 6T
NT
NT
NT
NT
0
0
1
1
Bít 2
Bít 1
Bít 0
Như vậy, tín hiệu số là tín hiệu rời rạc, có giá trị lượng tử và
được mã hóa. Do đó có thể biến đổi tín hiệu liên tục thành tín hiệu
số, quá trình đó được gọi là số hóa tín hiệu liên tục. Quá trình số
hóa tín hiệu liên tục được thực hiện qua 3 bước là :
- Rời rạc hóa tín hiệu liên tục, hay còn gọi là lấy mẫu.
- Lượng tử hóa giá trị các mẫu.
- Mã hóa giá trị lượng tử của các mẫu.
a. Số hóa tín hiệu tương tự. b. Số hóa tín hiệu xung.
Hình 1.4 : Quá trình số hóa tín hiệu liên tục.
Trên hình 1.4 mô tả quá trình số hóa các tín hiệu tương tự và
tín hiệu xung thành tín hiệu số 4 bít. Khi số hóa tín hiệu tương tự
sẽ gây ra sai số lượng tử (xem hình 1.4a), nhưng khi số hóa tín
t
n
nT
nT

2
4
0
2
4
0
2
4
0
x(t)
x(nT)
x(nT)
0
1
0
0
0
1
1
1
hiệu xung thì ngoài sai số lượng tử còn có sai số về pha (xem hình
1.4b).
Cả ba bước của quá trình số hóa tín hiệu liên tục được thực
hiện trên bộ biến đổi tương tự số, viết tắt là ADC (Analog Digital
Converter).
Để biến đổi tín hiệu số thành tín hiệu tương tự, sử dụng bộ
biến đổi số tương tự, viết tắt là DAC (Digital Analog Converter).
Tín hiệu tương tự ở đầu ra của DAC có giá trị lượng tử như trên
hình 1.1b
1.1.2 Khái niệm và phân loại hệ xử lý tín hiệu

các mạch logic hoặc mạch số.
Các hệ số thực hiện xử lý tín hiệu số bằng phần mềm cần có
máy tính hoặc hệ thống vi xử lý. Về thực chất, việc xử lý tín hiệu
số bằng phần mềm là xử lý các dãy số liệu, tức là xử lý số. Vì thế,
có thể coi các chương trình chạy trên máy tính là các hệ xử lý số
liệu.
Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu số, người ta thường sử dụng
thuật ngữ “ hệ xử lý tín hiệu số “ (Digital Signal Processing
System). hay ngắn gọn là ” hệ xử lý số “ (Digital Processing
System). Để ngắn gọn và bao hàm cả hệ xử lý tín hiệu số lẫn hệ
xử lý số liệu, trong sách này sử dụng thuật ngữ “ hệ xử lý số “.
4. Hệ xử lý số tín hiệu : (Digital Processing System of Signal)
Hệ xử lý số tín hiệu là các mạch, thiết bị và hệ thống để xử lý cả
tín hiệu số lẫn tín hiệu tương tự bằng phương pháp số. Như vậy,
hệ xử lý số tín hiệu bao gồm cả hệ tương tự và hệ xử lý số.
Sơ đồ khối của hệ xử lý số tín hiệu trên hình 1.5, trong đó
phần tương tự 1 để xử lý tín hiệu tương tự. Tín hiệu tương tự sau
khi được số hóa bởi ADC trở thành tín hiệu số, và sẽ được xử lý
bởi phần xử lý số.
DAC thực hiện biến đổi tín hiệu số thành tín hiệu tương tự, và
nó được xử lý tiếp bằng phần tương tự 2. Như vậy, ADC và DAC
là các phần tử nối ghép giữa phần tương tự và phần số của các hệ
xử lý số tín hiệu. Trong nhiều trường hợp, tín hiệu tương tự sau
khi đã được xử lý số không cần biến đổi trở về dạng tương tự, hệ
xử lý số tín hiệu như vậy sẽ không có bộ biến đổi DAC và phần
tương tự 2.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của lĩnh vực xử lý tín hiệu
số là các hệ xử lý số, cũng như tín hiệu số và các dãy số liệu.
Hình 1.5 : Sơ đồ khối của hệ xử lý số tín hiệu.
1.2. Dãy số

,
)(
nKhi
nKhi
nx
- Biểu diễn dãy số x(n) dưới dạng
bảng số liệu ở bảng 1.1.
Bảng 1.1

Hình 1.6 : Đồ thị dãy x(n)
n
-∞
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
∞
x
(n)
0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0
- Biểu diễn đồ thị của dãy x(n) trên hình 1.6,
- Biểu diễn dãy x(n) dưới dạng dãy số liệu :
{ }
,0,0,1,1,1,1,0, )(
↑
=nx
Trong đó ký hiệu ↑ để chỉ số liệu ứng với điểm gốc n = 0.
1.2.2 Phân loại các dãy số
1.2.2.1. Dãy xác định và dãy ngẫu nhiên
∗
Dãy x(n) xác định là dãy có giá trị biến thiên theo quy luật
và có thể biểu diễn được bằng một hàm số toán học.
∗

f
π
πω
2
2 . ==
[1.2-3]
∗
Dãy x(n) không tuần hoàn là dãy không tồn tại một số N hữu
hạn để giá trị của nó được lặp lại và thỏa mãn biểu thức [1.2-1].
Tuy nhiên, có thể coi dãy không tuần hoàn là dãy tuần hoàn có
chu kỳ N = ∞.
1.2.2.3. Dãy hữu hạn và dãy vô hạn
∗
Dãy x(n) hữu hạn là dãy có số mẫu N < ∞ . Dãy x(n) hữu
hạn có N mẫu được ký hiệu là x(n)
N
.
∗
Dãy x(n) vô hạn là dãy có vô hạn mẫu. Khoảng xác định của
dãy vô hạn có thể là n ∈ (- ∞ , ∞) ; n ∈ (0 , ∞) ; hoặc n ∈ (-
∞ , 0).
1.2.2.4. Dãy một phía và dãy hai phía
∗
Dãy x(n) là dãy một phía nếu n ∈ (0 , ∞) hoặc n ∈ (- ∞ , 0).
∗
Dãy x(n) là dãy hai phía nếu n ∈ (- ∞ , ∞).
Ví dụ 1.2 :
- Dãy
∑
−

3
2)(
k
k
nx
là dãy một phía vô hạn.
- Dãy
∑
∞
−∞=
−
=
k
k
nx 2)(
4
là dãy hai phía vô hạn.
1.2.2.5. Dãy chẵn và dãy lẻ
∗
Dãy x(n) là dãy chẵn nếu x(n) = x(-n) . Dãy chẵn có đồ thị
đối xứng qua trục tung, nên còn được gọi là dãy đối xứng.
∗
Dãy x(n) là dãy lẻ nếu x(n) = - x(-n) . Dãy lẻ có đồ thị phản
đối xứng qua gốc toạ độ, nên còn được gọi là dãy phản đối xứng.
1.2.2.6. Dãy thực và dãy phức
∗
Dãy x(n) thực là dãy hàm số thực. Hầu hết các dãy biểu diễn
tín hiệu số và hệ xử lý số đều là dãy thực.
∗
Dãy x(n) phức là dãy hàm số phức x(n) = a(n) + j.b(n)

số.
1.2.3.1. Dãy xung đơn vị
δ
(n)
Dãy xung đơn vị
δ
(n) đối với hệ xử
lý số có vai trò tương đương như hàm
xung Dirăc
δ
(t) trong hệ tương tự,
nhưng dãy
δ
(n) đơn giản hơn. Dãy
xung đơn vị
δ
(n) có hàm số như sau :



≠
=
=
00
01
)(
nKhi
nKhi
n
δ

Hình 1.8 : Đồ thị dãy y(n)
0 , 6
- 1
0 , 8
3
0 , 4
1
0 62 5
0 , 2
- 2 1 4
y ( n )
n
21
1
- 1- 2 0
n
11 0- 54- 1 - 2
1
0 3 5 - 1- 3- 42
1
n n
Hình 1.10 : Đồ thị các dãy
δ
(n - 5) và
δ
(n + 5)
Mở rộng có dãy xung đơn vị
δ
(n - k) , với k là hằng số dương
hoặc âm :

01
00
)(
nKhi
nKhi
nu
[1.2-6]
Dãy u(n) là dãy một phía, vô hạn, và
tuần hoàn với chu kỳ N = 1. Đồ thị của
dãy bậc thang đơn vị u(n) trên hình 1.11.
Hình 1.11: Đồ thị dãy u(n)
Mở rộng có dãy bậc thang đơn vị u(n - k), với k là hằng số
dương hoặc âm:



≥
<
=−
knKhi
knKhi
knu
1
0
)(
[1.2-7]
Trên hình 1.12 là đồ thị của các dãy bậc thang đơn vị u(n - 2)
và u(n + 2).
u(n - 2) u(n + 2)


1)().()( =−= kkk nuu
δ
Nên có thể biểu diễn dãy u(n)qua dãy
δ
(n) theo biểu thức :
∑∑
∞
=
∞
=
−=−=
00
)().()()(
kk
kkk nunnu
δδ
[1.2-8]
Dãy
δ
(n) được biểu diễn qua dãy u(n) theo biểu thức :
)()()( 1−−= nunun
δ
[1.2-9]
1.2.3.3. Dãy chữ nhật rect
N
(n)
Dãy chữ nhật rect
N
(n) có hàm số như sau :
[ ]

N
(n)
trên hình 1.13.
Mở rộng có dãy chữ nhật
rect
N
(n - k)

, với k là hằng số
dương hoặc âm :
rect
N
(n)

Hình 1.13 : Đồ thị dãy rect
N
(n)
[ ]
[ ]



−+∉
−+∈
=−
)(,
)(,
)(
10
11

(n - 2) và rect
4
(n + 2)
Có thể biểu diễn dãy rect
N
(n) qua dãy
δ
(n) theo biểu thức :
∑ ∑
−
=
−
=
−=−=
1
0
1
0
)().()()(
N N
NN
k k
kkk nrectnnrect
δδ
[1.2-12]
Dãy rect(n)
N
được biểu diễn qua dãy u(n) theo biểu thức :
)()()( Nnununrect
N

0
.n) là dãy vô hạn, hai phía, lẻ và phản đối xứng, liên
tục, và tuần hoàn với chu kỳ N. Đồ thị của dãy sin(
ω
0
.n) ở hình
1.15.
Dãy hàm cosin có dạng như sau :
( )
nnnx
N
0
coscos)(
2
ω
π
=






=
với
N
π
ω
2
0

- Khi k < 0 là y(n) dịch sớm (nhanh) k mẫu so với x(n).
Phép dịch tuyến tính dãy x(n) đi k mẫu không làm thay đổi
dạng của x(n), mà chỉ đơn giản là giữ chậm hoặc đẩy nhanh nó k
mẫu. Phép dịch tuyến tính còn thường được gọi vắn tắt là phép
dịch.
Trong xử lý tín hiệu số thường chỉ sử dụng phép dịch trễ, và
gọi là phép trễ. Phép dịch sớm rất ít khi được sử dụng.
Ví dụ 1.5 : Cho dãy
)()( nunx =
, hãy xác định các dãy :
a.
)()( 2
1
−= nxny
b.
)()( 2
2
+= nxny
Giải : a. Vì k = 2 > 0 nên dãy
)()()( 22
1
−=−= nunxny
là
dãy
)(nu
bị giữ chậm 2 mẫu, đồ thị dãy
)()( 2
1
−= nuny
nhận được

i
i
nxny
1
)()(
[1.2-17]
Ví dụ 1.6 : Cho dãy
)()(
41
nrectnx =
và dãy
)()( 1
32
−= nrectnx
,
hãy xác định dãy
)()()(
21
nxnxny −=
Giải : Có
)()()()( 1
34
nnrectnrectny
δ
=−−=
Để thấy rõ hơn kết quả trên, xác định
y(n) bằng đồ thị như trên hình 1.16.
rect
4
(n)

n
n
Kí hiệu :
∏
=
=
M
i
i
nxny
1
)()(
[1.2-18]

Ví dụ 1.7 : Cho dãy
)()(
1
nunx =
và dãy
)()( 2
52
+= nrectnx
,
hãy xác định dãy
)().()(
21
nxnxny =
.
Giải : Theo định nghĩa có :


giá trị mỗi mẫu bằng tích của a với các mẫu tương ứng của x(n).
Kí hiệu :
)(.)( nxany =
[1.2-19]
Phép nhân dãy x(n) với hằng số a còn thường được gọi là phép
lấy tỷ lệ.
Ví dụ 1.8 : Cho dãy x(n) = rect
4
(n) , hãy biểu diễn dãy y(n) =
2.rect
4
(n) dưới dạng dãy số liệu.
Giải : Dãy rect
4
(n) có dạng dãy số liệu là
{ }
1,1,1,1)(
↑
=nx
Dãy y(n) = 2.rect
4
(n) có dạng dãy số liệu là
{ }
2,2,22,)(
↑
=ny
1.2.5 Khái niệm về tích chập tuyến tính
1.2.5.1. Định nghĩa tích chập tuyến tính : Tích chập tuyến tính
giữa hai dãy x
1

m).
Khi k → - ∞ thì m → ∞ và khi k
→
∞ thì m → - ∞ , nhận
được :
∑∑
−∞
∞=
∞
−∞=
−=−
mk
mxmnxnxx kk )().()().(
2121

Đảo cận và đổi biến m trở về k đối với biểu thức ở vế phải,
nhận được :
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
−=−
kk
kkkk nxxnxx )().()().(
1221
Đây chính là biểu thức [1.2-21] :
)(*)()(*)(
1221
nxnxnxnx =







−=
∑ ∑
∞
−∞=
∞
−∞=
)(.)(.)(
312
kkk nxnxx
k k
)(*)](*)([
321
nxnxnx
Đây chính là biểu thức ở vế phải của [1.2-22]
3. Tính phân phối :

[ ]
)(*)()(*)()()(*)(
3121321
nxnxnxnxnxnxnx +=+
[1.2-23]
Chứng minh : Viết vế trái của [1.2-23] theo công thức tích
chập [1.2-20] :
[ ]

kk
δδ
∑
∞
−∞=
=−=
[1.2-24]
Hoặc:
)(*)()().()( nxnnxnx
k
kk
δδ
∑
∞
−∞=
=−=
[1.2-25]
Chứng minh: Luôn có
)().()( kkk nxx −=
δ
với mọi k ∈ (- ∞ , ∞).
Vì thế, khi lấy tổng các mẫu x(k) với k∈ (- ∞ , ∞), nhận được
[1.2-24] . Theo tính chất giao hoán của tích chập, từ [1.2-24] nhận
được [1.2-25].
1.3 Tín hiệu số
1.3.1. Biểu diễn và phân loại tín hiệu số
1.3.1.1. Biểu diễn tín hiệu số
Tín hiệu số là hàm của biến thời gian rời rạc x(nT), trong đó n
là số nguyên, còn T là chu kỳ rời rạc. Để thuận tiện cho việc xây
dựng các thuật toán xử lý tín hiệu số, người ta chuẩn hóa biến thời

Độ dài của tín hiệu số đặc trưng cho khoảng thời gian mà hệ
xử lý số phải xử lý tín hiệu. Tín hiệu số có độ dài hữu hạn hoặc vô
hạn được biểu diễn bằng dãy hữu hạn hoặc dãy vô hạn tương ứng.
Độ dài hữu hạn của tín hiệu số thường được ký hiệu là N (hoặc
một chữ cái khác).
Tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N được xác định
với đối số n ∈ [0 , (N - 1)] , và thường được ký hiệu là x(n)
N
.
Tín hiệu số x(n) hai phía có độ dài hữu hạn (2N + 1) được xác
định với đối số n ∈ [-N , N].
Có thể tăng độ dài của tín hiệu số hữu hạn x(n)
N
mà không làm
thay đổi nó, bằng cách thêm vào x(n) các mẫu có giá trị bằng 0
khi n ≥ N.
1.3.2.2. Giá trị trung bình của tín hiệu số bằng tổng giá trị tất
cả các mẫu chia cho độ dài của tín hiệu.
Giá trị trung bình
)(nx
của tín hiệu số x(n) được tính như
sau:
- Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N:
∑
−
=
=
1
0
)()(

1
N
n
N
nxLimnx
N
[1.3-3]
- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía vô hạn:
∑
−=
∞→
+
=
N
Nn
N
nxLimnx
N
)(
)(
)(
12
1
[1.3-4]
Theo các biểu thức trên, các tín hiệu số hữu hạn luôn có giá trị
trung bình hữu hạn, còn giá trị trung bình của các tín hiệu số vô
hạn có thể là hữu hạn hoặc vô hạn.
1.3.2.3. Năng lượng của tín hiệu số bằng tổng bình phương
giá trị tất cả các mẫu của tín hiệu.
Năng lượng E

=
=
0
2
)(
n
x
nxE
[1.3-7]
- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía vô hạn:
∑
∞
−∞=
=
n
x
nxE
2
)(
[1.3-8]
Theo các biểu thức trên, các tín hiệu số hữu hạn luôn có năng
lượng hữu hạn và chúng là các tín hiệu năng lượng. Năng lượng
của các tín hiệu số vô hạn có thể là hữu hạn hoặc vô hạn.
1.3.2.4. Công suất trung bình của tín hiệu số bằng giá trị trung
bình của năng lượng tín hiệu trên một mẫu (bằng trung bình bình
phương của tín hiệu).
Công suất trung bình P
x
của tín hiệu số x(n) được tính như sau:
- Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N:

nxnx
NN
E
P )()(
)()(
2
2
12
1
12
[1.3-10]
- Đối với tín hiệu số x(n) một phía vô hạn:
∑
−
=
∞→∞→
===
1
0
2
2
)()(
1
N
n
NN
x
nxnxLimLim
NN
x

suất trung bình hữu hạn và chúng là các tín hiệu công suất. Công
suất trung bình của các tín hiệu số vô hạn có thể là hữu hạn hoặc
vô hạn.
Như vậy, tín hiệu số hữu hạn có giá trị trung bình, năng lượng
và công suất hữu hạn, chúng là tín hiệu năng lượng và tín hiệu
công suất.
Ví dụ 1.9: Xác định các tham số cơ bản của các tín hiệu số sau:
a.
δ
(n) ; b. u(n) ; c. rect
N
(n) ; d.






= nnx
2
cos)(
π
với n ∈ [-4 , 4]
Giải: a. Các tham số cơ bản của tín hiệu xung đơn vị
δ
(n):
- Tín hiệu số
δ
(n) có độ dài hữu hạn N = 1 .
- Giá trị trung bình theo [1.3-1]:

−
=
∞→
∑
N
N
N
N
n
N
LimnuLimnu
N
- Năng lượng theo [1.3-7]:
∞
∑∑
∞
=
∞
=
===
0
2
0
2
1)(
nn
u
nuE
- Công suất trung bình theo [1.3-11]:
11

- Tín hiệu số rect
N
(n) có độ dài hữu hạn N