PHÂN TÍCH MÔ HÌNH KẾT CẤU ĐÀN-DẺO TÁI BỀN VON MISES
BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

ThS. ĐÀO DUY LÂM
Bộ môn CTGTTP và CTT
Khoa Công trình
Trường Đại học Giao thông Vận tải
Tóm tắt: Hiện nay trên thế giới, phương pháp phần tử hữu hạn(PTHH) được áp dụng
phổ biến để giải các bài toán phi tuyến trong tính toán kết cấu xây dựng. Bài viết này giới
thiệu phương pháp tích phân số luật ứng xử đàn dẻo tái bền theo tiêu chí Von Mises và cách
thiết lập toán tử tiếp tuyến đàn dẻo dạng Simo tương ứng cho các bước tích phân hữu hạn sử
dụng công thức dạng ẩn. Các ví dụ tính toán kết cấu đàn-dẻo lập trên nền MATLAB sử dụng
phần tử hữu hạn mô hình 2D được giới thiệu để minh họa cho mô hình tính toán. Phương
pháp này cũng có thể mở rộng áp dụng cho các mô hình theo các tiêu chí dẻo khác như
Chaboche-Marquis, Drucker-Prager, Cam-Clay
Summary: The most universal numerical technique applicable to non-linear problem in
civil engineering is nowadays the finite element method (FEM). In this paper, we discuss the
method for integrating plastic constitutive laws and to compute the corresponding consistent
tangent operators for Von Mises plastic criterion with isotropic hardening using implicit
formulation. Numerical examples with finite element models type T3 and T6 based on the
language MATLAB are presented. The present approach is also extended to other plastic
models, including the Chaboche-Marquis, Drucker-Prager and Cam-Clay model.
TCT1
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Phương pháp PTHH hiện đang được sử dụng phổ biến để giải các bài toán kết cấu ứng xử
đàn hồi với hình dạng và tải trọng bất kỳ bằng mô hình gần đúng. Đối với kết cấu có ứng xử
đàn-dẻo một số mô hình tính toán PTHH đã được đưa ra trong các công trình nghiên cứu của M.
L. Wilkins[1], R. D. Krieg và S. W. Key[2],
M. A Crisfield[3], 0. C. Zienkiewicz[4], J. C. Simo
và R. L. Taylor[5] Trong đó mô hình sử dụng thuật giải giả định đàn hồi và chỉnh sửa dẻo

3
2
=)t(p
p
T
0
&
∫
(2)
Thành phần tenxơ cầu và tenxơ lệch của tenxơ ứng suất: và tenxơ vận tốc biến
dạng dẻo
),(=
m
ssσ
),(=
p
m
p
p
e
&
&
&
eε
:

Hình 1. Mô hình dẻo Von Mises
trong không gian ứng suất

pp

=
−
−
(3)
với
1 là ma trận đơn vị.
Khi kết cấu làm việc theo ứng xử
dẻo, biến dạng gồm 2 thành phần: biến
dạng đàn hồi và biến dạng dẻo. Ứng
suất có thể xác định theo quan hệ định
luật Hook :

(
()
p
pe
pe
ees
εεεσ
εεε
−μ
−
)
+
=
2=
== ΧΧ
(4)
CT 1
Với là ma trận độ cứng đàn hồi.

p
ε
&
vuông góc với mặt dẻo và mặt chảy dẻo là mặt lồi trong không gian ứng suất.
Từ (1) và (5) ta có:
s
s
s
e
2
3
= λ=
∂
∂
λ
&&
&
f
p
;
p
e
&
&
3
2
=λ
(6)
Từ (2)
p được xác định như sau:

n
tứng suất và tải trọng tác dụng tại thời điểm
1+
→
n
n
t
t
cần xác định trạng thái cơ học
{
}
11111 +++++ n
p
nnnn
,,,uS σεε
tại
1+n
t
.
3.1. Công thức dạng ẩn
Ta có thể lập công thức các ten xơ ứng suất, biết dạng tại thời điểm
1+n
t
:

(
)

K
C
υ−
=
,
υ
là hệ số Poisson.

λΔΔ
Δ
λΔΔ
Δ
+
+
+
+
+
=
0=
2
3
=
=
1,
1
1
1
p
e
p

⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
λΔμ+ s
s
s
1
(10)
với
1>
3/2
21
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
λΔμ+
+n
s
do đó và đẳng hướng và
1+n
s


(
)
)(
3
2
=0=)(
2
3
=)(
11
λΔ++σ⇒Δ+−σ−
++
ny
n
ny
n
phpphf ssσ
(11)
Kết hợp (10) và (11) ta xác định được:
μ+
−σ−
λΔ
+
3h
phs
2
3
=
ny

+
+
+
+
+
μ+
−σ−
λΔΔ
(12)

(
)
p
1n
p
n1n
p
1n
trial
1n1n
e2εε=ε2σ=σ
+++++
Δμ−−Δμ−Χ
(13)
3.2. Toán tử tiếp tuyến đàn-dẻo
Toán tử tiếp tuyến đàn-dẻo được sử dụng để chỉnh sửa ứng xử kết cấu giả định đúng với
mô hình dẻo. Toán tử này được xác định như sau:

1n
p

n
p
n
ε
e
sử dụng các công thức phần 3.1 ta thu được:

()
ΜΙΧΚ
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+σ+
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛

62
=
(15)
với là ma trận độ cứng đàn hồi,
Χ
Ι
là ma trận đơn vị,
Μ
được xác định như sau:

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡

ε
e
σ
s
Μ=
(16)
Có thể thấy với mô hình dẻo VM thì
EP
Κ
là ma trận đối xứng.
IV. THUẬT TOÁN CHƯƠNG TRÌNH
Chương trình tính toán PTHH bài toán kết cấu đàn-dẻo với hình dạng hình học bất kỳ với
điều kiện biên là lực và chuyển vị cưỡng bức theo thuật giải “return mapping” có thể được xây
dựng trên cơ sở các thuật toán sau:
Thuật toán 1
- Thực hiện tính toán đàn dẻo
CT 1
- Kiểu tải trọng tăng dần-tích phân số
- Tính toán cho toàn bộ kết cấu
Thuật toán 2
Sử dụng 1 lần trong mỗi bước tích phân số của thuật toán 1
- Tính toán ma trận tiếp tuyến đàn-dẻo tổng thể cho toàn bộ kết cấu
- Tính toán các véc tơ tổng nội và ngoại lực tại các nút
Thuật toán 3
Sử dụng 1 lần trong mỗi bước của thuật toán 2 cho mỗi phần tử của lưới PTHH
- Tính toán ứng suất và gia tăng của các biến tại các điểm Gauss tích phân số
- Tính toán ma trận tiếp tuyến đàn-dẻo và lực tại nút thành phần
Thuật toán 4
Sử dụng 1 lần trong mỗi bước của thuật toán 3 cho mỗi điểm Gauss của phần tử
- Giả định kết cấu đàn hồi(hoặc sử dụng ma trận tiếp tuyến của bước tính trước)

x10^5)
σ
_y(MPa)

a. Mô hình 2D b. Biến dạng dẻo c. Quan hệ ứng suất-biến dạng
lý thuyết

kết quả PTHH
t
L
Hình 2. Dầm ngàm 1 đầu chịu kéo a.Mô hình 2D b. Biến dạng dẻo

c.Ứng suất
σ
yy
Hình 3. Dầm ngàm 1 đầu chịu uốn
Ví dụ 2: Tấm có lỗ tròn chịu nén: H = 5 cm, D = 5 mm, E = 200000 MPa, σ = 450 MPa, υ = 1/3.
a.Mô hình 2D b. Biến dạng dẻo

c. Chuyển vị u
yy
TCT1
Hình 4. Tấm có lỗ tròn chịu nén
VI. KẾT LUẬN